CHANGEMENT DES INCLINAISONS
de P et de M. Nous voyons donc qu'il existe une relation intime entre le changement momentané d'inclinaison et la rétrogradation momentanée du nœud , et que la recherche de l'un est dans le fait liée à celle de l'autre. Ceci deviendra peutêtre plus clair en considérant l'orbite de M, non comme une ligne imaginaire, mais comme un cerceau circulaire ou elliptique réel de quelque matière dure, privée d'inertie, sur lequel, comme sur un fd de fer, le corps P peut glisser en guise de perle. Il est évident que la position de ce cerceau sera déterminée à chaque instant par son inclinaison au plan fondamental auquel elle est rapportée , et par le lieu de son intersection avec ce plan. Elle sera aussi déterminée par la direction momentanée du mouvement de P , qui , n'ayant pas d'inertie ) doit obéir ; et tout changement par lequel P , l'instant suivant , altérerait son orbite , équivaudrait au déplacement matériel du cerceau entier, en changeant simultanément son inclinaison et ses nœuds.
508. La conséquence immédiate de ce qui a été indiqué ci-dessus , est que , lorsque les orbites , comme dans le cas du système planétaire et de la lune , sont légèrement inclinées entre elles , les variations momentanées de l'inclinaison sont d'un ordre de beaucoup inférieur en grandeur aux variations qui arrivent au point du nœud. C'est ce que rend évident une simple inspection de la même figure 66 , l'angle RPr étant , à cause de la petite inclinaison des plans SPR et RSr , nécessairement beaucoup plus petit que l'angle RSr. Plus les plans des orbites approcheront de la coïncidence , moins il faudra de mouvement angulaire à PjP autour de PS comme axe pour produire une grande variation dans la situation du point r , où Pp prolongé coupe le jjîan fondamental.
509. Pour passer des changemens momentanés qui ont lieu dans les relations de la nature avec les effets accumulés produits dans des laps considérables de temps par l'action continue des mêmes causes dans des circonstances variées , il faut recourir au calcul intégral. Sans employer, toutefois, les ressources qu'il nous offre , il nous sera aisé de découvrir , par un petit nombre d'exemples , l'influence variable des différences de positions du corps troublant et du corps troublé à l'égard l'un de l'autre et à l'égard du nœud , et , d'après cette base , de démontrer les deux points dominans dans cette théorie , la nature périodique du changement et du rétablissement des inclinaisons originaires, et les étroites limites dans lesquelles ces changemens sont renfermés,
510. Premier cas. — Lorsque le corps troublant M ( fig. 67 ) est situé dans une direction jjerpemiiculaire à la licjne des nœuds ou que les nœuds sont en quadrature par rapport à lui, M étant le corps troublant, et HN la ligne des nœuds , la force perturbatrice agira en P dans la direction PK; ce sera une force attirante lorsque P se trouvera en un point de la demi-circonférence HAN , et une force repoussante quand ce corps sera un point quelconque de toute la demi-circonférence opposée. L'on peut voir facilement que cette force est à son maximum en A et en 15 , et qu'elle s'évanouit en H et ca N. Ainsi, dans tout le demi cercle IIAN , la ligne Pq sera au-dessous de P/; • et si l'on prolonge cette ligne en arrière dans le quadrant HA , et en avant dans AN , elle rencontrera le cercle SblSa dans le plan de l'orbite de M , en des points situés en arrière de la ligne des nœuds SN , les nœuds étant rétrogrades dans l'un et l'autre cas. Mais la nouvelle inclinaison de l'orbite troublée est, dans le premier cas, l'angle Pxa, qui est moindre que PHa;; et dans le dernier, Pj/a, angle plus grand que PNa. Dans l'autre demi-cercle , la direction de la force troublante est changée ; mais celle du mouvement , à l'égard du plan de l'orbite de M, étant aussi dans chaque quadrant renversée , il y aura lieu aux mêmes variations de nœud et d'inclinaison. Dans cette situation de M, les nœuds rétrogradent à chaque partie de la révolution de P , mais l'inclinaison diminue dans le quadrant HA , augmente de nouveau par les mêmes degrés identiques dans le 'quadrant AN , décroît dans le quadrant
NB , et est finalement rétablie à son ancienne valeur en H. Pour une révolution moyenne de P , en supposant M immobile , les nœuds auront rétrogradé avec leur plus grande célérité , mais l'inclinaison restera invariable.
51 1 . Deuxième cas. — Supposons ( fig. 68 ) que le corps troublant soit maintenant fixe sur la ligne des nœuds , ou que les nœuds soient en syzygie. Dans cette situation , la direction de la force troublante , toujours parallèle à SM , se trouve constamment dans le plan de l'orbite de P, et ne produit par conséquent, ni variation d'inclinaison, ni mouvement des nœuds.
512. Troisième cas. — Prenons maintenant (fig. 69) une situation intermédiaire de M, et qui indique par les flèches les directions des forces perturbatrices (qui sont attirantes dans toute la demi-orbite située du côté de M, et repoussantes dans celle opposée ) , on verra facilement que le raisonnement de l'article 510 subsistera pour toute cette partie de rori)ite, qui est située entre ï et N, et entre V et H, mais que l'effet sera renversé par la direction contraire du mouvement à l'égard du plan de l'orbite de M, dans les intervalles HT et NV. Dans ces parties , cependant , la force troublante est plus faible que dans les autres, car elle s'évanouit dans la ligne des quadratures TV , et s'accroît jusqu'à son maximum dans celle des syzygies ah. Les nœuds rétrograderont alors rapidement dans les premiers intervalles, et s'avanceront faiblement dans les derniers; mais puisque, à mesure que H approche de a, la force troublante, en agissant obliquement sur le plan de l'orbite de P, diminue de nouveau d'intensité , les nœuds pour une révolution moyenne , rétrograderont encore. D'autreÎpart,rinchnaison diminuera maintenant pendantjle mouvement de P de t enjc , point éloigné de 90° du nœud , tandis qu'elle augmentera , non seulement pendant tout son mouvement sur le quadrant cN, mais aussi dans le reste de sa demi révolution , et de la même manière pour l'autre moitié. Il y aura par conséquent , pour cette position de M , une augmentation d'inclinaison non composée sur une révolution moyenne.
515. Mais cet accroissement est converti en diminution lorsque la ligne des nœuds se trouve de l'autre côté de SM , ou dans les quadrans \b, Ta; et en regardant encore M comme fixe , et supposant que le changement des circonstances ne vient pas du mouvement de M, mais de celui du nœud , il est évident qu'aussitôt que laligne des nœuds, dans son mouvement rétrograde , aura dépassé a , les circonstances seront toutes exactement renversées , et l'inclinaison augmentera de nouveau à chaque révolution , suivant les mêmes degrés , dans un sens inverse à celui selon lequel elle avait diminué précédemment. Après une révolution COMPLÈTE DU NœuD , l'inclinaison sera donc rétablie en son état primitif. En effet , dès qu'il ne s'agit que du résultat moyen de l'inclinaison , au lieu de supposer au corps M une seule position fixe , nous pouvons le concevoir à chaque instant partagé en quatre parties égales , placées à angles égaux de chaque côté de la ligne des nœuds , auquel cas il est évident que l'effet de deux des parties serait précisément de détruire celui des deux autres à chaque révolution de P.
5H. Dans ce qui précède , nous avons supposé le corps M en repos ; mais nous l'aurions supposé en mouvement, que les conséquences n'en auraient pas été différentes, quant aux résultats moyens et définitifs : car, dans le cours d'une révolution des nœuds , révolution qui , vu l'extrême petitesse de leur mouvement, ne s'accomplit, s'il s'agit des planètes , que dans un laps de temps immense, dont la longueur n'est pas moindre , pour la plupart des cas , de plusieurs centaines de siècles, et, s'il s'agit de celui de la lune , de 237 lunaisons , le corps troublant M se présente sans cesse , en vertu de son mouvement propre dans toutes les variétés de situation , à la ligne des nœuds. Avant que le nœud puisse avoir changé sensiblement de position , M a opéré une révolution complète , et a regagné son point de départ; en sorte qu'au fond (à cette légère différence près due «
STABILITÉ DES INCLINAISONS. ~ PRÉCESSION DES ÉQUINOXES. m
la rétrogradation du nœud dans une révolution synodique de M) nous pouvons le regarder comme occupant à chaque instant tous les points de son orbite , ou plutôt comme ayant sa masse distribuée uniformément en guise d'anneau solide sur sa circonférence entière. Ainsi , la compensation qui , comme nous l'avons fait voir , aurait lieu dans une révolution complète du nœud , se fait réellement à chaque période synodique de M , abstraction faite de cette légère différence dont nous venons de signaler la cause. Cette différence, et non la totalité de l'action troublante de M , est donc ce qui produit la variation effective des inclinaisons , soit de l'orbite de la lune , soit de celles des planètes : le mouvement de M ne la détruit pas , mais elle est à son tour compensée par celui du nœud pendant sa révolution entière.
515. Il est clair, par conséquent, que la variation totale des inclinaisons planétaires doit être comprise dans des limites fort étroites. Aussi les géomètres ontils démontré , par une analyse rigoureuse de toutes les circonstances et une estimation exacte des forces actives , que tel est le cas ; et voilà ce que l'on entend i^av stabilité du système planétaire , quant aux inclinaisons mutuelles de ses orbites. Les recherches de Lagrange ( fondées sur un procédé analytique dont nous ne pouvons donner ici une idée ) l'ont fait arriver à la démonstration de l'élégant théorème ainsi conçu :
Si la masse de chaque planète est multipliée par la racine carrée du cjrand axe de son orbite , et le produit par le carré de la tangente de son inclinaison à un plan fixe , la somme de tous ces prod^iits sera constamment la même sous l'influence de leurs attractions mutuelles. En prenant pour plan fixe celui dans lequel se trouve actuellement l'écliptique ( car ce plan lui-même est variable , comme les autres orbites ) , on trouve que cette somme est néellement très petite : il faut , par conséquent, qu'elle le reste toujours. Ce théorème remarquable garantirait donc seulement la stabilité des orbites des grandes planètes j mais d'après ce que l'on a fait voir ci-dessus de la tendance de chaque planète à opérer une compensation sur'chacune des autres , il est évident que les petites ne sont pas exclues de cet heureux arrangement.
516. Au reste, il est hors de doute que le plan de l'écliptique varie réellement par les actions des planètes. La quantité de cette variation est d'environ 48" par siècle , et elle a été reconnue depuis long-temps par les astronomes , d'après l'accroissement des latitudes de toutes les étoiles qui occupent certains points du ciel , et leur diminution dans les régions opposées. Son effet est de laire approcher annuellement de cette quantité la coïncidence de l'écliptique avec l'équateur ; mais , d'après ce que nous avons vu ci-dessus , cette diminution de l'obliquité de l'écliptique s'arrêtera à de certaines bornes assez étroites , après quoi ( bien que dans une immense révolution de siècles , ou cycle composé résultant de l'action de toutes les planètes réunies ) cette obliquité augmentera de nouveau, et oscillera ainsi en arrière et en avant autour d'une position moyenne, la déviation de part et d'autre ne pouvant aller à 1° 21'.
517. Un des effets de cette variation du plan de l'écliptique, celui qui en fait changer les nœuds sur un plan fixe , se trouve combiné avec la précession des équinoxes (art. 261 ), et on ne peut l'en distinguer qu'en théorie. Ce dernier phénomène est , toutefois , dû à une autre cause , analogue , il est vrai , sous un point de vue général , à celles envisagées ci-dessus , mais singulièrement modifiée par les circonstances sous lesquelles elle se produit. Nous tâcherons de faire comprendre ces modifications, autant qu'il est permis d'arriver à ce résultat sans le secours des formules analytiques.
518. La précession des équinoxes , comme nous l'avons fait voir à l'art. 266 , consiste en une rétrogradation continuelle du nœud de l'équateur de la terre sur l'écliptique , et offre par conséquent une grande nnalogi(î avec le pbénoîfièi!^
m TRAITÉ D'ASTRONOMIE, - PRÉCESSION DES ÉQUINOXES. CHAPITRE XI.
général de la rétrogradation des nœuds des orbites entre elles. L'immense distance des planètes , toutefois , comparée à la grandeur de la terre , et la petitesse de leurs masses relativement à celle du soleil , ne permettent pas d'y chercher l'explication dont il s'agit. Nous devons plutôt nous attacher à la trouver dans l'énormité de la masse du soleil , malgré le grand éloignement de cet astre , et dans la proximité de la lune , nonobstant la petitesse de son volume. Ainsi , on la trouvera dans l'action exercée par ces deux corps sur le renflement de l'équatteur terrestre opéré par l'accumulation de la matière qui unit la figure de notre globe sphéroïdal, conjointement avec sa rotation sur son axe. C'est à la sagacité de Newton que nous devons la découverte de ce singulier mode d'influence.
519. Supposons que dans nos figures 67, 68 et 69 , au lieu d'un seul corps P, tournant autour de S , il y eût une succession de particules non cohéi'entes , mais formant une espèce d'anneau fluide , susceptible de changer de forme par l'action d'une force quelconque. Pendant que cet anneau tournerait autour de S dans son propre plan , sous l'influence perturbatrice du corps éloigné M ( qui maintenant représente la lune ou le soleil , comme P représente une des particules de l'équateur de la terre), deux choses arriveraient : 1°. sa figure passerait de la forme plane à une courbe ondulée , celles de ses parties situées entre les arcs ve et td ( fig. 69 } stant devenues plus inclinées au plan de l'orbite de M, celles entre les arcs ct,dv, moins qu'elles ne le seraient autrement ; 2°. les nœuds de cet anneau regardé comme un tout, sans égard à son changement de figure , rétrograderaient sur ce plan.
520. Mais si cet anneau, au lieu de se composer de molécules distinctes et libres dans leurs mouvemens , était dur et incapable de fléchir , comme le cerceau que nous avons supposé à rarticle*507, il est évident que l'effort de celles de ses parties qui tendent à devenir plus inclinées agira au moyen de l'anneau luimême ( comme un instrument mécanique ou levier ) pour contrarier l'effort de celles qui ont au même instant une tendance contraire. Ainsi l'inclinaison ne changera qu'autart qu'il y aura un excès d'un côté ou de l'autre, la compensation s'établissant à chaque époque du mouvement de l'anneau; précisément de la môme manière que l'on a vu la chose se passer , en parlant des inclinaisons , à chaque révolution complète d'un corps unique troublé sous l'influence d'un seul corps troublant fixe.
521 . Toutefois , les nœuds de l'anneau rétrograderont, la tendance générale ou moyenne des nœuds de chaque molécule le voulant ainsi. Ici , comme dans l'autre cas , il s'établira une lutte entre les efforts contraires des molécules disposées dans un sens opposé , et cette lutte se propagera dans toute la substance solide de l'anneau ; en sorte que , à chaque instant , il y aura une compensation qui étant identique dans sa nature avec celle effectuée dans la complète révolution d'un seul corps troublé sera dans tous les cas favorable à la rétrogradation du nœud, à moins seulement que le corps troublant , le soleil ou la lune, ne soit situé dans le plan de l'équateur.
522. Ce raisonnement est tout-à-falt indépendant de la cause qui maintient la rotation de l'anneau , soit que les particules soient de petits satellites retenus dans des orbites circulaires par l'action équilibrée des forces attractives et centrifuges , ou que ce soient de petites masses attachées aux extrémitées d'une suite de rayons imaginaires tels que ceux d'une petite roue , se réunissant au point S comme centre , et n'ayant que la liberté de changer leurs plans de rotation par suite du mouvement de ceux de ces rayons qui sont perpendiculaires au plan de la roue. Cela ne produit aucune différence dans l'effet général, quoique les diverses vitesses de rotation , qui peuvent être imprimées à un pareil système , doivent avoir une très grande influence «ur les grandeurs absolue et relative des deux effets en question j le mouvement des nœuds et le changement d'inclinaison»
PRÉGESSION DES ÉQUIîSOXES.
On sentira très bien ceci si nous supposons l'anneau dépourvu de tout mouvement rotatoire , cas auquel il est visible qu'aussi long-temps que M resterait fixé, il n'y aurait lieu à aucune rétrogradation des nœuds , mais seulement à une tendance du plan de l'anneau à tourner autour d'un diamètre perpendiculaire à SM.
523. Le mouvement d'un anneau, tel que celui que nous avons considère, imiterait donc la précession des équinoïes , à cela près que ses nœuds rétrograderaient beaucoup plus rapidement que la précession observée , qui est excessivement lente. Concevons maintenant que cet anneau soit chargé d'une masse sphérique énormément plus pesante que l'anneau même, placé concentriquement dans son intérieur , et y adhérant fortement , mais sans prendre presque aucune part
! à ce mouvement ; et supposons , d'ailleurs , qu'au lieu d'un anneau seul il y en eût j une grande quantité entassés ensemble autour de l'équateur d'un pareil globe , I de manière à former une protubérance elliptique, qui l'enveloperait comme une ! coque de tous côtés, mais dont la masse , prise dans son ensemble, ne formerait qu'une très petite fraction de tout le spherv>ïde. Nous avons maintenant devant I nous une représentation assez exacte du cas de la nature ; et il est évident que les anneaux , ayant à entraîner dans leur révolution nodale cette grande masse inerte, la vitesse de leur rétrogradation se trouvera proportionnellement ralentie. Il est donc aisé de concevoir comment un mouvement , semblable à la précession des équinoxes, et, comme cette précession, caractérisé par une extrême lenteur, peut naître des causes mises en action.
524. Or la rétrogradation du nœud de l'équateur terrestre, sur un plan donné, correspond à un mouvement conique de son axe autour d'une perpendiculaire à ce plan. Mais dans le cas qui nous occupe, ce plan n'est pas l'écliptique, mais l'orbite de la lune; et I'oia peut se demander comment nous pouvons concilier ceci avec ce qui a été dit à l'article 266 sur la nature du mouvement en question. A cela nous répondons que les nœuds de l'orbite lunaire étant dans un état de rétrogradation continuelle et rapide, tandis que son inclinaison se maintient presque invariable , le point dans la sphère des cieux autour duquel tourne le pôle de l'axe de la terre ( avec cette extrême lenteur caractéristique de la pré-
I cession ) est lui-même dans un état de circulation continuelle autour du pôle de j l'écliptique avec ce mouvement beaucoup plus rapide qui appartient aux nœuds i Unaires. Il suffît, pour comprendre cela , de jeter les yeux sur la figure 70. P est le pôle de l'écliptique, A le pôle de l'orbite de la lune, qui décrit le petit cercle ABCD dans dix-neuf ans , a le pôle de l'équateur terrestre dont la vitesse en chaque instant suit une direction perpendiculaire à la position variable Aa , et varie elle-même suivant l'intensité des forces perturbatrices pendant la période des nœuds. Cette vitesse , toutefois, étant extrêmement petite, lorsque A sera arrivé en B, C, D, E, la ligne Aa aura prisles positions B&, Ce, Dd, Ee, et le pôle dî la terre a sera ainsi, dans une révolution tropique du nœud, parvenu en e après avoir décrit , non un arc exactement circulaire , mais une simple courbe ondulée ou épicycloïdale abcde avec une vit(îsse alternativement plus grande et plus petite que son mouvement moyen , et cela se répétera à chaque révolution successive des nœuds
525 Or c'est bien là cette espèce de mouvement , comme nous l'avons vu à l'article 72 , qu'a le pôle de l'équateur de la terre autour du pôle de l'écliptique, j en conséquence des effets réunis de la précession et de la nutation , qui sont ainsi représentés uranographiquement. Si nous ajoutons à l'effet de la précession lunaire celui de la précession solaire , qui se borne à faire décrire uniformément au pôle un cercle autour de P, cela n'affectera que les ondvilations de notre courbe , en les allongeant sans leur donner de l'expansion , ni faire varier la distance de l'axe de la terre au pôle de l'écliptique. Ainsi nous voyons que les deux phénomènes de la nutation et de la précession sont intimément liés > ott
plutôt que l'un et l'autre sont des parties essentiellement constitutives d'un seul et même phénomène. Nous regardons presque comme superflu d'établir ou'une analyse rigoureuse de ce grand problème, par une estimation exacte de toutes les forces agissantes, parla sommation de leurs effets dynamiques, conduit à la valeur précise des coefficiens de la précession et de la nutation que l'observation leur assigne. Les portions solaire et lunaire delà précession dés équinoxes en prenant une moyenne pour les rendre uniformes, sont entre elles dans la proportion d environ 2 à 5.
526. La nutation de l'axe de la terre nous fournit un exemple ( le premier de son espèce qui se soit offert à nous ) d'un mouvement périodique dans une partie du système , qui donne naissance à un mouvement réglé sur la même période dans une autre partie. Nous voyons ici que le mouvement des nœuds de la lune est représente par le mouvement d'un genre oscillatoire particulier imprimé à la masse sohde de la terre, et quoique la forme en soit bien différente, le temps périodique est absolument le même. Nous ne devons pas laisser passer l'occasion de généraliser le principe renfermé dans ce résultat, attendu que nous le verrons souvent se reproduire dans toutes les parties de l'astronomie physique, et même dans toutes les branches des sciences naturelles. On peut l'établir coiAme le principe des oscillations ou des vibrations forcées, et le renfermer dans cet énoncé gênerai ; '
Si une portion d'un système quelconque dont toutes les parties sont unies ou par des liens matériels, ou par les attractions mutuelles de ses membres , est eontinuellement maintenue par quelque cause, soit inhérente, soit étrangère à la constitution du système, dans un état de mouvement régulier périodique , ce mouvement se propagera dans tout le système , et donnera naissance, pour chaque membre et pour toutes ses parties , à des mouvememens périodiques exécutés dans 'des périodes égales à celle à laquelle ils doivent leur origine , quoiqu'il ne s'ensuive pas nécessairement qu'ils doivent être synchrones dans leur maximum et leur minimum.
Le système peut être constitué favorablement ou défavorablement pour une pareille transmission des mouvemens périodiques, ou favorablement dans quelques-unes de ses parties et défavorablement dans d'autres; et, suivant qu'il s agira de 1 une ou de l'autre de ces circonstances , les oscillations dérivées ^ comme on peut les appeler) seront imperceptibles dans un cas donné, d'une grandeur appréciable dans un autre , et même plus sensibles dans leurs effets que les oscillations originaires dans un troisième : ce dernier se révèle dans l'accélération de la lune dont nous parlerons ci-après.
5âT. Notre situation sur la terre, aidée du degré de perfection auquel nous avons su arriver par nos découvertes, nous met en état de faire de notre globe une sorte d instrument destiné à rendre sensibles ces vibrations forcées, ces mouvemens dérivés, qui partent de divers points, principalement de notre proche voisine, la lune, à-peu-près comme nous découvrons, an moyen d'une pédale que presse notre pied , la transmission secrète du mouvement par laquelle le son d un tuyau d'orgue [se disperse dans l'air qui le renvoie au sol. Ainsi, la révolution mensuelle de la lune, et le mouvement annuel du soleil , impriment de légères nutaiions à l'axe de la terre , dont les périodes sont respectivement d un demi mois et d une demi année, et peuvent chacune , dans la question qui nous occupe , être regardées comme une portion de période composée de deux parties égales et semblables. Mais l'exemple sans contredit le plus remarquable de cette propagation de périodes , nous est fourni par les marées qui sont des oscillations forcées, produites par la rotation de la terre dans un Océan dont les attractions variées du soleil et delà lune troublent la figure d'équilibre.
5â8i La théorie des marées est^ pour une foule de personnes, une source
