ANALYSE DES FORCES PERTURBATRICES

autres. Supposons donc ( %. 71 ) que S soit le corps central, M le corps troublant, et P le corps troublé. L'attraction de M agira sur P dans la direction PM, et sur S dans la direction SM ; et la partie troublante de l'attraction de M ' n'étant que la différence de ces forces, n'aura pas de direction fixe, mais sollicitera P très différemment , selon les configurations de P et de M. Il sera par conséquent nécessaire , en analysant ses effets , de la décomposer, conformément aux principes de la mécanique, en forces qui agissent suivant certaines directions savoir selon le rayon vecteur SP, et perpendiculairement à ce rayon. Le moyen le plus simple d'y parvenir , c'est de décomposer les attractions exercées par M à l'égard de S et de P suivant ces deux directions , et de prendre , dans les deux cas , leur différence pour l'action perturbatrice de M. Dans cette estimation nous découvrirons deux puissances perturbatrices distinctes ; l'une que nous appellerons force tangentielle , agissant dans la direction PQ , perpendiculairement à SP et par conséquent dans la direction de la tangente à l'orbite de P , supposée peu différente d'un cercle^ l'autre, que l'on peut appeler la force perturbatrice radiale, dont la fonction sera toujours de rapprocher P de S ou de l'en éloigner. '

^ 541. La première de ces deux forces est la seule ( art. 419 ) qui trouble l'égalité des aires que P décrit autour de S en temps égaux , et est par conséquent la principale cause de ses déviations angulaires de la forme elliptique ; car la propriété de décrire des aires égales dans des temps égaux ne dépend d'aucune loi particulière de force centrale, mais exige seulement que la force motrice, n'importe laquelle, soit dirigée vers le centre. Toute force qui ne remplit pas cette condition doit troubler les aires.

542. D'autre part , quoique la portion radiale de la force perturbatrice en raison de ce qu'elle est toujours dirigée vers le centre , de manière à en approcher ou à en éloigner le corps troublé, ne puisse empêcher que les aires épales ne soient décrites en temps égaux • cependant , comme sa loi de variation est en désaccord avec cette loi simple de la gravitation qui produit et maintient l'ellipticité des orbites, elle a de la tendance à faire dévier de cette forme • et en obligeant le corps troublé P tantôt à se rapprocher, tantôt à s'éloigner du centre plus qu'on ne devrait l'attendre des lois du mouvement elliptique et à en placer les points de plus grande proximité et de plus grand éloignement autrement que ne le comporte l orbite non troublée , elle affecte la grandeur, l'excentricité et la position de l'axe de l'ellipse de P.

543. Si nous considérons la variation de la force tangentielle dans les diverses positions relatives de M et de P, nous trouverons que, généralement parlant elle s évanouit lorsque P est en A ou en G ( fîg. 71 ) , c'est-à-dire, en conjonction avec M, et aussi en deux points, B et D, ou M est équidistant de S et de P ou très près des quadratures de P avec M; et que, entre A et B ou D , elle tend à soliciter P vers A tandis que , dans le reste de l'orbite , sa tendance est de le solliciter vers C. Yoici en conséquence, quel sera l'effet général de la marche de P pendant une révolution sxjnodique complète dans son orbite à partir de A Son mouvement sera d'abord accéléré de A jusqu'en B ; depuis là retardé jusqu'à son arrivée en C ; accélère de nouveau jusqu'en D , et, de rechef, retardé lusgu'à son retour a la conjonction A. ' j m

544. Si l'orbite de P était un cercle exact , aussi bien que celle de M , il est évident que le retard qui a lieu pendant le temps employé à décrire l'arc AB serait exactement compensé par l'accélération dans l'arc DA ces arcs étant exactement égaux, et semblablement disposés à l'égard des forces perturbatrices; et de même que Accélération dans l'arc BC serait exactement compensée par le retard dans CD. Ainsi , pour chaque révolution moyenne de P, la corn»

m TRAITÉ D'ASTRONOMIE. —

EFFET DES FORCES TANGENTIELLÈS. CHAPIÎRE XI.

pensation aurait lieu ; la période demeurerait inaltérable , et toutes les erreurs en longitude se détruiraient l'une l'autre.

545. Cette exacte compensation , toutefois , dépend évidemment de la rigueur symmétrique avec laquelle les portions des orbites sont disposées de part et d'autre de la ligne CSM. Si cette symmétrie est détruite, la compensation n'aura plus lieu , et il se manifestera dans le mouvement de P des inégalités qui s'étendent au-delà de la limite d'une seule révolution , et qui doivent attendre leur compensation , si jamais elle a lieu , dans l'inverse des relations des configurations qui les ont produites. Supposons , par exemple , que l'orbite de P étant circulaire , celle de M fût elliptique , et que , au moment où P partirait de A , M fût à sa plus grande distance de P ; supposons aussi que M fût assez éloigné pour ne décrire qu'une petite partie de son orbite pendant une révolution de P. Il est clair alors que , pendant la révolution entière de P , la force perturbatrice de M acquerrait de l'accroissement à mesure que M s'approcherait du centre S , et que , par conséquent , la perturbation qui s'exercerait à chaque quadrant ferait plus que compenser celle produite à chacun des qaadrans précédens ; en sorte que , lorsque P serait revenu en conjonction avec M , on aurait fini par trouver une balance en faveur de l'accélération. Ce genre d'action se maintiendrait aussi long-temps que M continuerait à s'approcher de S. Mais une fois qu'il recommencerait à rétrograder, l'effet inverse aurait lieu, et il se manifesterait un retard à chaque révolution de P j et ainsi de suite alternativement, jusqu'à ce qu'au bout d'un grand nombre de révolutions de M qui auraient fait correspondre la conjonction à toutes les positions de P dans son ellipse , soit dans la proximité , soit dans l'éloignement de S, une compensation d'un ordre plus élevé eût succédé aux compensations partielles de hausse et de baisse successives pour qu'il pût s'étabhr un mouvement angulaire moyen comme s'il n'y avait eu aucune perturbation.

5A6. Le cas est seulement un peu plus compliqué , mais le raisonnement est àpeu-près le même , lorsque l'orbite du corps troublé est supposée elliptique. Dans le cas d'une orbite elliptique , la vitesse angulaire n'est pas uniforme. Le corps troublé demeure alors plus long-temps dans quelques parties de sa révolution, moins long-temps dans d'autres , sous l'influence des forces tangentielles accélératrices et retardatrices , que ne le demande une compensation exacte. Ainsi, indépendamment de toute variation de distance de M à S , ce fait seul donnerait lieu à un excès ou à un défaut de compensation , et à une perturbation indestructible à la fin d'une période synodiqucj et si les conjonctions avaient toujours lieu au même point de l'ellipse de P , cette cause agirait constamment dans un sens, ce qui donnerait lieu à une inégalité qui n'aurait pas de compensation, et qui finirait par changer le mouvement angulaire moyen de P. Mais ce cas ne peut jamais avoir lieu dans le système planétaire. Les mouvemens moyens (c'est-àdire les vitesses angulaires moyennes ) des planètes dans leurs orbites , sont incommensurahles entre eux. Il n'y a pas deux planètes , par exemple , qui^ décrivent leurs orbites dans des temps exactement doubles, ou triples, l'un de Fautre , ou dont l'une accomplisse exactement deux révolutions , tandis que l'autre en opère exactement trois , ou cinq , et ainsi de suite. S'il y en avait , le cas en question se présenterait. Supposons , par exemple , que les mouvemens naoyens de la planète troublée et troublante fussent exactement dans la proportion de 2 à 5 , un cycle composé de cinq des plus courtes périodes, ou de deux des plus longues, les ramènerait exactement à la même configuration. Chaque révolution de ce cycle nous donnerait leur conjonction aux mômes points de leurs orbites , tandis que dans les périodes intermédiaires du cycle les autres configurations occuperaient des points différens. Cela donnerait lieu à la circonstance que nous avons envisagée , et il en résulterait un dérangement permanent,