THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE

547. Or, quoiqu'il soit vrai que l'on ne puisse trouver deux planètes dont les mouvemens moyens soient exactement commensurables , il ne manque pas de cas dans lesquels il s'en faut peu que cette condition ne soit remplie. Le cycle que nous ayons pris ci-dessus pour exemple se vérifie presque dans Jupiter et Saturne, c'est-àdire un cycle composé de cinq périodes de Jupiter et de cinq de Saturne. Cinq périodes de Jupiter 'font 21665 jours, et deux périodes de Saturne 21 51 8. La différence n'est que de 145 jours , pendant lesquels Jupiter décrit environ 12° et Saturne 5 , en sorte que , au bout du premier intervalle ils ne seront qu'à 5° de leur conjonction dans les mêmes parties de leurs orbites que précédemment. Si nous calculons le temps moyen qui doit amener exactement trois conjonctions des deux planètes , nous le trouverons de 21760 jours , leur période synodique étant de 7255 jours 2/5. Dans cet intervalle Saturne aura décrit 8" 6' en plus sur deux révolutions sidérales , et Jupiter le même excédant sur cinq. Chaque troisième conjonction aura donc une avance de 8° 6' sur la précédente, ce qui suffît pour établir , non pas, à la vérité, une identité parfaite avec le cas en question, mais pour en approcher de beaucoup. L'excès d'action, pendant plusieurs triples conjonctions semblables ( 7 ou 8 ) sans interruption, sera dans le même cas , et à chacune d'elles le mouvement de P sera également influencé de manière à accumuler l'effet sur sa longitude, donnant ainsi naissance à une irrégularité considérable et d'une fort longue période , que les astronomes con^ naissent très bien sous le nom de grande inégalité de Jupiter et de Saturne.

548. L'arc 8° 6' est contenu quarante-quatre fois et 4/9 dans la circonférence entière de 360°; en sorte que, si nous calculons le retour de cette conjonction particulière , nous la verrons se reproduire au même point de l'orbite dans autant de fois 21760 jours, ou dans 2648 ans. Mais la conjonction, que nous considérons ici , n'est qu'une des trois. Les autres deux arriveront en des points de l'orbite éloignés d'environ 123° et 246° , et ces jwints aussi avanceront du même arc de 8° 6' dans 21760 jours. La période de 2648 ans les ramènera donc toutes, et dans cet intervalle chacune d'elles aura lieu au point des deux orbites d'où nous sommes partis : ainsi une conjonction ( l'une ou l'autre des trois ) arrivera en ce point une fois dans un tiers de cette période , ou dans 883 ans. C'est donc là le cycle dans lequel la grande inégalité se trouverait entièrement compensée , si les élémens des orbites avaient été invariables pendant tout ce temps. Leur variation , toutefois , est considérable dans un si long intervalle; et , par ce motif la période elle-même se prolonge jusqu'à environ 91 8 ans. '

549. Nous avons choisi cette inégalité comme un exemple convenable de l'action de la force tangentielle perturbatrice , en raison de son étendue de la longueur de sa période et de son haut intért^t historique. Les astronomes avaient remarqué depuis long-temps qu'en comparant ensemble les observations modernes sur Jupiter et Saturne avec les anciGnna§ , les mouvemens moyens de ces planètes ne paraissaient pas uniformes. La période de Saturne, par exemple semblait s'être agrandie dans tout le dix-septième siècle , et celle de Jupiter's'être raccourcie , c'est-à-dire que l'une des deux planètes avait été constamment en retard , et l'autre en avance sur le lieu que leur assignait le calcul. D'un autre côté, au dix-huitième siècle , une marche tout-à-fait opposée parut se manifester. Il est vrai que la somme des retards et des accélérations observés n'était pas bieii considérable; mais comme leur influence continua à s'accumuler, elle produisit à la fin, des différences sensibles entre les lieux observés et calculés de ces deux planètes, différences qui, comme elles ne pouvaient s'expliquer par aucune théorie , commandèrent au plus haut degré l'attention , et furent même un moment regardées avec trop de précipitation comme à-peu-près subversives de la doctrine newtonienne sur la gravitation. Pendant long-temps cette différence brava tous les efforts tentés pour l'expliquer, jusqu'à ce qu'enfin Laplace en assigna la

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cause dans la presque commensurabllité des mouvemens moyens , comme on l'a fait voir ci-dessus , et réussit à en calculer la période et l'étendue.

550. L'inégalité en question s'élève alternativement, à son maximum, à un retard et à une accélération d'environ 0° Â9' en longitude pour Saturne , et à une accélération ou à un retard correspondant d'environ 0" ^1 ' pour Jupiter. Que l'accélération , pour l'une des planètes , doit nécessairement être accompagnée d'un retard pour l'autre , et réciproquement , c'est ce dont on ne peut douter , si l'on considère que l'action et la réaction étant égales , et dans des sens contraires , quelle que soit l'impulsion que Jupiter imprime à Saturne suivant PM , il faudra que Saturne l'imprime à Jupiter suivant MP. L'une sera par conséquent entraînée en avant, toutes les fois que l'autre sera tirée en arrière dans son orbite. La géométrie démontre que , pour chaque révolution moyenne , le rapport suivant lequel cette réaction affectera les longitudes des deux planètes est en raison inverse de leurs masses multipliées par les racines carrées des grands axes de leurs orbites , et ce résultat , auquel on arrive par un calcul aussi compliqué que curieux , est parfaitement d'accord avec l'observation.

551 . L'inégalité dont il s'agit serait beaucoup plus grande , sans la compensation partielle qui s'opère en elle dans chaque triple conjonction des planètes. Supposons (fig. 72) que PQR soit l'orbite de Saturne, et pqi- celle de Jupiter j qu'une conjonction ait lieu en P, sur la ligne SA; une seconde à 123" de distance , sur la ligne SB ; une troisième à 246", sur SC , et la suivante à 368°, sur SD. Cette dernière conjonction ayant lieu à-peu-près dans la situation de la première , reproduira presque le premier effet en retard ou en accélération des planètes; mais les autres deux étant sur les points les plus éloignés de la première , auront lieu dans des circonstances entièrement différentes quant à la position des périhélies des orbites. Or, nous avons vu que deux planètes mises en présence par la conjonction, dans des situations diverses, tendent à produire une compensation ; et , dans le fait , la plus grande quantité possible de compensation que puissent produire trois configurations seulement , c'est celle qui se manifeste lorsqu'elles sont ainsi également réparties autour du centre. Trois positions de la conjonction compensent plus que deux , quatre plus que trois , et ainsi de suite. Nous voyons par-là que ce n'est pas la quantité entière de la perturbation qui s'accumule ainsi dans chaque triple conjonction , mais seulement cette petite partie qui est laissée sans compensation par les conjonctions intermédiaires. Le lecteur qui a déjà quelques notions là-dessus sentira aisément que cette considération est équivalente à cette partie de l'analyse géométrique de l'inégalité dont il s'agit , par laquelle nous sommes amenés à chercher son expression parmi les termes du troisième ordre , ou qui renferment les cubes et les produits à trois dimensions des excentricités. Il sentira aussi que l'accumulation continuelle de petites quantités , pendant de longues périodes , correspond à ce que les géomètres entendent lorsqu'ils parlent de petits termes qui deviennent des valeurs considérables par intégration.

552. Des considérations semblables s'appliquent à tous les cas de commensurabllité approchée qui peuvent avoir lieu parmi les mouvemens moyens de deux planètes quelconques. Tel est, par exemple , celui qui se présente entre le mouvement moyen de la terre et celui de Yéniis , 1 3 fois la période de Vénus équivalant presque à 8 fois celle de la terre. Ceci donne lieu à ce que chaque cinquième conjonction approche beaucoup de coïncider avec les mêmes points de chaque orbite ( à 1 /1 40 près d'une circonférence ) , et , par conséquent , à une accumulation correspondante des perturbations résultantes sans compensation. Mais , d'un autre côté , la portion perturbatrice ainsi accumulée n'est que ce qui reste après avoir admis les compensations de cinq conjonctions également réparties svr la circonférence ; ou , selon le langage des géomètres , cçtte por-