I-h €COS(i' — W
d'où
I — co8(p — a))^i-he I — cosw I-+- cos(v -+-<o)~"i — e i-h costt
l5o DBUXiâlIB PARTIS. — GHAPITBB III.
c'est-à-dire
(21) tang|((^ — w) = i/jzTe ^^"^^ "*
Cette formule fait connaître directement l'angle v — w en fonction de w, et par suite de t. Lorsqu'on compte les angles v à partir du périhélie, on a o) =1 o, et par suite
(22) langip = 4/i^tang|w.
Les coordonnées r et r déterminées par les formules (i5)et(a3) font connaître la position d^une planète dans son ofbite à un instant quelconque ty lorsque pour cet instant u est connu. Il s'agit donc tout d'abord d'obtenir u. Mais l'équation (19) qui l'exprime étant transcendante, il est impossible en général d'avoir son expression sous forme finie, et c'est à un développement en série que l'on est obligé d'avoir recours. Voici le moyen que l'on emploie ordinairement pour y par^ venir.
On a
i< = nf -f- « sîn a,
et comparant cette équation avec celle
dont le développement dû à Lagrange est
^ ^ •'^ ' 1.2 dlr 1.2.3.../1 ûte»-*''^ ^
on en déduit, en faisant 5 = //, x^= ni, f{x) ^=r. sin j? (et laissant x pour plus de simplicité),
e* dsxxi^x e^ d^sin^x 1.2 dx 1.2.3 dx*
Mais on a
d sîn' J^ 2sin'T = — C0S2XH-I, — ^ = sin2^,
... . ^ ^ . d^sin^x 3*sin3x — 3s\nx
2'sin'jr — — sin3j?+3sinx, — j— — = >
dx* 2*
On a donc, par la substitution de ces valeurs dans l'équation précé-
ÉPHÉlléRIDBS DES PLAIfÂTES. l5l
dente et après avoir remplacé x par nty
(23) u = n( -h e sin nt -^ — s\n 2 nt -\ — ^(3sin3/i/ — sin nt) -\-
Uangle u étant déterminé en fonction de l par cette formule, on aura les valeurs correspondantes de r et ç' à Taide des relations (i5) et (22) qui précèdent. Mais il est préférable, surtout lorsque les excentricités sont petites, d'exprimer r et ç' de la même manière que w, c'est-à-dire par des séries procédant suivant les puissances de e et qui soient des fonctions explicites du temps. Voyons donc comment on peut exprimer r et (' sans passer par le calcul de u.
On a
Posons
F(rr) = I — «cosar, F'(ar) = «sinx, f{x):^sinx, x = nt\ alors, par la formule connue
(*) ?(i)^¥{x}-r-en^)f{x)-: ...-- —Jj— - ^[F'(x)/(x)-],
on en déduira
- — i — e cosar -1- e* sin' j* -: , f- • • • >
a 'À dx
mais
. . cos2J^-Hi d^ivi^T 3ros3j^--^ Bcosj?
sin'x = > — :; = " » ••••
1 dx 2*
Substituant ces valeurs dans Téquation précédente et remplaçant x par sa valeur nt^ on aura donc
(2i) - = I — e cos nt ( COS2 nt — i) r(3cos3/t^ — 3cosn<) — . . . .
U nous reste à exprimer v en fonction de t. Or, si Ton écrit Téqualion (22) de cette manière
8in|i? /i -f-e sin i u cos^t;~~y/ I — e cos^u
el que, dans cette dernière, on remplace les sinus et cosinus par leurs valeurs en exponentielles imaginaires, on aura, C désignant la base du
l52 DEUXIÊMB PARTIE. — CHAPITRE 111.
système de logarithmes népériens,
Posons
il en résultera
et, en prenant les logarithmes des deux membres, on aura
log(i — XC-«*^) — log(i — XC«**^
expression d^où Ton tire, en développant les logarithmes et remplaçant les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en sinus et cosinus,
V z= u+alÀsinuH sinawH- — sin3a-4-...j.
Maintenant on a
u =^ nt -\- e sïn u,
sin u = = sin /i< -h - sin 2 n^ -f- -- ( 3 sin int — sm nt) -i- . . . ;
on a ensuite
sinau = sin an/ H- e(sin3/i/ — sinn/) -t- «'(sin 4/1/ — sin 211/) <r»
(4sin/i/ — 27 sin 3 n/ 4- 258in5ii/)-f-. . .,
sin3u = sin3/i/-4--(3sin4n/ — 3 sin 2/1/)
--r(i5sin5/i/ — i8sin3/i/ + 3sin/i/)
D^un autre côté, la formule de Lagrange [formule (6)] donne, en posant iH-yi — e* = a, d'où a = 2 et 5 = a, a? =2, e=ne'.
I 1 ie« i(»-f-3) «* i(»-^4)(*-+-5) «• — ? = -7 H — tt: h — —m H-
ÉPHÉMÉIIDBS DBS PLANÈTES. l53
c*est-à-dire, en remarquant que }< = -=:-,
D*après cela, et en bornant Tapproximation aux termes qui sont du troisième ordre par rapport à e, on aura donc
(25) v= nt-h^e sin/i/ -4-|e« sin2/i/ H T-^(i3sin3/i^ — 3 sin/i/) -+-....
r — 71/ ou la suite des termes -h 2esin/i/-|- Je' sina/i^-h. . . est ce que les astronomes sont convenus d'appeler Véquation du centre; c'est, comme on voit, la quantité qu*il faut ajouter à la longitude moyenne pour avoir la longitude vraie v. Si, au lieu de compter l'angle v du périhélie, on fixe son origine à un point quelconque de l'orbite et si, de plas, on prend pour origine du temps un instant quelconque après le passage de la planète au périhélie, il faudra, d'après les remarques que nous avons faites à la page i49) remplacer dans les expressions (24) el(25) (' par r — o) et ni par nt-\-t — o), et ces expressions deviendront alors
- = I — e cosnt -4- e — o) rcos2(/if H- e — w) — il — . . .,
i; = /i/-4-e-+-2^ sin(/i<-+- 6 — u))-H |e« sin2(/i< -t- e — a})4-. . ..
Connaissant t', r, (p et 0, on obtiendra la longitude héliocentrique c^i, la latitude héliocentrique s et la projection r| du rayon vecteur r sur l'écliptique, au moyen des relations suivantes, démontrées au § I du Chapitre III :
tang((>i — 6) = coscp tang(p — 6),
tangj — tang(p sin(ci — 6), n ~ rcoss.
Lorsque Tinclinaison cp est peu considérable, ce qui est le cas de la plupart des planètes, on peut, au lieu de calculer directement c^i, chercher l'expression de la correction p qui, appliquée à f , donne Vi. Cette correction, que l'on nomme réduction à Véclip tique, a pour expression, comme nous l'avons vu à l'endroit du Chapitre précité.
p = -^^îsin2(.^e)-^^^"^'l^i^4(v-e)H-. .,
— |-sm2((> — 6)h : — 3
gini 810 2
en sorte que
DBUXlàMB PARTIS. — CHAPITRE III.
inversement, on aurait
V = i>,-hpi,
Pi étant la valeur ci-dessus de p, dans laquelle Çi est mis au lieu de v. Les angles cp et 0, qui fixent la position de Torbite de m dans Tespace, sont rapportés à i*écliptiqae; mais il est aisé d^en déduire les valeurs y et t des mêmes éléments rapportés au plan de Torbite de m', comme cela est nécessaire dans le calcul des perturbations. En effet, soient {/i^. 20)
Fig. 20.
T E l'écliptique, îim Torbite dé m, Wm' rorbite de m',
N, N' les nœuds ascendants de ces orbites, 0 et 0' les longitudes T N et T N' des nœuds N et N', tp et ^' les inclinaisons respectives des orbites de m et m' sur Técliptique.
Ni sera le nœud ascendant de Torbite de m par rapport à celle de /n', et Ton aura
't = YN -4- Nx\|,
x'^YN'H-N'Ni, Y = mNi/n'.
Posons dans le triangle N'NNj
et
NN, = a = T — e, N'N = 6 = e — 6', N'N, = c = x'— 6',
alors, par les formules connues
sina sio6 . „ • /^ * • 4 n 1
-: — r = . w^ y smB cosa = sinC ces A -'- smA cosCcos^, sinA sinB
on en déduira
siny sin(': — 0) = sincp'sin(6 — 6'), sinY C08(x — 0) = sinçp coscp' — sin(p'coscpcos(6 — 6').
ÉPHÉMÉRIDES DES PLANÈTES. l65
Maintenant, si Ton développe dans les premiers membres de ces équations sin(T — 6), cos(t — 6), puisqu'on tire les valeurs de siuYsinx et de siuY cost, et qu^enfîn on pose
p — tang^ sinO, q r^tangcp cosO, P " tangç smO, q' — tang?p'cos6',
on obtiendra, après quelques réductions faciles,
[ — , sin'z = p — p-i-2sin*- î^^-sin(0 0),
1 £i!lI,cosT = <7-«'-2sin«? Li:îM:sin(e-6')sine.
\ CCS <p COS Cp ' ^ 2 CCS ^
Dans le cas où <p et cp' sont de très petits arcs, on peut écrire
^"^^ I si
( siny sinT =^ — /?', sinYCOST =: q - q'.
Ces équations déterminent Tînclinaison mutuelle y ^^^ orbites et la longitude t du nœud ascendant de m sur m'. On obtiendrait celles qui font connaître la longitude x' du nœud descendant de m' sur m en changeant simplement dans les précédentes x, />, Çy ^, 6 en x',/>', q'y ^',0', ou inversement, et remarquant que sinY prend dans ce cas un signe contraire.
l6G DEUXIÂME PARTIE. --CHAPITRE IV.
