I-H « COS(p — (d

Cette équation est celle d'une section conique rapportée à son foyer. Dans le cas des planètes, a est toujours positif et e -< i ; cette équation représente alors une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers; Tellipse se change en une parabole lorsque a est infini et e = i, et en une hyperbole lorsque a est négatif et e > i . La discussion de cette équation (i4) montre encore que i' et o) sont les angles formés par le rayon vecteur r et la ligne des absides ou le grand axe avec un axe fixe situé dans le plan de l'orbite, c'est-à-dire la longitude vraie de la planète et la longitude du périhélie. Quant à la différence v — «d de ces angles, qui ri\e la distance de l'astre au périhélie, c'est ce qu'on nomme Vanomalie vraie de la planète (*).

Si, au lieu d'éliminer dt entre les équations (6) et (lo), on élimine t/r, on aura

équation d'où l'on tire

dt r^ r

, r dr

dt =

r r* c'est-à-dire, en remplaçant H et K par leurs valeurs (12),

/a r dr /a r dr

~V^ /a ar — r^-^a^(i — e*") ~V l^ /a«c« — (a — r)"»

On rend cette équation intégrable en introduisant une variable auxiliaire u liée à r par la relation

(i5) r = a(i — ecosM), d'où dr = ae s\n u du;

(') Si, comme les anciens astronomes avaient coutume de le faire, on voulait compter Tanomalie vraie à partir de Vaphélie, il faudrait écrire, dans la formule (i4), 180 — V — Cl) au lieu de v — w, et, par suite, prendre au dénominateur I — e cos {y — w) au lieu de i + e cos ( v — w ).

BPHÉIIBIIDBS DBS PLANàXBS. 149

car il vient alors

(16) dt=i/ — (l~-«C08lf)cflf,

expression dont Tintégrale est

(17) nt-h-c^u — esinu,

en posant

c est la constante introduite par l'intégration, u Tangle que Ton appelle anomalie excentrique et ni le moyen mouvement ou Vanomalie moyenne de la planète m. Lorsqu^on prend pour origine du temps rinstant du passage de la planète par le périhélie, / et ii sont nuls en même temps, c disparaît donc et Ton a

(19) nt = u — esinu.

Lorsque, au contraire, on convient de compter le temps à partir d'un

instant quelconque après le passage au périhélie, Tangle nt se trouve

augmenté de la constante e — co, e désignant la longitude moyenne de

la planète à l'origine du temps ou la longitude de l'époque, et dans ce

cas Ton a

nt -h z — 0) = M — esinu ou

(20) nt = w — S-4-W — esinu.

La même relation (20) convient encore à Téquation différentielle (16) lorsqu'on a égard à Faction de la planète m', pourvu qu'en regardant b>, e, e comme variables, et posant

fndt = Ç = (D — e -f- M — « sin i<, il en résulte

dTi. rf; . dn,

-^ de -\- -P- dî, -{- -r- dta = 0.

de dz disi

Maintenant, si Ton élimine r entre les équations (i4) et (i5), on

obtient

e -4- cos(p — w)

CCS u = ^ y