ÉPHBMBRIDBS DE LA LUNE
cipales de ces inégalités, qui sont la variation, V élection et Véquation annuelle. Nous commencerons par celles qui affectent la forme et la grandeur de l'orbite lunaire; ensuite, nous considérerons celles que cette orbite éprouve par l'effet de son inclinaison. Soient S {fig* 21) la position du Soleil, LEDB l'orbite de la Lune
Fig. 21.
actuellement en L. Sous l'influence de l'action solaire, la Lune se trouve attirée vers le Soleil par une force représentée en grandeur et en direction par la droite LR. Pour apprécier les effets de cette force, décomposons-la en deux autres, l'une LP égale et parallèle à celle TS que le Soleil exerce sur la Terre, et l'autre LQ qui s'obtient en achevant le parallélogramme PLQR. La force LP étant commune en grandeur et en direction à la Lune et à la Terre ne change rien au mouvement relatif de ces corps ; c'est elle qui engendre le mouvement elliptique. Quant à la seconde force LQ, qui produit dans le mouvement de la Lune les inégalités que nous observons, on peut la décomposer en deux autres forces, l'une LN tangente à l'orbite de la Lune et l'autre ML dirigée suivant le rayon de la Terre. Considérons d'abord la première de ces forces, celle LN dont l'effet est visiblement d'altérer la vitesse de translation de la Lune autour de notre globe. En suivant la Lune dans les diverses positions qu'elle peut occuper sur son orbite, on reconnaît aisément qu'en partant de la syzygie C, par exemple, sa vitesse diminue jusqu'à la quadrature E; que de ce point à la
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syzygie D elle va en augmentant, pour diminuer de l'opposition D
à la quadrature B, et croître ensuite de B en C. C'est à cette série
d'inégalités, dont la connaissance est due à Tycho-Brahé, que l'on
a donné le nom de variation. En désignant par C la longitude
de 'la Lune et par O celle du Soleil, on a pour l'expression de
cette inégalité
o%36'siii(0— O-
La seconde force LM que nous considérerons maintenant agit pour changer la pesanteur de la Lune vers la Terre, et va nous donner l'explication d'une autre inégalité, dont la découverte est due à Kepler, et que l'on nomme équation annuelle^
Comme, dans le cours d'une année, la Terre accompagnée de la Lune se rapproche et s'éloigne successivement du Soleil, on conçoit que, lorsque la Terre atteint le périhélie, l'attraction du Soleil étant alors la plus grande, la pesanteur de la Lune vers la Terre se trouve diminuée et son orbite dilatée. Le contraire a lieu lorsque notre globe est à l'aphélie, car alors, l'attraction solaire étant la moins forte, la pesanteur est augmentée et l'orbite contractée. C'est à ces dilatations et contractions successives de l'orbite lunaire que l'on a donné le nom d'équation annuelle. Cette inégalité dépend, comme on voit, du lieu de la Terre dans l'écliptique et a pour période l'année solaire anomalistique. On peut la représenter par l'expression
o**ii'i6'8inÇ,
Ç étant l'anomalie moyenne du Soleil.
Outre l'inégalité dont nous venons de parler, la force LM en produit une autre désignée sous le nom (ï élection, et dont la découverte est due à Ptolémée. En examinant ce que devient la force LM dans les diverses positions que la Lune occupe sur son orbite, on reconnaît que la pesanteur augmente dans les quadratures et diminue, au contraire, aux syzygies, la diminution étant d'ailleurs double de l'augmentation ('). Or, sans l'action du Soleil, la Lune
(') Ceci exige une démonstration qac nous allons donner dans cette note. Nous nous appuierons pour le faire sur les considérations que Clairaut a développées dans sa Théorie de la Lune.
Soient S la position du Soleil, T celle de la Terre et L la Lune. Appelons M la
éPHÉMBRIDES DE LA LUNE. iSg
atteindrait son périgée au moment où la vitesse acquise commencerait à l'emporter sur Tattraction de la Terre. I^ Soleil, en diminuant la pesanteur et en favorisant la vitesse de la Lune, change rinstant où cet astre passe au périgée, point qui se trouve alors
masse du Soleil et posons
LT = /•, ST ^ p, SL = p', STL = T, LST = S.
Les actions exercées par le Soleil sur la Lune et la Terre auront respectivement
pour expressions -;j > -^^ > et ces actions seront dirigées, la première suivant LS et
P P la seconde suivant TS.
Décomposons la première de ces forces en deux autres, Tune dirigée suivant LT
et l'autre suivant une parallèle LP à TS. D'après la règle du parallélogramme des
forces, ces deux composantes seront représentées respectivement par t* - » -îî ^>
P P P P et comme la force qui doit être appliquée à la Lune, lorsqu'on suppose la Terre
immobile, est j » on aura pour les expressions des forces perturbatrices qui
agissent sur la Lune suivant les directions LT et LP
Supposons maintenant que le plan de Torbite lunaire se confonde avec l'écliptique ou que les trois corps soient dans un même plan, et abaissons du centre L de la Lune la perpendiculaire LL' sur ST, on aura
SL' = SL cos S ou SL' = SL,
car l'angle S n'atteint jamais 9'; on aura par suite
SL — p' = p — r cosT, I î 3rrosT
»■ 1 ■ ZTZ — • ^t - ■ — î - • • • •
On peut négliger le carré du rapport - qui est très petit, jfj environ ; ainsi la force
,r^ . , . , Mr „ ,^ ^ SMrrosT suivant LT se réduit a — r- et celle suivant LP a ; •
Mais cette dernière force peut clle-mcmc se décomposer en deux autres forces, l'une dirigée suivant te prolongement LM de LT et l'autre suivant une perpendiculaire à ce rayon. Ne considérons que la première de ces forces, celle qui agit suivant LM ; elle a pour expression
SMrro-^T 1 cosT,
Mr Cl comme clic attire la Lune en sens inverse de la force — r-> elle doit en être
l6o DEUXlàHB PAITIE. — CHAPITRE IV.
poussé vers le Soleil. Le contraire a lieu aux époques où le Soleil diminue la pesanteur de la Lune ; le périgée se meut alors en sens opposé ; et, comme la diminution est double de Paugmentation, l'arc dont l'apogée a tourné vers le Soleil surpasse celui dont il a rétrogradé : ainsi l'axe des absides de l'orbe lunaire se meut dans l'ordre des signes. L'arc parcouru dans l'espace d'un an est de 40*^40'» cl Isi circonférence entière se trouve décrite par le périgée en neuf ans environ.
Mais en même temps que ce phénomène se produit, l'excentricité de l'orbite lunaire varie; car l'action de la Terre étant d'autant plus faible que la Lune est près de son apogée, et d'autant plus grande que cet astre est plus rapproché de son périgée, il doit nécessairement en résulter, dans le premier cas, une augmentation de la distance TC à laquelle correspond une dilatation de l'ellipse lunaire, dans le second cas, une diminution de la même distance à laquelle correspond une contraction de cette courbe ; et dans les deux cas une variation de l'excentricité. Cette variation se manifeste à nous par une altération de la vitesse de l'astre, qui subit alternativement des avances et des retards, et constitue ce qu'on nomme réfection. Sa période est de 3iJ,8iig et, en appelant Ç
retranchée. R désignant la force totale que le Soleil produit sur la Lune dans la direction LT, on a donc
R:=^(i-3cos'T)
ou
