I. — Équation fondamentale
La méthode des distances lunaires étant celle qui est généralement adoptée par les navigateurs pour la détermination des longitudes en mer, la Connaissance des Temps donne ces éléments pour tous les jours de Tannée, et de trois heures en trois heures temps moyen de Paris. On les obtient facilement pour les heures intermédiaires au moyen de Tinterpolation, comme il est dit aux pages 709 et 710 de nos Ephémerides, Ces distances représentent les arcs qui vont du centre de la Lune au centre du Soleil, des planètes et des étoiles, et sont telles qu'on les verrait du centre de la Lune, s'il n y avait pas d'atmosphère, c'est-à-dire exemptes de la réfraction et de la parallaxe. Les étoiles qu'on est convenu de faire servir à cette détermination sont: 1° Aldébaran; 2** a Bélier; 3** a Pégase; 4** An tarés ; 5** PoUux ; 6» Régulus ; 7° a Vierge; 8** Altaïr et 9** Fomalhaut. On a eu soin de les choisir parmi les plus brillantes et les plus près de l'écliptique, afin que l'observation en fût plus facile. Mars, Vénus, Jupiter et Saturne sont les seules planètes employées. Les lettres E (Est), O (Ouest), que l'on voit placées en regard du nom de ces astres, servent à indiquer la position qu'ils occupent dans le ciel par rapport à la Lune. Voici comment s'obtiennent les arcs de distances vraies dont nous parlons.
Soient L' {Jig* 28) le centre de la Lune ou son lieu vrai, E' celui d'un autre astre (Soleil, planète ou étoile), et P le pôle de l'équateur ou de l'écliptique, suivant que l'on convient de rapporter la position des astres à l'équateur ou à l'écliptique. Dans le triangle ainsi formé PL'E', on connaît, outre l'angle P, différence des ascensions droites ou des longitudes, les deux côtés adjacents
l8a DEUXIÂUB PARTIE, —chapithb ti.
PL'^(0, PE'= (Sa', qui sont les compléments des déclinaisons ou des latitudes et que les Tables déterminent. Il est donc bien facile d'en conclure le côté L'E' =: A, ou la dislance vraie cherchée. En elTet, l'équation fondamentale de la Trigonométrie sphérique ap-
Fig. ïl.
pliquée au tnangle PL'E' donne
cosA = cosiî)cosfD'-H
sin(OsinCEl'cosP
c'est-à-dire
COSA = COS(DCOS(Û'(H- l
angCOtaagtD'cos
il'i;
et si, pour i
mettre celte équation S'
DUS une forme
plus
on pose
langç — langtBcosP,
on obtient
(a) cosA = cos{DcoatB'(i + ia''BTtang(ï)') =
i5(Bcos((P' — y>
c'est la formule cherchée.
On peut avec son aide calculer les arcs de distances lunaires que l'on voit inscrits aux pages 4^5 cl suivantes de la Connaissance des Temps ('). Relativement aux arcs qui se rapportent au Soleil et à la Lune, nous ferons remarquer qu'on ne les trouve dans les Epliémérides que pour des valeurs de l'angle P pins grandes que S/j" environ et plus petites que ■ ^5" : cela tient à ce que, pen-
(') Ces calculs se trouvent un peu abrégés par l'emplo[ des Tables numériques coDstruîtes par Faricj en i83i pour l'usage du A'aulical almanac. Ces Tables, imprimées en i856 sous ce titre: Natural versed sûtes /rom o* to ii5', élc, ont ili offertes par radministratioa du Nautieal aux diversA Èphéméridt*.
CALCUL DBS DISTANCES LUNAIRES. l83
dant les trois jours qui précèdent ou qui suivent la néoménîe, la Lune n*est pas visible, et que, pendant les trois jours qui précèdent ou qui suivent la pleine Lune, le Soleil se trouVe à une trop grande distance de notre satellite pour qu'il soit possible d'en mesurer la distance.
Voici une application des formules (i) et (2) à la détermination de la distance vraie des centres du Soleil et de la Lune, le 2 juin 1878, à minuit moyen de Paris. La Connaissance des Temps donne pour cette époque
Xq = f 43" o',95, (©Q = -h 2!i*»i6'35',5 ;
P = X^ — <vVq = i'»42"'45*,73 = 25Mi'îi6'(en arc), tô = 63*5i7'ar,o, (D' = 67*'43'24%5.
Par suite, on a
tangcD 0,3014^59 cos(D 9,6501983
cosP 9195479^3 cos((0'— ©).. 9»997«>'7
tango 0,256222a 9,6472000
(D' 67.43.24,50 costp 9,6855910
? ^-^g'^^-zQ cosA 9,9616090
C'est le nombre donné dans la Connaissance des Temps, à la page 53o.
IL — Réduction des distances apparentes en distances vraies.
Les dislances lunaires, telles qu'on les observe, sont affectées de la parallaxe et de la réfraction; il faut donc les en dépouiller, pour pouvoir les comparer aux distances vraies que donnent nos Éphémérides et en conclure la longitude. La méthode que Ton emploie de préférence pour cet objet est celle de Borda. Gomme ce calcul emprunte ses principales données aux Ephémérides, nous croyons devoir rappeler ici, en peu de mots, en quoi il consiste.
Soient 8, A, A' la distance et les hauteurs apparentes du centre
l84 PEUXIÉMB PARTIE. — CHAPITRE VI.
des deux astres et A, H, H' la distance et les hauteurs vraies de ces astres, c'est-à-dire corrigées de la réfraction et de la parallaxe. 11 s'agit d'obtenir la distance "vraie A, d'après la connaissance de la distance observée 8. Or, en considérant le triangle sphérique formé par le zénith z et les centres apparents des deux astres,
on a
ros8 — sin Asin///
cosz = T ^, ;
cos h cos h
on a semblablement, en considérant les centres vrais de ces astres,
cos A — sinU sinH'
cos;: = u \v
cos H cos 11
D'ailleurs,
sînAsinA' = cos A cos A' — cos (A -\- A'), sin H sin H' = cos H cos H' — cos( H -f- H' ),
ce qui permet d'écrire
cos 0 -f- cos ( A -4- A') cosA --cos(H -h 11') cos A cos A' ~ cos H cos H' '
ainsi
. cos H cos H' ^ ., ,, ,__ ,, -
cos A = = ,Y fcoso -h cos (A. -H A ) — cos(H -\- H )1.
cos A cos A ^ \ / \ /j
Maintenant, on a
cos5-{-cos(A -h A') = 2Cosl(A-h A'-r-o) cosl(A-+- A' — o), cos( H -f- II' ) = 2C0S» 1 ( H -f- H')— I, cosA = I — asin'lA, en sorte que
. ,.. ,.,„ „,. cosl(A-+- A'-f- 5)cosJ(Ah-A' — S) cos H cos H' sm'A A = cos*l(H -+- H ) — L!: ?-l i ;
cos A cos A' et si, pour abréger, l'on pose
on obtient
sin^A = cos«i(H - H')- ££i^£^cosmcos(m~ 8).
cos A cos A ^ '
On rend cette équation calculable par logarithmes, en prenant un
CALCUL DES DISTANCES LUNAIRES. l85
aogle (f tel que
^ /cos H COS H' y -^.
i / r rr cos m cos (m — o )
, . .y cos h cos h
(i) sinc> = -ï^ r-7i 7jr y
^ cos J ( H -i- H >
car il vient alors
(3) siniA = cosl(H -^ H')coscp.
C'est sur ces formules que les calculs de l'exemple rapporté dans la Connaissance des Temps ont été établis. Les équations (i) et (a) déterminent les arcs auxiliaires m et «p; Téquation (3) fait connaître A.
