IX. — Lignes de simple contact nord et sud

Les inlersections du cône de pénombre avec la Terre, considt'n'es à diflTérenls instants successifs, déterminent, sur la surface du globe, une série d'ovales embrassant une zone, dont les courbes, dites de simple contact au nord et au sud y forment Tenveloppe. Ceci a particulièrement lieu quand a2 <C P' — A', c'est-à-dire lorsque loules les f^énéra triées du cône viennent à rencontrer la Tefre. (^uand n :>V^ — A' ou lorsque le cône de pénombre ne rencontre pas entièrement la Terre, une seule de ces lignes se trouve tracée sur sa surface; elle est située du côté sud si la différence de déclinaison de la Lune et du Soleil est négative, et du côté nord si cette diflTérence de déclinaison est positive. Dans ce cas, nous avons \u que la courbe des lieux, qui voient la phase au lever et au coucher du Soleil avait la forme d'un 8 distordu.

Soient S {fig^ 33) la position du Soleil à un instant donné.

L la position de la Lune sur son orbite relative, Z et Z' les zéniths des lieux respectivement situés sur les courbes limites nord et sud, et m, m' les positions apparentes correspondantes de la Lune. Menons les méridiens P m', Pm, PS, PZ, PZ' ainsi que les arcs /«/•, /?i'r', L/irf/i', perpendiculaires à PS, et soient Srf = (j:), Lrf= (^), mh =iXy LA =^, Sr = u,mr = r, Sm =A', Z/n = Z, PmTj = M, m PS = a'. Désignons en outre par D' la déclinaison du point m, par / la latitude du lieu Z et par h l'angle horaire ZPS.

Nous allons chercher d'abord la condition qui doit exister entre les coordonnées </ et f' du point m et le temps /, pour que ce point puisse être la position apparente de la Lune au moment du milieu de Téclipse.

. Il faut évidemment, pour cela, que la distance apparente A' des deux centres, pour le lieu Z, soit la plus petite possible ou que Ton ait

dû,'

condition que l'on peut écrire de la manière suivante :

du dv

en remarquant que A'- =^ u'^ -\- ç^.

Or, en considérant le triangle sphérique PZ/?? (Ji^- 33), on a

Pm = 90° — D', PZ = 90° — /,

mVZ = h — 7,'j /nL = P'sinZ, X = mLcosM = P' sinZ cosM, ^ = mL sinM = P'sinZ sinM.

On a de plus

sin m PZ cot M = cot PZ sin Pm — cos P m cos m PZ,

ou, en vertu de la relation qui doit exister entre les sinus des angles et les sinus des côtés opposés,

sin Z cos M = cos PZ sin P m — cos P m cos m PZ sin PZ = sin/ cosD' — sinD' cos /cos (A — a').

On aurait de même

sin Z sin M = cos/ sin (A — a').

Ainsi,

mh= X = P' [sin/ cos D' — sinD'cos/cos(/i — a')], LÀ = 7 = P'[cos/sin(A - a')].

Comme, d'après la figure,

u = mh — S e/ = a? — (ar), r = Le/ — LA = (y) -^,

du „, . .rfD'

-, = — F sini — 7— cos dt dt

dv d(y)

on en conclut

^ M = Sr = P'[sin/cosD' — sinD' cos/cos(A — a')] — (a:), •^^ \ V =hd = (y) — P'coslsin{h — 7.'),

Maintenant, si l'on différentie ces valeurs de u et de {> par rapport à /, et qu'on remarque que l'angle horaire h varie à raison de i5° par heure, on aura

-, — — P'sini'-T- [.sin/sinD' -{- cos/cosD' cos(A — a')] -h P'sîni'^5°- ^\ cos/sinD' sin(A - a') - ^\

37 = "Sr - ^ s.n.'(^,5°- ^ jcos/cos(A- « ), OU bien

iZ-+-P'siniYi5''-^^sinD'sinZsinM-î^\

15"— -T- j(cosZ cosD' — sinZ sinD'cosM).

Mais les quantités P'sini"-^» P'sini"-3-, étant très petites

par rapport à celles P'i5^sin i", -^ et -Sp> on peut les supprimer et écrire en outre (D au lieu de D', ce qui donne

( ^ = P'i5''sini''sin(E)sinZsinM- ^?^\

■ i dv d(y)

\ di ^ dt " P'i5''sini'(cosZcos(D — sinZsindDcosM);

par conséquent,

u rPi5*»sini'sin(î) sinZ sin M - ^^^

—-j- P'i5°sini'(cosZ cosO — sinZ sin(DcosM)| = o,

ou bien, en remplaçant P'sinZ cos M par (a:) + u, FsinZsinM par (>') — if et effectuant les réductions,

[d(v)~\ i5*sini''(:r)sin(DH — ^-- — P'y i5*sini*'cosZpos(D = o

Xi{ TROISIÈME PARTIE. — GHAPIXaB II.

C'est la condition cherchée entre w, r, P', Q et Z. Nous allons en déduire une relation entre Z et Pinclinaison H que fait l'orbile relative apparente avec le parallèle de déclinaison mené par le point S.

On a, d'après ce qu'on a vu au § VIII,

équations qui, étant difFérentiées par rapport à /, donnent, en nvgli^cant les variations de (D et de cos(D) et appelant D la déclinaison de la Lune au moment de la conjonction vraie, ai son mouvement relatif en ascension droite, et D| son mouvement relatif en déclinaison,

c/(.r) ^ div) ^

On a, par suite,

v'CosCÔcosZ— —, ( y)sin(D — -r — A irr, (:r)sin(jt) -r- -.— .- - J ^ o.

P'L"^^ i:>"àiiii^J PL ii^'sini'J

Soient

('^)^ ^L 1:1 .y =( o, 58204 )aiCosD,

i-i'^sinr

(B) -= ./^.' , --(o,582o4)Di,

> . (B) — (v)sin(u>

A sinv — r—-^ — ,

P coscO

. CA)-l-(j:r)sin(0

, A cos V — —. ,

1 P'cosut)

expressions dans lesquelles les quantités (A) et (B) peuvent être regardées comme constantes pendant toute la durée de Féclipse. On aura

cosZ ( — asinv -^ p cosv) - o.

L'angle rSm étant égal à T, il en résulte

u A'cosT, V A'sinr;

par conséquent ,

„ XsinCi'— v)

cosZ r— r -.

sint

C'est la relation que nous voulions obtenir entre Z et i .

Puisque

LSd= s, LSm = i8o°— (S -+- 1')» I^S/n'== S -h C,

on en conclut par le triangle LSm, considéré comme plan,

Lm*= P'«sinîZ = A»-f.y2zfc2Aycos(S-i- i'), (i'oii

(h) sin2Z= — pr, -± -pr^oH^-^O»

le signe supérieur ayant lieu aux limites nord et le signe inférieur aux limites sud. En élevant l'équation (5) au carré et l'ajoutant à celle (6), on obtient

Comme une petite erreur dans la valeur de l'angle H ne peut pas influer d'une manière sensible sur la valeur de Z, on peut considérer l'angle t comme étant égal à celui *', et dès lors on a, pour déterminer Tangle Z {/ig- 33),

n = A' cos i, D' = (D q= M,

i> = A'sine, x = rt rr;» ( D) = D -h (x — a') correct.,

cosD ^ ' '

^'^^ ^' 7 = (a~a')cos(D), ^ = (D)-D',

^ X P'cosM FsinM

le signe supérieur dans les valeurs de D' et de a' se rapportant aux limites nord, et le signe inférieur aux limites sud.

On peut encore obtenir Z et M à l'aide des formules suivantes, plus simples que les précédentes, bien qu'un peu moins exactes.

Soient t rintervalle de temps écoulé depuis le milieu de l'éclipsé générale jusqu'au moment considéré et w' l'angle formé par l'arc L/;i et la plus courte distance n des centres.

On a

L m sin w' = n tanij co - n - et L m co«^ (»>' = /i ifc A',

équations qui, en y n^inplaçant L/?i par P'sinZ, peuvent s'écrire

P'sinZsina>'= n -j P'sinZcosfo'= n ±i A'.

SoucuoN. — Àstr, prat. 1 5

On déduit de là

nt . „ nzh^'

langtu = rrrr:» sinZ==;7 ;,

c{nzh 1) P costu

el, en posant

c{nzh\')

on obtient

(Cl) tan£!rw'= Mî, sinZ= :> M = ( — /) zr: lo',

^ cosw / . 7

le signe de E et de F étant le même que celui de n ± A'.

Une fois M et Z déterminés, on obtient la longitude / et la latitude h du lieu cherché par la considération du triangle sphérique ZmP(yî^. 33), dans lequel Z mz=^L^ Pm = 90° — D'et PmZ=^ M. On a, en effet, par ce triangle,

cotZ cosD'= sinD' cosM -\- sinM cot(/t — a' ), d'où

col(/i — a ) = = r7 — sinD .

langZcosM

tangM

Soit

(lo) langô = tangZ cosM,

alors on aura

On a ensuite

sin/ = cosZ sinD' 4- cosD'sinZ cosM,

relation qu'on peut écrire sous cette forme

- ^, sinZ __ sinD'cosM sinZ

tang/ = cosD , cosMh- ji v. ;;

cos / tangZ cosM cos/

ou sous celle-ci

, cosD'sin(/i- a) sin D' sin(// — a')

lang / = -! f

tang.M tangZcosM langM

sinZ sin(/e — a') -r» i i • • i

en, remarquant que > = -r-rr-. Par la substitution de*

* ^ cos ^ sin M

tango à la place de tang ZcosM et eu égard à la relation (i i), on

aura donc

(12) lang/ = lang(ô -{- D')cos(/t — a).

Comme moyen de vérification, on a

sinO sinZ cosM

cos(6-i-D') cos(/i — a')cosl

formule bien aisée à démontrer.

Les valeurs de Z et de M déterminées par ce qui précède sont suffisamment approchées pour le but qu'on se propose. On pourrail cependant en obtenir de plus exactes en introduisant dans les équalions (8), à la place de i, la valeur C de cet angle déterminée par la relation (5), qui devient

t cosZ j, , ., tangv

(i3) cotr=cotv — c — : — , d ou tanci ^ î^— ,

Asinv " cosaçp

en posant

sino = — ^ .