XI. — Courbe des lieux voyant le milieu de Téclipse au lever

et au coucher du Soleil.

Puisque chacun des ovales Ouest et Est est la limite des lieux qui voient la fin et le commencement de l'éclipsé au lever ou au cou-

cher du Soleil, il doit nécessairement exister, dans chacun d'eux, une ligne allant du Nord au Sud, et telle que les lieux qui y sont situés voient, pour l'ovale Ouest, le milieu de l'éclipsé au coucher du Soleil et pour l'ovale Est, le milieu de l'éclipsé au lever de cet astre. C'est cette ligne DCE [fig* 3i et 32), dont le tracé sur les Cartes des Ephéniérides permet Une appréciation plus complète de la marche du phénomène, que nous allons maintenant déterminer en admettant que l'inclinaison de l'orbite apparente de la Lune soit la même que celle de l'orbite vraie ou que { = /, supposition qui donne lieu, dans la pratique, à des résultats suffisamment approchés pour le but qu'on se propose.

Soient NN' {Jig^ 34) Torbite relative vraie de la Lune et Sw

Fig. 34.

une perpendiculaire menée à cette orbite par le point S, position du Soleil. Si l'on prend sur la direction S/i, de part et d'autre de ce point S, des tengueurs Sm = S/w' = 0 -[- c/, il est clair que les points m et m' ainsi déterminés seront les limites entre lesquelles devra se trouver la position apparente de la Lune, pour qu'il puisse y avoir éclipse; et deux cas seront à distinguer, suivant que le point m' tombera entre S et /i ou au delà du point n.

Supposons d'abord que le point m' tombe entre S et n, et prenons sur NN', M| m' = P'. La première position vraie de la Lune sera en M|, et il n'y aura qu'un simple contact au moment du milieu de l'éclipsé. Quant aux autres positions vraies de la Lune, en deçà du point M| (nous supposons que le mouvement s'effectue de N vers N'), elles ne pourront évidemment donner lieu à aucun contact et, par conséquent, à aucun lieu voyant le milieu de l'éclipsé. Mais de M| en Mj, la série des lieux voyant le milieu de l'éclipsé,

le Soleil étant à Thorizon, existera, et cette série sera continue si V <i mn ou si /i >> P' — (2-1- d), et discontinue si P ;> mn ou si n <I P' — (S -h d), ce qui s'accorde parfaitement, comme on voit, avec ce que nous avons dit au § VIII, puisque dans le premier cas la courbe des levers et des couchers a la figure d'un 8 déformé, vl dans le second cas celte courbe est formée de deux ovales distincts et séparés.

Supposons maintenant que le point m' tombe au delà du point /î, et prenons Mn = P. Il est clair que, dans ce cas, à chaque position vraie de la Lune comprise entre M et M|, point où Mi /w' = P', correspondront deux positions apparentes de chaque côté du point /î, et, par conséquent, deux lieux voyant le milieu (le l'éclipsé à Thorizon. Passé le point M|, les contacts ne pourront plus se faire que du côte /i Y et correspondront chacun à une position de la Lune comprise entre M| et M2, M2 étant un point tel que Mjm = P'. Enfin, du point M2 au point symétrique M^, la série (les lieux voyant le milieu de Téclipse à l'horizon existera, et cette série, comme dans le cas qui précède, pourra être continue ou discontinue, suivant qu'on aura

/i>P' -(0 -e/) ou /i<F — (0-4-f/).

Il s'agit actuellement de déterminer les époques correspondantes aux positions M, M|, M2, M^, M'^, M' de la Lune sur son orbite relative vraie, positions qui sont celles pour lesquelles ont lieu les premiers et derniers contacts indiqués.

En convenant de représenter par w l'angle Mmn que fait la perpendiculaire S/i à l'orbite relative avec la ligne qui va de la position vraie de la Lune à la position apparente, et par T| , Ta les demidurées correspondantes aux positions de la Lune en M et M2, on aura, d'après ce qu'on a vu au § IX, p. 228.

i^ n<:(rj-\-d) :

cP' Point iM toi = 90", Ti ~ ,

r, . *. n-h{o-^d) rP .

Point M* coswi = îTT > T* — sinioj,

(•)2 étant plus grand que 90°, quand d est négatif. Maintenant, si l'on conçoit mené par le point S {/ig' 35) un