CHAPITRE II

arc de grand cercle ZS, et qu'on prolonge Mm jusqu'en Z, l'arc ZS étant sensiblement égal à 90**, il est clair qu'on pourra considérer les arcs Z/w et ZS comme sensiblement parallèles à leurs extrémités, et dès lors on aura

Fig. 35.

Première position du lieu correspondant au commencement de la phase.

coti

(2) sin/ = — sini'cosCD, tangA = r— ^>

// devant être pris entre o® et — 1 80**.

Première position du lieu correspondant à la fin de la phase.

/ Cette position est déterminée en changeant le nom de la lali- ^ tude de la position du commencement et en appliquant à \ l'angle horaire A, if: 180".

Seconde position du lieu correspondant au commencement

de la phase,

a = — i — coj, 6 = — i -h wj,

sin/ = cosacosûd, tangn = . \^ >

sinOO

Seconde position du lieu correspondant à la fin de la phase.

sin/ = cos6cos(D, tangn = :— ^ •

sinCO

Les secondes positions du commencement et de la fin de la phase sont deux des points extrêmes (M| et M'^) des lignes tracées sur la surface de la Terre. Quant aux deux autres points extrêmes Ma, Mj, ils pourront êlre déterminés comme précédemment, en

prenant

.COSO) =

n étant considéré comme positif et w >> 90*^, quand d est positif.

Ces quatres points extrêmes M<, M'^, M2, M'^ sont les mêmes que ceux des limites nord et sud, dans le cas d'un simple contact.

2** Soit /; > P' — (0 -h rf) et < 0 -h rf. Dans ce cas, les positions

sont déterminées dans toute Tétendue de la durée Ti = — • 3^ Soit// >(o4-rf). Ici

n — (§-+-</) cP' .

cosw = ,, ~ et T = sinto;

le phénomène a lien pendant toute la durée t, et les positions extrêmes sont déterminées à l'aide de cette valeur de w et des équations (4)*

Les limites entre lesquelles la phase est possible, une fois déterminées, on obtient la position des lieux qui correspondent à des époques quelconques, comprises entre ces limites, au moven des relations suivantes :

(w > 90® quand d esX, négatif),

a ~ — i — tu, ^ = — « -h (i>, sin / = cosa cosût), tangr/t = ^- >

• j » rrx 1 tango

sin/ = coso coscE), tangA — :--c^ >

smCÔ

/ désignant ici Pintervalle de temps écoulé depuis le milieu de l'éciipse, jusqu'au moment considéré.

Dans ce qui précède, nous avons admis que /' = iy ce qui conduit à des résultats suffisamment approchés pour le tracé des Carlns données dans les Ephémcrides. Si Ton voulait une plus grandtî exactitude, il faudrait employer la valeur même de i' et prendre la parallaxe corrigée P\ qui convient à la latitude du lieu obtenu par le premier calcul-, on aurait alors, comme on Ta vu au § IX,

rz=v, P'=:p(n-y>),

puis

(j:) = (D) — O, (D) = D4-(acorrect. Table X),

(y) = acos(D), tangS = (A) = (o, 58204 )«! cosD,

sinS CCS s

et l'angle v serait donné par la formule

(B) — (7)sin(0

lancrv = . . , . ^

" (A)-4-(j')sinCÈ)

Supposons maintenant que dans la (Jlg' 36) on ait

d'où

M mm' = Mm' m ;

appelons B cet angle et posons

PmM = ]M et Pm'M = M',

Fig. 36.

on aura

PmS = v, Pm'S = i8o' — V, M = 6 — v,

M'= i8o» — V — 0, MS/n= 180*» — S— V, MSm' = S-f-v, SMm = S4-v — 0,

SM/7i'= i8o*> — (S-^v-+-e);

et en considérant les triangles MS/zi et MSm'^ il viendra

sin 0 = —,810(8 -r- V ),

c, P'sin('S -f- V — 0 )

Sm = ^— , Pm M = M = 6 — v,

sin(b-hv;

^ , P'siii(S -h V -4- O^i ^ ,^,

Sm'= r-î^— , P/;i'xM = M' =(180* — V - 6);

B est positif ou négatif, mais plus petit que 90**.

PRÉDICTION DES ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. aSg

Les valeurs de M et de M' étant connues par ce qui précède, on obtiendra la position des lieux correspondants à ces valeurs, au moyen des formules suivantes, qui se déduisent des triangles PmZ cl P//i'Z,

Pour M siiw = cosM cosCE) iansh z= . °^ ,

sinCO

tan** M' Pour M' sin/ = cosM'cosCD tancrA = r^^r- •

Pour que ces deux positions puissent exister, il faut que les quantités S m et S m' dont nous venons de donner les expressions, soient toutes deux plus petites que 5 -h rf, somme des demi-diamètres apparents du Soleil et de la Lune. Une seule de ces positions peut être déterminée, si Tune de ces quantités S m', par exemple, est plus grande que S -f- <^, et elle correspond alors à l'angle M. EnHn, si les quantités S m et S m' sont toutes deux plus grandes que 0-^ ci, le milieu de l'éclipsé ne peut pas être aperçu de la Terre, el, dans ce cas, aucune détermination n'est possible.

XIL — Ligne de Téclipse centrale.

Cette ligne FG (Jlg* 3i et Sa), qui renferme les lieux voyant exactement le centre de la Lune sur le centre du Soleil, résulte des intersections successives de l'axe des cônes d'ombre avec la surface de la Terre. Comme, en chacun de ses points, la parallaxe relative de hauteur P'sinZ doit être égale à la distance vraie A (les deux centres, on a d'abord

(1) sinZ = p,

Soit l l'intervalle de temps, écoulé depuis le milieu de l'éclipsc jusqu'au moment considéré; on a, comme on l'a vu au § VIII,

(.)) langto = - > A =

c cos 0>

(.) étant plus grand que 90°, quand n est négatif. On a ensuite

le signe négatif, dans ces valeurs de S, se rapportant au temps

•Xio TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE II.

écoulé aidant le milieu de l'éclipsé, et le signe positif au temps écoulé après ce milieu.

En considérant maintenant le triangle PSZ (Jig. 36), dans lequel PS = 90" — (£), PSZ = S, SZ = Z, on a, comme on Ta vu au

( , sin6 -.

\ istnch = jr ;^ tanins,

(O \ cos(8-+-(ô) ^ '

( tang/ = tang(6 H- (D)cos/r,

en posant

tangO = tangZ cosS.

On a aussi la formule suivante, qui sert de vérification :

sinB sinZcosS

cos(6-»-(D) ~~ cosAcos/'

H est de même signe que cosS et plus petit que 90®, et h dans le même demi-cercle que S.

Quant au lieu qui voit à midi vrai l'éclipsé centrale, on peut en déterminer la position de la manière suivante. Comme à cet instant les deux astres doivent évidemment se trouver en conjonction en ascension droite vraie et apparente, on a d'abord

1 = à et S = (), d'où résulte

(5) sinZ=p et / = (0-i-Z,

Z ayant le même signe que d ; on a ensuite

longitude Ouest du lieu = Temps de la conjonction vraie.

La valeur de P' qui entre dans les formules précédentes est celle qui convient au lieu cherché; mais comme ce lieu est inconnu, on peut prendre pour la valeur de P' celle qui se rapporte à la latitude moyenne de 45**? sauf à recommencer le calcul avec la valeur de P' correspondante à la latitude du lieu ainsi déterminée, si Ton veut une plus grande exactitude.

Relativement aux positions des lieux qui voient les premiers ol les derniers IVclipse centrale, comme ces positions apparticnnrnl évidemment aux courbes des lieux voyant le milieu de l'éclipsc à rhorizon, elles seront délerminées parce que nous venons de dire au Paragraphe qui précède.

Nous allons faire une application des formules qui précèdent à l'éclipsé de Soleil du i6 avril 1874, et chercher la position d'un point de la Ligne de l'éclipsé centrale qui suit l'époque du milieu T;„ d'un intervalle que nous supposerons égal à o**5o".

Nous avons d'abord

époque du milieu 2.10

Époq. suiv. le milieu.. 3. 00 I / » — 26.49

log^ 3,477i2H-

loge 3,7i38o-i-

logtangco. 9,76332-^

S après

Nous avons ensuite

logCOSbl. . 9,93706

logn 3,48640-

logA 3,54934-

logP'.... 3,56323-

logsinZ.. 9,98611-

logtangZ. 0,58995-i

logtangZ.

logcosS. ,

logtang6,

logsinQ

logcos(ô 4-(D).

langS

logtang/i 0,37972-r

Équat. du temps.

En arc h

Longitude