XIII. — Éclipse de Soleil pour no lleo particnlier
Soient S et L, [fig- 37) les positions apparentes respectives du Soleil et de la Lune à un instant compris entre le commencement et la fin de l' éclipse, et NL, N' un arc de grand cercle tau-
Fig. 37.
gent au point L| à l'orbitte relative, arc que nous supposerons se confondre avec cette orbite à l'instant considéré. Menons sur le cercle de déclinaison PS l'arc de grand cercle perpendiculaire L,c/, et du point S abaissons l'arc Sn perpendiculaire sur NN'. Soient, en outre,
(D)ia déclinaison apparente du point d;
D la déclinaison vraie de la Lune en L| ;
D' sa déclinaison apparente;
» la différence des ascensions droites vraies du SoleU et de la Ldne;
CE* la différence de leurs ascensions droites apparentes,
et posons
Sd = x, Ud^.y, SL, = W,
PSL, z= S, \A.,d^d^n = i,
Sn = n, LS = SL,= 4',
LSn = L,Sn=:b>.
Par le triangle sphérique P<^L| , rectangle en d, on a
tang(D)- '-^^'
tangP ,^„^„
tangD(i-
wng»D C0S3 + tang'D
OU bien encore, à cause que l'arc a est très petit,
r/T^x 1^1 tangD(i — cosa) . i^ . , « tangiïD) — D] = — ^^ rK— = sin^Dsin»-.
Supposons que a soît exprimé en minutes et (D) — D en secondes de degré ; alors
tangKD) — D] = [(D) — DJsin i',
sin - = - sin i*^ (3o sin i')a,
et par conséquent
(D) — D = (900' sin i'sin!iD)a'= a correct.
Maintenant, si Ton convient de représenter par Aa et AD les parallaxes d'ascension droite et de déclinaison, dont les expressions rigoureuses ont été données au § II du Chapitre III de la première Partie (éq. 6 bis et 7), et que, dans le cas actuel, on peut réduire à cette forme ( ' )
Aa = =r > AD = P (sin/cos® — cos/sin(D cosA),
cosD
il est clair qu'on aura
a — Aa = a', D — AD = D' ;
par suite, on pourra écrire
r = [D'-i-(a — Aa)correcl.] — (£), y = [% — Aa] cos D'.
Soient Xi et ri les variations horaires des coordonnées x et y;
on aura aussi
j:, = D,-ADi,
En différentiant les valeurs ci-dessus de Aa et de AD, on ob-
(') En écrivant sinP'aulieu de sinP (égal, d'après la notation du Chapitre III, à sinll), mettant (0 au lieu de CD', et négligeant A«l», ce qui donne (A) = A.
lionl
/Aa\ lr.,dh . ,\ cos/
a ( -7-1 = ( P -j- sin r ) =r cos/i,
\rf// \ É^< / cosD '
ai -y- j = r P — sini J cos/sintD sin/r.
D'ailleurs P', Aa, AD étant de très petites quantités, il est permis de faire
--pT- - (4,6856) =. -^^ = --^ ,
ce qui donne
sinP'=({,6856)P'
Aa =(5,3i44)tangAa,
AD =(5,3i41)tangAD.
Si donc Ton pose
m = ({,6856)P'cos/,
n =({,6856)F-î-^cos/i,
^ ' cos D
on aura
cos / p' — ^TT cos/i = ( j,3i41)n, cosD
P'cos/ = (5,3i44)/?i,
cl, par suite, les valeurs précédentes de . ^ ■ et de -^ — - devien-
dron
r/(Aa) ft\l^^^ • A
-^^ = (o,3i44)(^sini j„,
—f7~ = (5,3i44)( -77 sini jm sinu) sin/t.
En prenant i4°29'pourla valeur moyenne de -t-> on ohlient
dt
^ sini'=((>,4o27);
par roascqueni, en écrivant Aai et AD| au iieu de — ^ — cl — ^ —
on a
Aai = ( |,7i7'A)/i,
•^'^1 = ( i»7i72)'" sinCD sin/e.
Los valeurs de.r, v, a'oj'i étant ainsi déterminées, le triangle rfSLj
considéré comme rectiligne donne
pu
IS
a: S1IIÎ5 cosii j^,
Mouvement horaire dans l'orbite = -^. :
cos A
n = \V cos( S -t- i ), cos w = — , rt suivant que
Téclipsc est partielle, totale ou annulaire. Les triangles LSL,, L| SLj, L| S/i donnent ensuite
LL, = sinfw-i-(S H- 01»
W L,î.i= sinfw — (S-Ht)l,
L,/i = \Vsin(S -f- *)•
Si donc /«, /2> ^3 représentent les corrections que Ton doit appliquer à Tinstant Tpris comme origine, pour avoir celui du conimcnceinentde la plus grande phase ou de la fin de Féclipse, il est
clair que, en posant
Wcost ,
c = 36oo ,
^1 cos to
on aura
^1 = c sin[ — (S -H i) — (o],
t^z= c cos (0 sin [ — ( S -h i)],
^,= csin[ — (s-\- i) -\- w],
cl, par suite, il viendra :
Pour l'époque du commencement T -4- /|
Pour celle de la plus grande phase.. . . T 4- /j Pour celle de la fin T -i- /,
Pour que les résultats qui précèdent soient suffisamment exacts, il est nécessaire que l'époque prise pour origine soit voisine du milieu de Téclipse dans le lieu que Ton considère. Or le moyen le plus simple d'obtenir cette époque est de calculer d'une manière approchée le temps de la conjonction apparente.
Soient h l'angle horaire vrai du Soleil et de la Lune à l'instant
a46 TAOISIÉMfi PARTIE. •— GHÂPTTEB II.
de la conjonction vraie, h' Tangle horaire de ices dexrx astres au moment de la conjonction apparente, et t le temps écoulé entre ces deux conjonctions. L'efTet de la parallaxe n^ayant ici aucune influence sensible, on peut poser
et aussi
. P'cos/ . , - -,^.
a = ai/ Aa = =r-sin(/i-f- 15 t).
cosD
Alors, l'équation de condition cl'= q, qui a lieu à la conjonction apparente, devient
cos / «ff — P' =r (sinAcosi5''t)-i- (coshsïniSTt) = o,
et, en posant cos 1 5" = i , sin iS'^t = iSt sin i '', on obtient
s'inh
«1 ^r^ ^ 1 — 1 5 sin i^cos h F cos /
cosD
Nous allons actuellement considérer les positions apparentes de la Lune par rapport au centre du Soleil.
D'après \'^fig* 3^, il est clair que l'angle L| SP = S est Tangle de position de la Lune au centre du Soleil à l'instant que nous avons choisi pour origine ; de même que PSL = w -|- « est l'angle de position apparente au temps du commencement, PSLj = w — i l'angle de position au temps de la fin, et PS/i = / l'angle de position de la Lune à l'instant de la plus grande phase. En convenant donc de compter tous ces angles du Nord vers XEst^ on doit avoir
Au commencement S = ( — i) — w
A la plus grande phase S =; ( — i)
A la fin S = ( — i ) -î- w
Comme l'angle PSZ diffère peu de celui PL|Z = M, on peut supposer que Z = M; et alors l'angle de position du centre de la Lune au zénith, dans la direction de l'Est, est représenté par S — M. Quant à cet angle M, il est déterminé par les formules que nous avons rapportées au Chapitre III de la P" Partie, savoir :
tangO = cet /cos A, tang M = — rg — ^ tangÀ.
PRÉDICTION DBS BCLIP8B8 DE LUNB BT BC SOLEIL. 247
.XIV.,— Cakul àes circonstances d*ane éclipse de Soleil pour des lieux avoisinant le lieu considéré.
Eu égard aux relations a — Aa = a', D — AD = D', les valeurs des coordonnées x, j' données au paragraphe qui précède peuvent
s'écrire
\ a? = [( D -f- a' correct.) — (E) )] — AD,
( ^ = acosD' — AacosD';
el en désignant, comme précédemment, par i Finclinaison de l'orbite relative apparente sur un parallèle de déclinaison et par n la plus courte distance des centres des deux astres, on a, d't^ès la
fis- 37» • . .
n = a? cos i — y sin i, /i L| = a: sio ï -4-^ cos i.
Soient Let L2 les positions de la Lune qui répondent aux temps du commencement et de U fin de Téclipse. A ces instants, on a évidemment L/i ou L|/i= =p: A'sinu; et, par suite, pour les expressions des distances LL| etLsL,
zç: ysinci) — (a?8inî-+-^cost).
Divisant ces expressions par -^.> mouvement horaire dans l'or-
*^ ^ cos i
bite, on en déduit pour les intervalles ^1, ti exprimés en unité d^he«re, iotervalles qui, appliqués- au temps adopté T, éomanent rinstant f ou la phase a lieu,
A'cosi . cos», . .
t* ou tt= zîz sinco (arsint -i- y cost).
En posant donc
, A'cost . - ( 9 ) K = X 36oo',
on devra avoir pour le temps t exprimé en secondes
( 3 ) / = T rp K sin (li — —7 (a? sin 1 -r-y cos i),
(0 étant déterminé par la relation
n xcosi — rsint
(i) C0SW=j, = -^
^i% TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE II.
Maintenant si, dans les équations (3) et (4)^ on met à la place de X et de ^ leurs valeurs ci-dessus (i), puisqu*on pose, pour abréger,
(D -h a'correct.) — (î) . acosD' . . p — -, cosi -; — sini,
<7 r= [(D -I- a' correct.) — Q] s'ini -v- 77 a cosD'cost;
AD AacosD' . .
\p — — 7-cosi -7 sini,
f A ^ = --/ AD sin i -h 77 ^* cos D' cos i,
il viendra
(7) costt)=p — A/>, / = TqzKsincij — {g — A^).
Les quantités A/> et A^ qui entrent dans ces expressions dépendent de la position du lieu d^observation, et, transformées à Taide
des relations (6 bis et 7) du Chapitre III de la I" Partie, elles peii-
^ ,, . ^ cosD'
vent s écrire, en remarquant que — r^ = i ,
P'cosicos(Dsin/ , / ^' - • ^ , P' . • • » \
Ad— -7 — cos/( --7 cos £ sm (0 cos A -h -77 sintsin// .
P'Ksintcos(î)sin/ ,/P'K . . . ^ , P'K . . ,\ A y = -7 cos / ( —77- sin t sin (D cos h -7- cos isinh j.
Soient alors H l'angle horaire vrai de la Lune pour le méridien de Paris, X la longitude du lieu, positive à TEst et négative à TOuesl, <ît posons
-, P'costcosCD L y »
<8) / f^oslf— II)=" -7costsin(j0,
y' sin(ij/'— H) = -7 sin t.
... P'KsintcosûD L = y .
(9) ( Y'cos(i^* — H = — 7- sin t sin 00,
7'sin(4''' — H = — 7-COSÏ,
il en résultera
A/? = L'sin/ — y' cos/cos(t];'-r- h — II)
=■ V sin / — Y ^^^ ^ cos(<{;' -T- )^ ), \(j -= L'sin/ — y'<^os/cos(i^'h- h — H) = L'sin/ — Y'cos/cos(<J/*-t- X),
l'ty par suite, on aura, pour déterminer le temps / de la phase dans le lieu dont la latitude est l et la longitude X,
Îcosw = p — L'sin/-!- y'cos/ cos(^j;'-4- X), t ^(T — q)zpKs\nu)-h L'sin/ — y'cos/ cos(^'-f- >.).
Cette détermination se fera d*autant plus exactement que ce lieu (/, X) sera plus voisin de celui primitivement considéré.
