PAR LA LUNE

I. — Calcul des phases d'une occultation d'étoile ou de planète.

Première approximation.

Lorsque la Lune, dans son mouvement autour de la Terre, vient à nous cacher certains astres, étoiles ou planètes, situés sur la zone que son disque parcourt, on dit qu'il y a éclipse ou occultation de ces astres par la Lune ( * ). Il y a appulse lorsque l'astre ne fait seulement que raser le bord du disque lunaire.

Les occultations d'étoiles parla Luneoffrent, comme les éclipses, un moyen précieux pour obtenir la longitude des lieux terrestres. Aussi la Connaissance des Temps fait-elle connaître toutes les données nécessaires au calcul et à l'observation de ces phénomènes. Ainsi l'on trouve à la page 466 (année iSjS) les positions moyennes des étoiles de première à sixième grandeur occultées pour le i" janvier, et aux pages 474 ^^ suivantes le Tableau des occultations ou appulses des étoiles ou des planètes jusqu'à la sixième grandeur inclusivement, visibles à Paris. On trouve enfin aux pages 467 et suivantes les éléments nécessaires au calcul de l'occultation dans un lieu quelconque, éléments qui sont les deux latitudes extrêmes entre lesquelles le phénomène de l'occultation

(*) Comme la plus grande valeur du demi-diamétrc lunaire est i6'46*; que celle de la parallaxe est 61' 34' et que la plus grande inclinaison de Torbile est > 17*34% on voit que les étoiles dont la latitude est moindre que la somme de ces iircs ou 6*35'44% sont les seules pour lesquelles il puisse y avoir occultation. De ce nombre, sont évidemment les planètes, tant inférieures que supérieures.

PRÉDICTION DBS OCCULTATIONS DES ÉTOILES ET DES PLANÈTES ^5 i

esl observable, et les valeurs de certaines quantités /i,/>, ^, p\ q' dont la signification va être donnée dans Texposé que nous allons présenter de la théorie des occultations d'après Bessel. Soient

A et D Tasccnsion droite et la déclinaison apparente de Tétoile occultée; a et 0 Tascension droite et la déclinaison vraie de la Lune; 7.' et o' son ascension droite et sa déclinaison apparente; T. la parallaxe horizontale équatoriale ; p le demi-diamèlre horizontal ; p' le demi-diamètre apparent; [JL le temps sidéral ;

/• la distance du lieu d'observation au centre de la Terre ; G la latitude de ce lieu ; d cette latitude corrigée de reflet dû à Tellipticité de la Terre.

Admettons que S représente la distance angulaire de l'étoile I* au centre L de la Lune, mesurée sur l'arc de grand cercle qui passe par ces points, et abaissons du pôle P' le cercle de déclinaison P'P. L'angle à l'étoile où P'PL, étant compté de o® à 36o*», sera compris entre o** et i8o** si a'< A, et entre 180" et 36o** si a'> A; et, en considérant le triangle sphérique P'PL, on aura

sinS sinP = — cos8' sin(a' — A),

sinScosP = sino'cosD — cosS' sinD cos(at' — A).

On a d'ailleurs, pour exprimer le lieu apparent de la Lune en fonction de son lieu vrai,

A ces 0' sin %' = cos 8 sin a — r ces <p' sin 7: sin |x, Acoso'cosa'= cos8cosa — rcos<p'sin7:cos[i.,

A étant la distance du centre de la Lune au lieu d'observation. Substituant, on a donc

A sin il sin P — — coso sin (a — A) H- /• cosçp'sin?: sin({A — A ), A sinXcosP = sinocosD — coso sinD cos(a — A )

— /• simif sincp'cosD — cos<p' sinD cos(|x — A).

Si l'on observe maintenant qu'au moment d'une immersion et

254 TROISlàllE PAATIB. — GHAPITRB III.

d'une émersion

£ = p' et A sin p' = sin p,

d'où

A sin£ = sinp,

on en conclura

/ sin p sin P ~ — cososin(a— A) -H rcoscp'sinir sin(jjL — A),

(2) l sinpcosP= sinScosD — cos8 sinD cos(s — A)

\ — r sin it [sfn cp' cos D — cos cp'sin D cos( jjl — A )].

Posons

sinp = X: sin 71,

./r étant une constante donnée par les Tables lunaires, constante dont la valeur est égale, d'après les Tables de Hansen, à o, ^7295^ et divisons tout par sinic; alors

, . ^ cos5sin(a — A) , , . . ..

ArsinP = r-^^ '-h rcosç sinfu. — A),

(3) { , ^ sin 0 cos D — cos8 sinDcos(a — A) ' a:cosP= :

sin 11

— r sin ç' cos D — cos cp' sin D cos( jjl — A ),

équations qui, étant élevées au carré, puis ajoutées ensemble, donnent

., rcos8sin(at — A) ,. 1*

^ =L ^ -^-rcosY5in(,*-A)J

sin$ cosD — cos 8 sinDcosfa — A)

sinic

— r[sin«p'cosD — coscp'sinDcos((jL — A)] [ .

Ces équations sont rigoureuses ; mais, comme pour l'objet que nous avons en vue une très grande précision n'est pas nécessaire, on peut supposer

cos 8 sin (a — A) a — A ^

r--^ ■ = COSO = p,

sin 11 TU "^'

sin 8 COS D — cos 8 sin D COS (a — A) 8 — D : = z=q (>).

(*) Depuis quelques années, les rédacteurs de la Connaissance des Temps emploient les valeurs rigoureuses de p et de g. Les Tables XIII^XIV et XV, que nous donnons à la fin de TOuvrage, abrègent un peu le calcul de ces quantités.

PREDICTION DBS OCCULTATIONS DBS ÉTOILES BT DBS PLANETES. a55

Dès lors, et en posant

il vient

l r coscp'sin(jjt — A) = u,

\ r sin<p'cosD — rcoscp' sinD cos(jjl — A) = v',

/:* = (/? — tt)« H- (^ — i')*.

Supposons maintenant que a, o, ic et ja soient connus à une époque T, temps moyen de Paris, et assez rapprochée du temps (T -f- t) de l'immersion ou de l'émersion pour que Ton puisse exprimer le second membre de Téquation (4) en séries rapidement convergentes suivant les puissances de t; alors, pour le temps T + ^^

p deviendra/? -H />'/

U-h ll't

el, en négligeant les termes en t^ et ceux des ordres suivants, on

aura

a — A j coso,

TT

TU

CCS S .

TU

AS

TU

CCS 8 variai, horaires Aa= >

TU

TU

U = r cos<p'sin(jjL' — A),

ç = r sincp'cosD — r cos<p'sinD cos(jx'— A),

u = rcoscp'cos(fjL' — A) -^>

v' = rcoscp' sin([i.' — A)sinD -~,

expressions dans lesquelles [x' désigne Fheure sidérale qui se rap-

porlc an temps T cl où

log^^IogX = 9,41916 («).

lin représenlant par rii li l'angle horaire à Paris de Téloilc, ù rinstanl T de la conjonction vraie en ascension droite, positif si Taslre est dans TOuest, négatif si l'astre esl dans TEst; et par ziz^ la longitude du lieu considéré, positive si le lieu est à TEst et négative s'il est à rOuest, on aura

En posant donc

I a = /•cos<p'sin(/n Ç^),

(11) < 6 = /•cosç'cos(A-! ^),

( c = rsincp'cosD,

les valeurs de «/, ^/, r, v' qui précèdent pourront s'écrire

\ u' =^).b, V ~ c — /> sin D, v' = al sinD.

Quant aux valeurs de rcos'^' et de rsinç' qui entrent dans les expressions de a, 6, c, elles seront déterminées à l'aide des relations suivantes, qui ont lieu dans l'ellipse :

, cosç . , (1 — <'«)sin9

/•cos^ = \ * rsinç = — I- >

/i — e*sin'ï> y/i — e*sin*ç

C) En effet, -~ étant la variation de Fanglc horaire en i"* de temps moyen, on

a, en temps,

i'\ vu arr.

~ J'|il7'»9o-

iMuUipliant ce nombre par sin i" (ou le divisant par 206265), afin do réduire -— on partie du rayon, on obtient

PRÉDICTION DES^OCCVLTATIONS DES ÉTOILES ET DES PLANÈTES. iSy

lesquelles, en y supposant sinô = e sînç, prennent la forme