II. — Seconde approximation du calcul de roccultation
Première méthode. — Cas des occultations visibles à Paris, — Lorsque la valeur de ti ou celle de te excède i**, ce qui arrive toutes les fois que T -h ^ diffère beaucoup de la conjonction apparente en ascension droite, dans le lieu considéré, on ne peut plus compter sur Texaclitude des résultats obtenus, et, dans ce cas, il faut procéder à une seconde approximation en employant de nouvelles valeurs (/?), (q) et (A), correspondantes à une époque (T) -j- ^ plus rapprochée de la conjonction apparente dans le lieu que le temps T 4- 4^, Pour cette nouvelle époque, on pourra prendre
Soit alors " = (T)4-4^ — (1+ O* ^" calculera les quantités (/>), (q) et (h) qui doivent être employées dans ce second calcul parles formules
T, étant la valeur en arc de l'intervalle t préalablement converti en temps sidéral, et/?, ^r, p', q\ h des constantes dont la signification nous est connue-, puis, en partant de Tangle horaire (A) -h^ qui
correspond au temps (T) -f- ^ , on calculera par les formules (i i) et (12) les quantités w, w', r, v' qui dépendent de la position du lieu. Enfin avec les quantités w, u', r, ç' et les constantes (p), (q), p'j q^ (les dérivées /?' et q^ sont celles de la première approximation), on déterminera, comme précédemment, à Taide des formules(i5), (16), (17), (18) et (19), les temps de l'immersion et de Témersion, lesquels, par cette seconde approximation, seront exacts à la minute, ce qui est bien suffisant pour se préparer à l'observation.
Si Tastrc (|ui doit être occullé était une planète, il faudrait ajouter à la valeur de (/«), donnée ci-dessus, la variation — ijlt que subit l'ascension droite pendant l'intervalle de temps t; et cette valeur deviendrait ainsi
(6) (/*) = /*-f- Ti— ;a-.
Seconde méthode, — Cas des occultations invisibles à Paris, — La méthode qui précède convient aux occultations qui sont visibles à Paris ou à celles dont les éléments A,/?, 7,/?', q^ se rapportent au temps T de la conjonction apparente en ascension droite. Pour celles dont les éléments sont relatifs au temps de la conjonction vraie, c'est-à-dire pour les occultations invisibles à Paris, on doit, pour procéder au calcul de l'occultation dans un lieu donné, chercher le temps de la conjonction apparente dans ce lieu, puis ramener à cet instant les valeurs de A,/?, 7, qui sont données dans la Connaissance des Temps pour le temps T de la conjonction vraie.
Proposons-nous comme exemple de calculer l'occultation de 27 Taureau, le 17 octobre iS^S, dans le lieu (San-Francisco) dont
La longitude est 8'*i9™i»= I24**45'i6'0 de Paris
La latitude 37*'49'27'N.
et en combinant les deux approximations.
On déduit de la Connaissance des Temps pour la position de l'astre (année 1870, p. 4^^)
Ascension droite 3''4 1"44*
Déclinaison 23°4o' B
On a ensuite, par les formules (i3), (i4)>
log(rsin©') = 9,78528-4-, log(rcosç') = 9,89811,
On a d^ailleurs (p. 47*)
h - -r-i5i°o\ q =-t 0,1491, lo};/?'= 9,7693^, /?'^ -0,5879, ï«?^'= 9,^^931, ^' = 4-0,1735;
(le là on conclut pour la valeur de l'angle horaire vrai de 27 Taureau, à San-Francisco, au moment de la conjonction vraie :
Angle horaire à Paris -^ i5i , o
Longitude du lieu - - 124, |5
\ -r- 26, 1 5 en are ( -^ i''45'"o' en temps
Angle horaire , , .h/rm^.
Il faut maintenant déterminer d'une manière suffisamment approchée rintervalle de temps t qui sépare la conjonction vraie ï de la conjonction apparente dans le lieu considéré, ce qui peut se faire à l'aide de la formule suivante, dont nous donnons une Table à la fin du Volume (Table XVI),
Or, avec l'angle horaire -|-i**45'"o' pour argument, on trouve pour les valeurs des quantités A et B
A=r-+-44jO, B =4- 23,5.
On a d'ailleurs, à l'instant T, [jl = i35%55, et, comme pour le lieu considéré log/rz= g, r3o36, on en conclut [jLy"r= 83,6i . Par conséquent
T, =r-f-io°59', logx = 9,86458 -t-
Les valeurs de t et de T| une fois obtenues, on a pour le temps moyen approché de la conjonction apparente dans le lieu et pour Tangle horaire (A) qui lui correspond :
T O. 3.3o le 17 octobre
Les formules («), (i i), (i a) donnent ensuite pour le calcul de (/?),
logç'' 9»2593i -^
log/>' 9,76932 4- logx 9,86458^
'"^^ ^-^^^^^^ log^. 9,10389-^
log/?'T 9,63390 -h q'z -4-0,1270 .
logr coscp'
logrcos^p' 9^89811 -i- logcos(A)
log sin(A) 9,78180-4- iog6
loga 9)6799! H- '^g^
« = " -+-0, 47^5 log a'
logr sin©' 9,78528 -4- log6 9, 799^2
logcosD 9.96185-h logsinD 9,60359
loge 9,74713 -h logôsinD 9,40271-^
c H- o, 5586 loga 9,67991-4-
— 6sinD — 0,2528 logX 9,4*9ï6-h
i. + o,3o58 logsinD 9.6o359-^
v' -f-o,o5o4 logt^' 8,70266-4-
Le reste du calcul s'achève à l'aide des formules (i 5), (16), (17), (18) et (19), et l'on trouve pour les valeurs de M, N, m, /î, et de
^, li, te, P, F :
logwi 8,75280
log/nsinM 8,682i5 —
log/ncosM 8,47276 —
o , 4226 Jog ^ang ^^ o , 20939 4-
q— ç' -I- o, I23i log sin >1 9>92985 —
N 73*» 46' log/i sin N 9)^2593 -h
co-Iog n o, 35639 -+- logncosN 91O901& -^
*<^g ^ 9. {3609-1- log tang N 0,53567-^
 logsinN 9,98232 -^
log m 8, 75230 -r
cologÂ- 0,56391 -f-
log sin ( M — N ) 9 v4'^599 -f- j^ „3 ^^g
logcos<}; 8,7j220-h n -t- ^(/ 160. 36
log sintj^ 9^99934 =F 270.00
, k ,^ N — ij. 346.56
log- 9,79248 -T-
36oo' 3 , 5563o -+- q» -00 /
3,348i2zii
zpo'*37"*29%
— 36oo* 3,5563o — h m •
logm 8, 75230-1- ipo.37. 9
co-Iogfi o, 35639 -H '^^' ''^^
cos(M — N) 7,98398- /. -0.29.43
Avec ces valeurs de ti et de t^j on obtient enfin
Immersion. Émerslon.
h m ■ h m ft
//^ — 0.29.43 te — 0. 44-35
Iir. — Détermination des angles de position des points de contact
par rapport au pôle et au zénith.
Pour se préparer à robservation, il est nécessaire de connaître les points du disque lunaire où doivent se faire Tiraniersion et l'émersion: ils sont déterminés soit par l'angle que font entre eux les grands cercles menés du centre de la Lune à Tétoile et au pôle, angle désigné dans la Connaissance des Temps elles autres Ephéniérides sous le nom A^ angle-pôle, soit par l'angle des grands cercles menés du centre de la Lune à Téloile et au zénith, appelé an g le- zénith. Occupons-nous donc de la détermination de ces angles.
Eu égard aux relations (i 5), les formules (3) du § II peuvent
s'écrire
— A- sin P = m sin M -4- N sin N t^
- Acos P = m cos M — N cos N t,
et, en substituant pour t sa valeur ci-dessus, on obtient
-- X: sinP = ni siniM — ni sinN cos(M — N) ~ sinij/ sinN, — kcosV = m cos M H- mcosN cos (M — ]N)rh sin 4' cos N.
Mais
sin M — sinN cos (M — N) = sinM — sinN cos M cosN — sin M sin*N = sinM(i — sin'N) — sinN cos M cosN = cos N (sin M cosN — sinN cos M) — cosN sin (M — N),
cos M -f- cos M cos( M — N ) = cos M -i- cos N cos M cos N 4- sinN sin M cosN'-f- sinN sin M cosN = cosM(i-h cos*N)-r- sinN sinM cosN = sinN sin(M — N).
Ainsi
XrsinP = — m sin (M — N)cosN ib Arsinij/ sinN,
AcosP = — msin(M ~ N) sin N zp A: sini|;cosN;
d'ailleurs
m sin(iM — N) = Arcos^.
Donc
sinP = -cos(Nih^),
cosPr= — sin(N zb <j/),
el, par conséquent,
( P = 270°— (N -h <};) pour rimmersion, ( V — 270" — (N — ^) pour rémcrsion.
C'est la valeur de Tangle que, dans la Connaissance des Temps ^ on appelle angle-pôle ( ' ).
Quant à Vangle au zénith^ que nous désignerons par Q, il est évidemment égal à P augmenté de Tangle $ , compris entre le cercle vertical et le cercle de déclinaison; ainsi
Cet angle $, que Ton nomme angle parallactique, est déterminé par la considération du triangle sphérique formé par le pôle, Téloile et le zénith, lequel donne, en appelant H la hauteur de l'astre et ç la latitude du lieu pour lequel on calcule,
cos II sin ï = ces© sin /i,
ces H cos^r = cosD sin?p — sinD cosç cos/i,
el, par suite,
CVS sin h
{\) lang^X = ,c ;— rï T»
lanj^cpcosD — sin D cos /t
Les formules qui précèdent, appliquées à notre exemple (occultation de JJ Bélier), donnent :
Immenlon. Emenioo.
N 83'!59'.48'' Si'^W. 49'^
N -^^ 126.59.52 N— ij/ 41.37.50
An-.aHTableXVIl)... 41-48 , 43.48
(') Lorsqu'il y a appulse, le point de la plus courte dislance des centres est donne par l'expression
P = 370"— N, si sin (M — N) est positif, P = 90 — N, si sin (M — N) est négatif.
IV. — Détermination des deux latitudes extrêmes entre lesquelles le phénomène de Toccultation est observable.
Il nous reste maintenant à déterminer les limites extrêmes de la latitude entre lesquelles le phénomène de roccultation peut être observé.
Ces limites appartiennent évidemment aux points extrêmes des lignes de simple contact nord et sud déterminées comme dans le cas d'une éclipse de Soleil, et peuvent être obtenues en partant des relations que nous avons établies au § IX du Chapitre II. Il faut seulement remarquer ici que l'étoile n'ayant ni mouvement appréciable, ni parallaxe, ni demi-diamètre, on peut prendre P au lieu de P', 5 au lieu de A' et faire, en outre, cO =: D', ce qui apporte quelque simplification dans le calcul. On a de la sorte, et en adoptant les notations du § XV,
lancr t = -, n—ocosi. cosW = — r: — >
i cosW
f sin Z = , 9 M = ( — i)zz:o}':
\ costo
on a ensuite,
i'i) sin/ = sinCôcosZ -h coscO sinZ cosM,
et tout se réduit, dans le cas actuel, à chercher quelle est la valeur de l'angle w' qui rend / un maximum ou uq minimum. Soit <p un arc déterminé par la relation
(3) cosZ = coso sinW;
en rapprochant cette équation de la précédente
(4) cosoj' sinZ = cosW,
on en conclut
(5) sinoj' sinZ = sincp sinW,
car ces trois équations, élevées au carré, puis ajoutées ensemble, donnent pour somme l'unité.
On a d'ailleurs
sinOd cosZ = sin(© coso sinW,
et, de plus,
sinZcosM = sinZ cos(i ziz tu') = cosicosW p sin tsin^ sinW. Ainsi (6) sin/ = cosCJO costcosW-r- sinW(sin(D cosp ip cos(© sin 1 sin ^).
Désij^nons par 0 et ♦} deux nouveaux arcs tels que
( cosO cos<j/ r= sincD,
( cosO sin <j/ r . lii cos(© sint ;
par la même raison que, tout à Tlieure, on pourra poser (8) sinO := cosCD cose,
et l'expression précédente de sin / deviendra alors (()) sin/ = cosW sinO -h sin W cosO cos(^ -f- •{/).
Comme Tangle cp -|- 'i est la seule variable que renferme cette équation, on voit que la plus grande valeur de / correspond au cas où '^ -f- '^ =: o, et la plus petite valeur à celui oii o -{- ^ = i8o*\ Et il est évident d'ailleurs que, pour ces valeurs,
sin/ = sin(0-f-W), sin/ = sin(0— W).
Ainsi donc
( Maximum de / 0 -4- W
f Minimum de / 0 — W
la valeur de W, dans le premier cas, devant être celle qui convient à la limite nord, et, dans le second cas, celle qui se rapporte à la limite sud.
D'après Téquation (3), cosZ doit avoir le même signe que costp, lequel doit être celui de 4- cos'} pour la limite nord ou de — cosç pour la latitude sud; car, dans le premier cas, çp4- A = o et dans le second, cp -|- ^=:r 180°. Mais par la relation (7), cos»]/ doit être de même signe que (£); par conséquent
l Pour la limite nord, cosZ a le même signe que -+■ (Jt), j Pour la limite sud, cosZ a le même signe que — (£).
Et il suit évidemment de là que, lorsque la déclinaison (£) est négative, la limite extrême nord a l'étoile au-dessous de l'horizon,
piiisqu'alors la dislance zénithale Z excède po*', et, par conséquent, cette limite doit être exclue. Par la même raison, la limite sud doit être rejetée quand (D est positif.
Ainsi la seule limite extrême admissible est donnée par les
équations
lanîî i = ;: t n = o cos i,
^ a,cos(Jfe)
(12) ^cos\Vi= — r^ — > /i = 0 -t- \Vi quand (D est positif,
n — 0 cosWi = — p — > /i =: 6 — Wi quand (D est négatif.
Quant à l'autre limite en latitude, elle est évidemment l'un des deux lieux où la seconde ligne limite vient rencontrer les courbes du lever et du coucher, et est déterminée, par conséquent, parles formules
cos\Vj= — V^ y sin/j = cosCD cosa, P
le signe supérieur se rapportant, comme précédemment, au cas où (D est positif, et le signe inférieur à celui où (0 est négatif.
Les équations qui précèdent peuvent être mises sous la forme suivante
^ COSW,— p 4- p, p =0,2729,
\ n = àcosi, sin6 = cosCD cosï, l^=^^\ — 6, sin /j = =p cos (D cos ( Wj — i),
en observant que W|, W^, 6 et i doivent être pris avec le même signe que (D, et en convenant de prendre en outre le signe supérieur quand (î) est positif et le signe inférieur quand (30 est négatif.
Lorsqu'il arrive que W| est imaginaire, /, est égal à 90** et de même nom que Cô . Dans ce cas, Toccultation est visible près du pôle de la Terre lequel est alors tourné vers l'étoile. Quant c'est Wa qui est imaginaire, I2 est égal à go"^ — (Q et de nom différent avec (D.
Il reste à déterminer la position angulaire des points où l'immersion a lieu sur le disque de la Lune, ce qui peut évidemment se faire de la même manière que dans le cas d'une éclipse de So-
ieil. Ainsi on a pour Timage directe
I A Timmersion : angle de position (180** — 1) — w
( A Témersion : angle de position (180° — i) -t- w
et pour rimage inverse
!A l'immersion : angle de position ( — i) — w A rémersion : angle de position ( — 1) -+- w
tous ces angles étant comptés du Nord vers 1'^^^.
Appliquons les formules qui précédente la recherche pour X^ Bélier des limites en latitude de Toccultation.
On déduit de la Connaissance des Temps, pour Tépoque 1 1**47" 12* de la conjonction en ascension droite, les données suivantes :
d'où
Djc — (î)* = -i-o'»i7'54'', D, = -f-6'7', ai = -4-3i'54', P = j4'53'.
On a ensuite
logD. 2,56',67 '«g(Dî -(©*) = «J.... 3,o3.oo
log», 3,28194 '°e<=««' 9'99"^
Pj log n 3 , 02206
log ^ 91^8273 logP 3,51759
'^^^^^^^® 2:2^ log? ^^
logtangi 9)3ii43
i ^-If35' 1 -o,3i59
— p —0,3195 logcose 9,99ioG
constante -i-0,2729
logcosCD 9,97i3o
logcosnatW, -0,5924 î^^"^'^ 9.96:^36
logcosnatW, —0,0466
o ^ logcosûO 9»97i3o
NV, -4-126.23 logcos(\V,— i) 9,i9o33
Wj -h 92 . 40 , . , ~rTZ
w!-.- -^81.5 -log^-^» 9,-6i63-
/, = Wi-e H- 59.54 ' ""^'"
Ainsi les limites en latitude sont :
Limite Nord 60* Limite Sud 8'
SoocHO:c . — ^str. prat. 1 8
274 TROISIEME PARTIE. — Cil A PITRE IV.
