I. — Des causes qui produisent ce phénomène
Effets généraux.
Sous rinfliience attractive du Soleil et de la Lune, la mer éprouve UD mouvement d^oscillation régulier, en vertu duquel ses eaux s'élèvent et s'abaissent alternativement dans un intervalle d'environ la^'iS"*. Ainsi, à partir d'un certain moment, on voit, pendant 6^1 5"° environ, la mer s'élever et envahir graduellement les rivages qui la bordent; c'est le moment du flux ou àv\ Jlot ; puis, durant la même période de temps qu'elle a mis à monter, on la voit s'abaisser et abandonner peu à peu les lieux qu'elle avait inondés : c'est le reflux, \e jusant ou la mer baissante. On donne le nom de haute mer, au maximum d'élévation des eaux dû à l'effet du flux, et celui de basse mer au maximum de dépression causé par l'effet du reflux. L'oscillation entière du flux ou du reflux, ou plutôt l'amplitude de cette oscillation, est ce qu'on désigne sous le nom de marée; et l'on appelle marée totale la différence de niveau entre la haute mer et la basse mer, ou, pour parler plus exactement, la différence entre la mo^'enne de deux pleines mers consécutives et la basse mer intermédiaire.
Les plus grands géomètres des temps modernes, Descartes, Newton, Daniel Bernoulli, Euler, Maclaurin, d'Alembert, se sont occupés du problème des marées, mais sans parvenir à en donner une solution satisfaisante. Kepler paraît être le premier qui ait cherché dans l'action attractive des astres l'explication de ce curieux phénomène; mais il était réservé à Newton d'en faire connaître la vraie cause, en le rattachant au principe de la gravitation universelle qu'il venait de découvrir. La théorie de ce grand géomètre parut dans le Livre des Principes en 1687. Un peu plus tard,
PRÉDICTION DBS MAREES. 27$
en 1740, Daniel Bernoulli, Euler et Maclaurin tentèrent, par différents moyens, d'avancer la solution de la question, mais sans cependant ajouter beaucoup à ce qu'avait dit Newton avant eux. Enfin, en 1774» Laplace, aidé des importantes découvertes que Ton venait de faire dans le calcul aux différentielles partielles et dans la théorie du mouvement des fluides, reprit le problème des marées et parvint à le résoudre complètement dans le cas hypothétique d'une mer libre de toute part et également profonde. Bien que la théorie de Laplace soit loin de rendre compte exactement de tous les faits observés, on peut néanmoins la considérer comme un perfectionnement important apporté à la solution de ce problème, solution qui, de nos jours encore, revêt la forme analytique que lui a donnée l'illustre auteur de la Mécanique céleste.
Il n*entre point dans notre but de présenter ici une analyse, même sommaire, des recherches théoriques auxquelles a donné lieu le problème des marées considéré comme la manifestation du grand principe de la gravitation universelle : une telle étude nous mènerait trop loin. Nous pouvons cependant, sans trop sortir des limites que nous nous sommes prescrites, montrer, par un calcul simple, comment l'action combinée du Soleil et de la Lune agit sur les eaux de la mer, dans le cas considéré par Laplace, et rendre ainsi compte, d'une manière élémentaire, des principales circonstances que présente le phénomène des marées.
Soient donc, en nous plaçant dans l'hypothèse émise par Laplace, T (Jig* 38) le centre de la Terre, A un point quelconque
Fig. 38.
de sa surface liquide, L le centre de la Lune, m sa masse, r le rayon de la Terre, et posons
TL = p, AL = p', ATL = 8, ALT = C-
L'attraction exercée sur le point A sera
fm
et Ton aura, pour les composantes que cette force exerce parallèlement à TL et à TE,
fïYt ^ fm . ^
Cela posé, abaissons du point A, AB perpendiculaire sur TL, il est clair qu'on aura
p — TB p — rco?6 cosÇ = i- — ; — = i- ; ,
AB rsinO
sinC = -r = > y
et, en désignant par x ely les composantes parallèles à TL et à TE de l'attraction exercée par la Lune sur le point A, on trouvera
mfip — rcosO)
/n/rsinO
On a d'ailleurs, en considérant le triangle TAL,
p' = (p«-Hr* — 2prcos6) *,
d'où
^ (p*-hr* — aprcosO)*
Maintenant, si l'on pose -75 = ;/, et qu'on développe cette quan-
tité suivant les puissances croissantes de r, on aura, en se bornant
du au premier terme en -^j
Pour r = o, on a tto = -5; on a de plus, en diflTérentiant l'exprès
siqn précédente de -7^»
/du\ __ 3cose [d-rjo- p* '
ainsi,
I I 3rcos6
("elle valeur, substituée dans les expressions précédentes de x
et de y y donne
fm 7. fmr co^^
/"mrsinô
L'interprétation dynamique de ces expressions est bien facile. En effet, considérons d'abord la force "^ que renferme l'expression de X. Celle force, étant égale à celle qui attire le centre de la Lune, ne change rien à la position de ce centre et du point A, et est, par conséquent, sans influence sur l'effet des marées. Quant aux deux autres forces
a/mrcosO /mrsinO
qui agissent, la première, suivant la direction TL, et la seconde, suivant une direction perpendiculaire à cette ligne, comme ces forces tendent à déplacer les diverses molécules fluides à la surface, ce sont évidemment elles qui produisent les marées lorsqu'elles agissent sur une grande masse d'eau. Les composantes de ces deux forces suivant la direction TA et suivant une direction perpendiculaire étant, pour la première direction,
et pour la seconde
/>nrsin*6 /mrsin6cos6
on en conclut, pour l'expression de la force totale dirigée suivant TA,
*^(acos»8 — sin»6)
ou
^(3cos«8-i),
et, pour celle perpendiculaire à cette direction,
3 /mr sinaô
Pour 0 = 0, c'est-à-dire au point C, la première force se réduit à -^3 y et pour 0 = 90°, c'est-à-dire au point E, elle devient
— '~T''* ^" ^' c'est-à-dire pour 6 = 180**, elle redevient -^ 3 -
D'où l'on conclut qu'il y a élévation des eaux en C et en D, et abaissement en E et en F. Ainsi, sous l'influence de l'attraction lunaire, les eaux de la mer tendent à prendre la forme d'un ellipsoïde de révolution, ayant son grand axe dirigé du centre de la Terre au centre de la Lune. Et si, pour plus de simplicité, on suppose la Lune située dans le plan de l'équateur, il résulte du mouvement de rotation de la Terre, combiné avec le mouvement relatif de translation de la Lune, qu'il y aura, en chaque lieu de la Terre, deux élévations et deux abaissements des eaux par jour. Le même phénomène se reproduira évidemment à l'égard des points situés sur les parallèles, mais avec une intensité qui ira en diminuant à mesure qu'on se rapprochera du pôle.
L'action du Soleil sur les eaux de la mer produit un eflet semblable à celui de la Lune, mais beaucoup moins intense. Pour l'évaluer, ne considérons que la force tangentielle qui agit suivant TL; en désignant par M la masse du Soleil et par R sa distance à la Lune, on a pour l'expression de la force produite par M
3 /"MrsintiO ,
Pour celle qui provient de l'action de la Lune, nous avons
trouvé
3 //nrsînaO ^,
On a donc
et comme, en prenant m = i,
on en conclut
~ iM p» '
= 6or,
,i5 environ
Ainsi Taction du Soleil est à celle de la Terre comme i est à 2,i5. Par un grand nombre d'observations, on a trouvé que ce rapport, dans un même lieu et pour des positions semblables du Soleil et de la Lune, était égal a 2,35333. Comme ces actions s'exercent simultanément, on conçoit que la forme que doit prendre la surface de la mer résulte de la superposition de ces deux effets. Ainsi à la nouvelle Lune, lorsque les deux astres agissent à peu près dans la même direction et dans le même sens, la marée totale est la somme des marées lunaires et solaires. Il en est de même à la pleine Lune, quoique leurs actions s'exercent en sens inverse, car elles tendent. Tune et l'autre, à élever les eaux. On voit donc que, vers les sjzygies, la haute mer lunaire arrive en même temps que la haute mer solaire. Dans les quadratures, au contraire, les forces agissant dans des directions rectangulaires, la haute mer lunaire correspond à la basse mer solaire et la marée effective se trouve être la différence des marées solaires et lunaires. Entre les syzygies et les quadratures, le Soleil tend plus ou moins à accroître ou à diminuer la marée lunaire, ou bien la Lune à diminuer ou à accroître la marée solaire. L'intensité de la marée dépend aussi de la distance de la Terre à la Lune et au Soleil. Par exemple, aux équinoxes, les marées sont les plus fortes quand la Lune est périgée avec une faible déclinaison; elles sont les plus faibles aux solstices, lorsque la Lune est apogée, avec une grande déclinaison. Il est bien entendu que nous faisons abstraction ici des causes accidentelles, telles que les vents et la pression atmosphérique, causes qui viennent parfois, les premières surtout, modifier d'une manière sensible les effets dont nous parlons.
Pour que les conséquences déduites de la théorie qui précède puissent s'accorder avec les faits observés, il faudrait, comme nous l'avons supposé, que la mer recouvrît entièrement la surface de la Terre et que sa profondeur fût partout la même. La présence des continents, l'inégalité de profondeur de la mer, la configuration des côtes, Tirrégularité du fond, etc., sont autant de causes qui doivent modifier d'une manière sensible ces effets généraux, et c'est effectivement ce que l'observation confirme. Ainsi, un fait universellement constaté dans tous nos ports d'Europe, c'est que la plus haute mer n'a pas lieu le jour même des syzygies, comme le voudrait la théorie, mais bien trente-six heures après ces époques.
28o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
en sorte que la haute mer, qui arrive au moment des syzygies, est réellement celle qui résulte des attractions du Soleil et de la Lune trente-six heures auparavant. Un autre fait également en désaccord avec la théorie, et qui paraît dépendre de la configuration des rivages et des circonstances de la localité, c'est le retard que la marée éprouve dans chaque port sur le passage de la Lune au méridien, retard constant pour chaque port, mais variable d'un port à un autre. L'heure à laquelle ce phénomène se produit à l'époque des équino\es, et quand la Lune se trouve à ses moyennes dislances (le la Terre, est ce que Ton nomme V établissement du port; c'est, comme on voit, le retard de la pleine mer sur le passage de la Lune au méridien le jour d'une syzygie équinoxiale. On le détermine dans chaque lieu par l'observation, et, une fois connu, il suffit d'y ajouter successivement oJ,o35o5o ou 5o™28',32, retard moyen journalier du passage de la Lune au méridien, pour avoir les retards successifs des marées d'un jour à l'autre. Enfin, ce qui est encore en contradiction avec les faits observés, c'est que, en un point du globe situé hors de Téquateur, deux hautes mers consécutives ne soient pas égales et puissent différer beaucoup, tandis que les faits obsen^és concourent au contr^iire à prouver que cette différence est généralement fort petite relativement à chacune d'elles.
IL — Formules de Laplace.
En nous plaçant au point de vue envisagé par Laplace dans sa théorie des marées, c'est-à-dire en supposant la surface du sphéroïde terrestre régulière et recouverte entièrement par les eaux de la mer, soient :
Y la profondeur de la mer supposée très petite par rapport au demi petit axe du sphéroïde terrestre pris pour unité;
6 le complément de la latitude d*un point m de la surface de la mer dans l'état d'équilibre qu'elle prendrait sous l'action du Soleil et de la Lune (ou la colatitude du port);
T3 la longitude du même point;
p la densité moyenne de la Terre ;
g la pesanteur;
nt le moyen mouvement de rotation de la Terre ;
nt-\~xs l'heure sidérale;
r et r les distances du Soleil et de la Lune au centre de la Terre ;
V et V* les déclinaisons de ces astres; ^ et i|/' leurs ascensions droites; L et L' leurs masses ;
nt-^ra — ^ i
les angles horaires du Soleil et de la Lune;
enfin A, B, P, Q, y> ^ ^es constantes arbitraires déterminées dans chaque port par l'observation.
On aura pour Texpression de la hauteur 5 de la mer au-dessus de sa surface d'équilibre à un instant quelconque [Mécanique céleste, t. II, p. 268, édil. des Œuvres).
p (I-4-3COS9.0) [L . o . , X , L' o . • .,1
. rL sin V cos v , . vl
■^ A I cos ( n/ -^ w — ij; — Y ) I
. fL'sinv^'cost^' . ^ ,, .1
-^A I y-^ cos(/i/-4-nj — 4/'— y)
d fLsint^cosp "l
"5/ L ^^^* sin(n/-+-nj-4/-Y)J
""^5? L '^' sin(n/-f-w-f-Y)J
-PL cos* V . ^ I -v vl
-i-P j — cos2(n<-f-w — y — a)
p r££2!l^' cos 2(n/ + ,„ - f - X)]
^^ 6? fLcos»*^ . I -i xl
'^^^'di [ ^i sin2(n<-Mg-^ — X)J
-^PQ^ [--.^— cosa(n/-t-nj-f — A)J,
expression dans laquelle les différentielles doivent être prises en regardant ni comme constant, et où le temps t doit être diminué d'une constante T' pour les termes ayant A et B pour facteurs, et d'une constante T pour ceux multipliés par P et Q.
Vu l'extrême lenteur avec laquelle croissent les quantités r, r', r, v\ J^, t}»' par rapport au mouvement diurne nt de la Terre, on peut regarder l'expression précédente de 5 comme la somme de trois groupes distincts de termes, répondant, chacun, à une espèce différente d'oscillation. Les oscillations de la première espèce sont indépendantes du mouvement diurne de la Terre et pro-
28a TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE IV.
viennent seulement du mouvement du Soleil et de la Lune dans leurs orbites. Ce sont les oscillations de cette espèce que représente le terme
qui dépend seulement des déclinaisons v et v' de ces astres.
Les oscillations de la seconde (?.ç/?^ce dépendent principalement du mouvement diurne nl\ elles sont fournies par les termes Je 5 ayant A. et B en facteurs, et leur période est d'environ un jour. Enfin les oscillations de la troisième espèce dépendent de int et ont une période d'un demi-jour environ; elles sont représentées par les termes de 5 qui ont pour facteurs les quantités P et PQ.
Pour obtenir les instants de la haute et de la basse mer ou le maximum et le minim,iim de l'expression de 6, il faut, comme on sait, égaler à zéro la dérivée de i) prise par rapport à t. Or, si dans cette dilTérentiation on regarde, ainsi qu'on peut le faire, p, v' j /•, r', 'i, «y comme des quantités constantes, et qu'on néglige les termes de 5 qui ont la quantité B en facteur, termes qui donnent lieu, comme nous venons de le dire, à une oscillation très petite, ainsi que le terme qui est multiplié par Q et que Laplace a prouvé être insensible {Mécanique céleste, t. II, p. 269), on aura pour la condition du minimum et du maximum, ou pour
l'expression de -^ = o,
dp) A rLsinpcosp . , . ^1
di =** = ÏP L 7> s.n(n< + B-t-ï)J
A FL' sinç^'cosp' . , ./ '. xl
Lcos'p . , . > s
H ^ — s\ni{nt ->r TS — y — A),
L' cos' v' . , . / > X
-f- Tj %\li 7.{nt -\- T3 l}/ — À).
Soient
-7-3— = «» ,. >. = P> nt + w^\ = l.
et négligeons la fraction —p qui, pour le port de Brest, n'excède
PRÉDICTION DES MARBBS. 'iS'i
pas 7-> on aura
= — ^ sin2[(Ç — •}/') C0S2(il/ - f )]
-•- ^cosa[(t — f )sin2(4/ — -f )],
ou, en divisant par cos 3 (Ç — '^ ),
tang2(5 — 4* ) = s ^ . ^ \, ,
valeur qui devient, en y substituant pour a, ^ et ^ leurs valeurs ci-dessus,
tang2(/i/ -H nj — ^ — /)= ^-7
Désignons par Fq et rj, les moyennes distances du Soleil et de la Lune à la Terre. Par un grand nombre d'observations de marées faites à Brest, on a trouvé
V 123 L r* ~ 40 ri '
c'est-à-dire
Ainsi donc
( — J cos'iJ sin2(4^ — ^') lang2(nr -f- nj — ^' — X) =
3,06 ( -7) cos» V>' -f- ( — j COS»«'COS2(<}/ — 4*)
Maintenant, si Ton désigne par 6 et 0' les demi-diamètres apparents du Soleil et de la Lune pour les distances moyennes r^ et r'^y et par Oo et Oq leurs demi-diamètres actuels, on pourra remplacer dans
l'expression précédente, — et -? respectivement par ^ et -^7 ; ce
qui donnera, après avoir divisé numérateur et dénominateur par
(-^j cos^ V et posé ^ — <{^' = a,
sinsa
tang2(/i/-hw — 4''— ^)= ^'A * '
3,06 -^ h cos2a
OU bien
sin^a
{nt -\-w — ^' — X) = -arc tang
3,06 -T> : 1- cos2a
