II. — Calculs du phénomène pour un lieu donné

Théorème de Lagrange.

Les époques de contacts ainsi obtenues pour le centre de la Terre, il nous reste à montrer comment on peut en déduire celles qui se rapportent à un lieu déterminé de sa surface. Cette solution repose sur un théorème fort remarquable, dû à Lagrange, et que nous allons démontrer.

Représentons toujours par a, 0, A, D et Aies coordonnées équatoriales vraies des deux astres, et soient a', 3', D' et A' les quantités analogues relatives aux lieux apparents. On a, par le triangle sphérique dont les trois sommets sont au pôle de Téquateur et aux positions vraies de Vénus et du Soleil,

cosA = sin$ sinD -+- cosô cosD cos(a — A).

On a semblablement

cos A' = sin 8' sin D' -h cos 8' cos D' cos ( a' — A' ).

Maintenant si, pour exprimer cette distance apparente A' en fonction des éléments vrais, on pose

cos A' = sin [0 -+- (8'- 8)] sin [D -f- (D' — D)]

-+- cos[o H- (8'— 8)]cos[D-^(D' — D)] cos[a— A-+- (a'— a) — (A'— A)J

et qu'on développe les différents produits que renferme cette expression, en remarquant que 8' — 0, a' — a, D' — D et A' — A sont de très petits arcs, on aura, en s'arrétant aux termes du premier

PRÉDICTION DES PASSAGES DE VÉNUS ET DE MERCURE. 'Agi

ordre,

cos A' = cos A -i^- ( o' — 0 ) [ cos o sin D — sin o cos D cos (a — A )] -4-(D' — D)[sinû cos D — cos o sin D cos( a — A )] — (a' — a) coso cosD sin(a — A) H- (A' — A) cos8 cosD sin(a — A).

On a d'ailleurs, iz el U désignant les parallaxes horizontales de Vénus et du Soleil (Chapitre 111, P* Partie) et |x Theure sidérale du lien égale, comme on sait, à l'angle horaire h de Tastre augmenté de son ascension droite,

o' — 8 =n[cos«psin$ cos(a — jx) — sincpcos8], D' — D = 7r[cos<p sin D cos(A — jjl) — sinç cosD], ol' — a =nséc$sin(a — p.)cos^, A' — A = irsécDsin( A — p.)costp.

Par conséquent

cosA'= cosA -i- [cosS sinD — sin$ cosD cos(a — A)

X [II coscpsinS cos (a — jx) — Ilsincp cos 8] -+-[sin8cosD — cos8 sinD cos(a — A)] ' H- [ir cosç sinD cos(A — jjl) — TisincpcosD]

— cosD sin (a — A)n sin (a — jjl) cos (p -+- cos 8 sin (a — A)irsin( A — jx)coso.

On peut donner à cette expression une forme plus simple en cherchant les coefficients des quantités coscp et sinçp qui entrent dans chacun des termes de cos A'. Considérons d'ahord le coefficient de cosç. Il n'est pas difficile de voir qu'on aura pour ce coefficient

U [sin8 cos8 sinD cos(a — jx) — sin*8 cosD cos(a — jx) cos(a — A) — cos D sin (a — jx)sin(a — A)]

-f- 11 [sin 8 cos D sinD cos(a — fx) — sin*D cos 8 cos(A — jx)cos(a — A) -h cos8 sin( A — fx) sin(a — A)],

expression qui devient, en y remplaçant sin^o et sin^D respectivement par 1 — cos^S et I — cos^D,

-h n j [sin8 sinD h- cos8 cosD cos(a — A)] cos8 cos(a — jx)

— cosD cos(a — |x) [ -+- 11 j [sin 8 sinD -f- cos 8 cosD cos(a — A)] cosDcos(A — jx)

— cos8cos(a — jx) [,

29i TROISIÈIIR PARTIE. — CHAPITRE V.

c'est-à-dire

n [cosAcos 8 cos(a — [x) — cosD cos(A — jx)] -f- ir [ cos A cos D cos (A — jx) — cos 8 cos (a — jx)] = -h ( n cos A cos 8 cos a — Il cos D cos A ) cos jx — (ircosA cosD cosA — ircoso cosa)cos[x -^ (n cos A cos 8 sin a — n cos D sin A ) sin fx -+- (tt cosA cosDsin a — ircos8 sina) sin jx, ou bien

[(Il cos A — 7r)cos8 cosa — (U — ircosA)cosD cos A] cosç cos(x [(n cos A — II) cos 8 sina — (II — ttcosA) cosD sin A] cosç sinjx.

Relativement au coefficient de sin y, on trouvera d'abord

H- n [ — cos*8 sinD -+- sin8 cos8 cosD cos(a — A) -f-ir [ — cos* D sin 8 -f-sinDcosD cos8cos(à — A),

puis

n j — sin D H- sin 0 [sin 8 sinD -h cos8cosD cos(a — A)] •

ir j — sin 8 -+- sinD[sin8 sinD -h cos8 cosD cos(ot — A)] j;

ainsi l'expression de ce coefficient est

(n cosA — ir) sin8 sin^p — (Il — ir cosA) sinD sin?p.

Au lieu de l'équation (i), nous pouvons donc écrire

cosA'= cos A

[( n cos A — ir) cos 8 cos a — ( Il — tt cos A) cos D cos A ] cos o cos [x

' [(IIcosA — '7r)cos8 sinoc — (II — ir cos A) cos D sin A] cos «p sin [x

H- [(n cosA — 7:) sin 8 — (n — 11 cosA) sinD] sintp.

Maintenant si l'on pose

(3) d'où

on aura

/sins= IIcosA — 7:, /coss = — n sin A,

n — TT cos A =/sin(5 — A),

cosA'= cos A -4-/[sin5 cos 8 cosa — sin (5 — A) cosD cos A] coscpcosix (4) { -f-/[ sin 5 cos 8 sina — sin(5 — A) cosD sin AJcoscp sin jx

-t-y[sin5 sin 8 — sin {s — A) sinD] sin^.

PRÉDICTION DES PASSAGES DE VÉNUS ET DE UERCURE. S'jS

Soient encore

Isin^ coso cosa — s\n(s — A) cosD cosA = P cosp cosX, sin^ cos8 sin a — sin(* — A)cos D sinA = P cosp sinX, sin5sino — sin(* — A) sinD = P sin^].

L'expression précédente deviendra

cos A' = cos A -4-/P [ cos p cos X cos (p cos jx •+• cos p sin X cos ^ sin [x -+- sin p sin «p] = cos A -4-/P[cos<p cosp cos(X — fx) -hsinç sinp,

et comme, en élevant les équations (4) et (5) au carré, puis les ajoutant ensemble, on trouve

P*= sin** -h s* (s — A) — 2* sin 5 sin (5 — A) cos A

= sin** — sin(*-+- A) sin(* — A) — sin(* — A)* -h sin (5 — A)* = sin*5 — sin*5-h sin*A = sin*A,

il viendra

(6) cos A' = cosA -4- /sin A[cos© cos^ cos(X — [>•)•+• sintp sin p].

Cette équation renferme les deux variables arbitraires X et ^ que nous allons déterminer en fonction de S et de M. Reprenons pour cela les équations (5) sous la forme

Isinjç coso cos a — sin(* — A)cosD cos A = sin A cosp cosX, sin* cos 0 sin a — sin (5 — A)cosD sin A = sin A cosP sin X, sin* sino — sin (5 — A) sinD = sin A sin p.

En multipliant la première de ces équations par sin A et la seconde par cos A, puis faisant la différence, on trouve

sin(X — A) sin A cosP = sin* coso sin (a — A);

on a pareillement, en multipliant la première équation par cos A et la seconde par sin A, puis faisant la somme,

cos(X — A) sinA cosp = sin* coso cos(a — A) — sin (* — A) cosD. Au lieu des équations (7), on peut donc poser

/ sin (X — A) sinA cos p = sin* coso sin(a — A), (8) < cos(X — A)sinA cosp = sin*cosô cos(a — A) — sin(* — A)cosD, l sinA sin p = sin* sino — sin(* — A) sinD.

Maintenant on a

sin5cos8 cosCa — A) — sin(* — A)cosD

= sin5[cosS cos(a — A) — cosA cosD] ■+- cos^sinA cosD,

et sin5sino — sin(s — A) sinD = sin5[sino — cosA sinD] -H cos* sinA sinD;

on a d'ailleurs, en considérant le triangle sphérique PVS,

siiiM sin A = coso sin(a — A ), cosM sin A = sino cosD — coso sin D cos(a — A), cosA = sin 8 sinD -f cosS cosD cos(a — A),

relations d'où Ton déduit

cos(a — A) cosS = cosD cosA — sinD sinA cosM, sinS = sin D cosA -H cosD sinA cosM.

On a donc

Isin ( )v — A ) cos 3 = sin 5 sin M, cos(X — A)cosp = cos* cosD — sin5 sinD cos M, sin p = cos. ç sin D -f- sin 5 cos D cos M.

Ce sont les relations cherchées; elles permettent d'obtenir X et p lorsque A, D et S, M sont connus.

Actuellement, soit t l'époque temps moyen de Paris pour laquelle a, S, A et D ont été calculés ; appelons (x' l'heure sidérale correspondante et soit -C la longitude orientale du lieu dont cp est la latitude et [jl l'heure sidérale, on aura

d'où

X JX = X — \l' ^.

En posant donc

A = X — [a', cosÇ = sin^p sinp •+• costpcos^ cos(A — 4^ ),

on pourra mettre Téquation (6) sous la forme (11) cosA'= cosA -+-/sin A cosÇ.

Gomme les quantités 5,/, X et ^ ne dépendent que de l'époque