PRÉDICTION DES PASSAGES DE VÉNUS ET DE UERCURE. U

adoptée t, on voit que, si A et ^ représentent la lon^tude et la latitude d'un point O de la Terre supposée sphérique, ce point sera fixe, et Ç, d'après la seconde des formules (lo), exprimera la dislance angulaire de ce point O au lieu de la surface terrestre dont^ est la longitude et cp la latitude, on est donc conduit au théorème suivant qui est celui de Lagrange :

« A un même instant absolu, répondant pour le premier méridien choisi au temps moyen /, et pour chaque lieu de la surface au lemps moyen ^ -h 4^, la distance apparente du centre des deux astres est la même pour tous les points de la surface de la Terre, pour lesquels ÎJ a la môme valeur, c'est-à-dire pour tous les lieux qui se trouvent situés sur la circonférence d'un cercle décrit du point O comme pôle et avec Ç pour distance polaire. »

Nous allons maintenant nous proposer de déterminer l'iieure à laquelle un observateur, situé en un point (4^, <p) de la surface terrestre, voit les centres des deux astres à la distance vraie A.

Soit rfA la différence très petite qui existe enlre la dislance apparente A' et la distance vraie A, en sorte que

on aura, à cause de la petitesse de l'arc <iA,

cos(A -h û?A) = cosA — €/AsinA.

Mais, d'après ce que nous venons de voir,

cos(A -h c^A) = cosA -h^sinA cosÇ.

Ainsi

dl = — /cosj.

Cette équation étant divisée par dt, puis résolue par rapport à cet élément, donne

"dt

Maintenant on a, en multipliant la première des équations (1) du § I par sinM, la seconde par cosM, puis faisant la somme,

A = (a — A) cos 1 (8 -f- D) sin M -+- (8 -H D) cosM,

relation d'où l'on déduit par la différentiation par rapport à /, et

2<i8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE V.

en regardant (o 4- D) comme constant,

-7-= , — ^cosi(o-+- D)sinM H ^^ — ; ^cosM,

dt at ^ dt

c'est-à-dire, en vertu des équations (2) du même paragraphe,

-— = /icos(M — ÎN).

dt '

L'expression ci-dessus de dt peut donc se mettre sous la forme

/cosÇ

(i3) rf^ = —

ncos(M — N)

Ainsi, en supposant qu'un observateur placé au centre de la Terre voie à l'époque t les centres des deux astres à la distance vraie A, cette même distance, pour un observateur placé en un point de la surface terrestre, sera vue à l'époque

/"cos '^ tA — -7-^^ — rr- » en temps moyen du premier méridien,

/cosÇ ^ - ,.

^H î^— - — - — r — !-< , en temps moyen du l.eu.

/iCOs(M — \) ^ r j

Pour connaître maintrnanl les époques où ont lieu les contacts au point de la surface terrestre dont ^ est la longitude et ^ la latitude, on n'aura qu'à remplacer dans les formules précédentes A

par R ±: p et M par S = ; . . ^ ; et comme alors l'expression

(5) du § II, se réduit à celle-ci

(i4) sin^; = sin(M — N),

on conclura, pour les époques des divers contacts en un lieu quelconque dont cp est la latitude et 4^ la longitude,

( Pour l'entrée.. T^ = G - ^^^^^ ou T^ = G — ^^^^^- -+- 4! ,

\ 71 cos 6 «COSUy ^

Pour la sortie. T, = G' -+- '^-^^ ou T, = G' -f- <^^ ^- 41 ; \ /icosy /icos^ ^

G et g' sont les époques de l'entrée et de la sortie calculées pour le centre de la Terre.

En remplaçant dans ces formules cos Cet cosÇ' par leurs valeurs