VI. — Calcul des distances lunaires
1° Equation fondamentale. — Ces distances représentent les arcs qui vont du centre de la Lune au centre
I** du Soleil, 8** de a Pégase,
2** de Mars, 9** d'Antarès,
3** de Vénus, lo** de Pollux,
4** de Jupiter, 11" de Régulus,
5* de Saturne, 12" de a Vierge,
6*» d'Aldébaran, i3' d'Altaïr,
7** de a Bélier, 14** de Fomalhaut.
Les lettres E (est), O (ouest), que Ton voit placées en regard du nom de ces astres, servent à indiquer la position qu'ils occupent dans le ciel par rapport à la Lune.
Soient
P la différence en ascension droite ou en longitude des deux astres;
I les compléments des déclinaisons ou des latitudes; A la distance vraie cherchée.
On a
cos(Dcos(Ot)' — 9)
COS A = i- y
coscp
avec
langcp = tangCD cosP.
Remarque. — Les arcs qui se rapportent au Soleil et à la Lune ne sont donnés dans les Ephémérides que pour des valeurs de
l'angle P plus grandes que 34** environ et plus petites que i aS®. Cela tient à ce que, pendant les trois jours qui précèdent ou qui suivent la néoménie, la Lune n'est pas visible, et que, pendant les trois jours qui précèdent ou qui suivent la pleine Lune, le Soleil se trouve à une trop grande distance de notre satellite pour qu'il soit possible d'en mesurer la distance.
VIL — Prédiction des éclipses et des configurations des satellites
de Jupiter.
1° Éclipses des satellites de Jupiter, — Les éclipses des satellites de Jupiter données dans la Connaissance des Temps sont calculées à l'aide des Tables de Damoiseau, publiées par le Bureau des Longitudes en i836. Les instants de ces phénomènes y sont indiqués en temps moyen astronomique compté de midi. On a marqué d'un astérisque ♦ les éclipses qui sont visibles à Paris. Pour qu'une éclipse de satellite soit visible, il faut que Jupiter soit élevé sur rhorizon d'au moins 8°, et d'un autre côté que le Soleil soit à plus de 8" au-dessous de ce cercle.
Pour reconnaître aisément la place qu'occupent, par rapport à Jupiter, les satellites dont on se propose d'observer V immersion ou Vémersion, il faut suivre les règles suivantes, que prescrivent la Connaissance des Temps et le Nautical almanac.
[a) Avant l'opposition, c'est-à-dire pendant tout le temps que Jupiter passe au méridien le matin, l'ombre est située à Voccident de cette planète et les immersions ou les émersions se font de ce côté.
(6) Après l'opposition, lorsque Jupiter passe au méridien avant minuit, c'est toujours à Vorient de la planète que sont les satellites qui doivent entrer dans l'ombre ou qui doivent en sortir.
(c) Avant l'opposition, on ne peut voir que les immersions du premier satellite, et après l'opposition il n'y a que les émersions qui puissent être observées. C'est, en général, la même chose pour le second satellite. Il arrive cependant quelquefois qu'on peut observer l'immersion et l'émersion lorsque Jupiter est en quadrature.
2° Configuration des satellites de Jupiter, — Afin de pouvoir distinguer les satellites les uns des autres et reconnaître aisément
la place de celui dont on veut observer réclipse, la Connaissance des Temps donne, pour chaque jour de l'année où Jupiter est observable et pour l'heure la plus favorable aux observations, un Tableau où les positions relatives de la planète et de ses satellites se trouvent figurées.
Voici quelles sont les désignations adoptées pour marquer ces positions :
0> position de Jupiter;
• 4) position du quatrième satellite : le chiffre est toujours placé du côt«
vers lequel le satellite se dirige ; Qz, le troisième satellite est sur le disque de la planète; #3, le troisième satellite est dans Tombre projetée par la planète ou bien
caché derrière son disque.
Ces configurations sont renversées, c'est-à-dire telles qu'on les voit dans des lunettes à deux verres convexes. On les détermine à Taide des Tables de Damoiseau insérées à la suite des Tables écliptiques dont nous venons de parler.
A. — Notation,
D, déclinaison vraie de la Lune ;
CD, déclinaison vraie du Soleil;
2, différence des ascensions droites vraies en arc de ces deux astres où Tasccnsion droite de la Lune moins celle du Soleil;
Di, mouvement relatif en déclinaison de la Lune ou le mouvement en déclinaison de la Lune, moins le mouvement en déclinaison du Soleil;
zi, mouvement relatif en ascension droite de la Lune ou le mouvement en ascension droite de la Lune moins celui du Soleil;
d, différence des déclinaisons au moment de l'opposition en ascension droite;
n, parallaxe horizontale équatoriale de la Lune;
p, parallaxe horizontale équatoriale du Soleil;
P'=(9,99929)(n— />); Zy demi-diamètre vrai de la Lune; dy demi-diamètre vrai du Soleil; A, distance vraie des centres du Soleil et de la Lune; D', a', û', A', valeurs apparentes de D, a, S, A;
(I), angle LSS| (fig. 29), formé par la distance des centres SL et la plus courte distance SSi = n.
(B). — Éclipses de Saleil. — Conditions de possibilité*
La latitude lunaire \ doit satisfaire à l'inégalité
X < ûf-+- 0-+- n — /?,
et, suivant qu'au moment de la conjonction on aura
X <i*'24', réclîpse sera certaine,
X >i'24' et < 1^*34' 18", l'éclipsé sera douteuse,
X > 1*34' 18, il n'y aura pas d'éclipsé.
(C). — Détermination des lieux qui voient commencer ou finir l 'éclipse générale, l'éclipsé totale ou V éclipse centrale *
1" Inclinaison «de Torbite relative :
langi = :
^ aicoscj
2° Valeur de n :
n = à cos i.
3" Temps / écoulé entre le milieu de Téclipse et Tinstant de la conjonction en ascension droite :
i = clangf,
n sini73.5563o)
4** Temps Tm du milieu de Téclipse :
T/„ = temps de la conjonction — t.
5° Temps du commencement et de la fin de Téclipse :
n cosa)=-» T = ctang(i}, A
Temps du commencement H^ = Tm — '^
Temps de la fin I^/ = '^m •+■ "^
Dans ces formules, il faut évidemment prendre pour le commencement et la fin
De l'éclipsé partielle A = P'-+-8-hrf
» totale A = P'-+-S — rf
» annulaire A = P' — ^ -i- d
n centrale A = P'
6"* Longitude et latitude des lieux qui voient commencer
TécHpse :
sin/' = cosacos(î),
, tanga
sinCU
Longitude Est = A — H^,
h étant dans le même demi-cercle que a.
y^ Longitude et latitude des lieux qui voient finir Péclipse :
b = ( — *) -+- eu,
sîn/ = cosb cosOd,
,, ianisb
^ sinOE)
Longitude Est = h' — II/, A' étant dans le même demi-cercle que 6.
(D). — Courbes des lieux voyant la phase au lever ou au coucher
du Soleil,
Constantes du
calcul :
tangb) =
costo
(o est plus grand que 90^ quand n est négatif. '2"* Valeurs de S et de cp :
S = ( — i) — o) pour le temps écoulé avant le milieu de l'éclipsé, S = ( — *)-+- 0) pour le temps écoulé après le milieu de l'éclipsc.
,.„ -pU,-U)
FA
^ étant plus petit que 90** et positif. 3" Coordonnées du lieu Z
sinl = cosOt) cos(S — «p),
, tanç (S — ©) tan<^A = —. — î^— i- •
h est dans la même circonférence que S — ç.
Longitude Est = A — H (H = heure vraie de Paris).
4° Coordonnées du lieu TJ :
sin / = cosOd cos(S -H ç),
^ tang(SH-cp) sin CD
Longitude Est = A — H.
''"S*- sinCD
h est dans la même demi-circonférence que S -|- ç.
5° Détermination plus exacte des courbes du lever et du coucher : On cherchera les valeurs de D, (D, a pour le temps donné et celle de P' = p(n — p) pour la latitude du lieu obtenu par le calcul qui précède. Alors on aura
( D ) = D -+- a correct. ( Table X ),
(ar)=(D)-(ô, Cr) = acos(D),
tangb = - — -, A = -?-5 = =,
° '{x) smS cosS
sin^tp = l/ -^ ^-^ 1—
le quadrant dans lequel tombe S étant déterminé par le signe de (a) et de (y). Avec les valeurs de S et de cp ainsi obtenues, on procédera au calcul de / et de A comme il vient d'être dit
(3«et4«).
E. — Lignes de simple contact nord et sud,
1° Valeurs de A' pour :
Une éclipse partielle A' = 8 -h P'-h rf
Une éclipse totale A' = 8 -+- P' — d
Une éclipse annulaire A'= ûf — 8 -h P'
On ajoute 6'' au demi-diamètre 8 du Soleil, parce que cette quantité représente la moyenne des augmentations du demi-diamèlre horizontal de la Lune.
a" Conditions relatives à Pexistence des courbes limites nord et sud :
/i < P' — A' : les deux courbes existent.
/i >> P — A' : une seule courbe existe; elle est située du côté sud si n est positif et du côté nord si n est négatif.
3" Détermination des instants relatifs à Tentrée et à la sortie : on a
nit: A' cos W = — p-> — > T
on prend le signe supérieur pour la limite nord et le signe inférieur pour la Yxnkxie sud ; on a ensuite
* Temps de l'entrée = temps du milieu — -,
Temps de la sortie = temps du milieu -r- t.
4" Positions géographiques des lieux correspondants : Celte détermination se fait à l'aide des formules des n"* 6" et ^" ( sij C) : ainsi Ton a
Entrée.
a=(-*) — W, sin/ = cos a cosCD,
^ sincO
4, . 1 sin/'= cos6 cosCt),
Sortie < '
Longitude Est = A — H.
5" Détermination des lieux correspondant à une époque comprise entre celles de l'entrée et de la sortie :
Calcul des constantes w, D', a', W ((D étant pris pour le moment
de la conjonction):
M = A' cos I,
Al • • sini
cosD' '
c(/i=tA')'
cosW =-. ^'^; ; Soucuo^. — Jsir, prut, -j.»
le signe -4- se rapporte à la limite nord et le signe — à la limite sud.
Calcul des angles Z et M (/ est le temps du milieu de Téclipse
générale.) :
tangb)'= ^E,
. „ cosW sinZ= ,,
COSO)
M = (— i) qi 0)'.
(Coordonnées du lieu cherché :
tang6 = tangZcosM, tang( A — a' ) = — -^ =— r tang M,
tang/ = tang(6 h- D') cos(A — a').
Vérification :
sin6 sinZcosM
cos(0-+-D') "~ cos(A — a')cos/'
()'• Détermination plus exacte des coordonnées A et /: Pour la latitude donnée par ce premier calcul, on cherche les valeurs de P= p(n — p) et avec la valeur de Z on détermine Taugnientation du demi-diamètre de la Lune (Table XI). On a alors
A'=8, — rf,
suivant que Téclipse esl partielle, totale ou annulaire, ô| désigne ici le demi-diamètre corrigé de la Lune.
On a ensuite pour le temps de la conjonction et avec la valeur de Z obtenue par la première approximation
/ co^Z
(A) = [o,582o4]aiCosD, »»" ? ~V TûSTi'
(B) = [o,58204]D„ . langv
( D ) = D H- a correct. ( Table X ), ^*°5 ' - côsâ^ '
(x)=(D) — (K), 7 = (xcos(D). M = A'cosi', D'zzrCDipa,
. (A)-+-(a:)sin(D «
F'cosCO V — asmt, a cosD'
^ .„, (B) — (.y)sîn(P (D)= D-+-(a— a')correct.
1^ cosCÔ y = (a — a')cos(D),
tangM = -> sinZ = -=r7 zi = xm - > j •
® X P cosM P'sinM
Le signe supérieur est relatif à la limite nord et le signe inférieur à la limite sud. Le reste du calcul s'achève comme il vient d'être dit au n" 5**.
F. — Détermination du lieu où une phase donnée apparaît
au lever et au coucher du Soleil,
Pour que cette détermination soit possible, il faut que Ton ait
r* Calcul de P'= p(n — />) pour une latitude égale à 90" — cOau moment de la conjonction.
•>." Calcul du mouvement horaire [x de la Lune sur son orbite apparente relative et de Tinclinaison /' :
•xsin a — Di, .
|x ces i = «1 cos D ih: ( 9, { 1 796 ) V si n (0.
3" Détermination de A* :
cos(i ^ /)
le signe supérieur aj^ant lieu quand d est positif et le signe inférieur quand d est négatif.
4° Temps écoulé depuis la conjonction jusqu'au moment considéré :
t = [3.'3563o] k (en secondes).
5" Heure H du lieu au moment de la conjonction vraie :
H = 12** — t, si (^ et (0 sont de même signe.
H - o** — /, si e> et (£) sont de signes contraires;
l'heure H, comparée à celle de Paris au moment de la conjonction vraie, détermine la longitude du lieu.
&' Calcul de la latitude du lieu : on a
