IX. — Prédiction ied éclipses de Lune

i" Conditions de possibilité des éclipses de Lune. — La latitude lunaire )« doit satisfaire à l'inégalité

X<o-4-n-4-/> — ûf

et, suivant que dans l'opposition

X < 52, réclipse sera certaine ;

X > 52 et < 63', réclipse sera douteuse ;

X > 63, il n'y aura pas d'éclipsé.

Dans rinégalité ci-dessus, Il représente la parallaxe équatoriale de la Lune, p la parallaxe horizontale équatoriale du Soleil, 8 le demi-diamètre de la Lune et d le demi-diamètre du Soleil.

2® Epoques du commencement, de la fin et du milieu de Vérlipse, — Soient

Xq Tascension droite du Soleil, Od sa déclinaison, «A* ( l'ascension droite de la Lune, D sa déclinaison,

A'=|^(n+/>^rf).

On aura

Ascension droite du centre de l'ombre = •\>o d: 12'*= «H», Déclinaison du centre de Tombre == — CD = (Di ;

0(1 = jnouvement horaire de a, X = (D -+- a correct.) — CÔi, y z=z acosD,

jTi = mouvement horaire de or, y\= «iCosD;

puis

A'=A=ho, A'=A'dzo,

X Xi SIn^ cos^

^,r r /O «M '* WCOS* .,- ^

/InzWcOSf (S-+-t)|, C08(0=-7» C= iGoO,

^1 = c sin[ — (S -4- «) — (I)], /, = csin[ — (S -h i) -+- (o] ,

cH enfin

Temps du commencement. . . T -h /i

Temps de la fin T -+- /f

Temps du milieu T-+- J(^iH- /j).

par la Lune.

i" liléments pour le calcul des occultations. — Soient

±4^181 longitude du lieu par rapport à Paris, exprimée en temps ou en

degré '.positive si le lieu est à l'Est; négative s'il est à l'Ouest; dz cp la latitude géographique | \ ' a \ boréale -+-,

d- çp' la latitude géocentrique ( ( australe — ;

rh D la déclinaison de l'astre occulté déclin. \ .

( australe — ;

z!:z 0 la déclinaison de la Lune déclin. ) , ^

( australe — ;

A l'ascension droite de l'astre:

2 l'ascension droite de la Lune;

t: la parallaxe de la Lune;

r^ h l'angle horaire de l'étoile a l'instant T de la conjonction vraie on

ascension droite : positif si l'astre est dans l'Ouest; négatif s'W est danji

l'Est:

e l'excentricité d'un méridien terrestre supposée constante pour tous les

méridiens; rie rayon de la Terre dans le lieu considéré.

Les quantités A, />, y, p\ q\ données dans la Connaissance des Temps, et qui dépendent exclusivement de la position géocentrique de la Lune à Tépoque T, temps moyen de Paris de la conjonction vraie en ascension droite, seront déterminées à Taide des relations

suivantes :

p = coso

{[) étant toujours égal à zéro à Tinstant de la conjonction vraie),

variât, horaire x variât, horaire o

p = coso y

variai, noraire ^

2" Calcul de Voccultalion pour un lieu quelconque de la Terre, — ». On calculera d'abord, par les tbrmules suivantes log(r cosîp') et log(r sincp') :

sin8 = tfsino, loge = 8.91220.52, log(rcos^') = logcostp — logcosB, logrsin^' = (1.0848864) -f- logtanj

puis, avec T, ^ et A, on cherchera Tangle horaire de Tétoilc au moment de la conjonction vraie.

On déterminera ensuite approximativement Tintervalle de temps T qui sépare la conjonction vraie T de la conjonction apparente dans le lieu considéré, au moyen de l'expression

(Table XVf).

Le temps moyen approché de la conjonction apparente dans le lieu et l'angle horaire (A) qui lui correspond seront alors :

Temps moyen de la conjonction appar. = T -f- t -4-4^,

(A) = h -hC-+-'^i»

T, désignant la valeur en arc de l'intervalle t préablement converli en temps sidéral. On calculera ensuite (/>), {q) à l'aide des relations

oi Uy u'y Vy v' f^iV Ics formulcs

n' ~ b\y logX = 9.41916,

f = c — b sin D,

ç' = aX sin D,

346 QUATRIKIIE PARTIR

OÙ ciy ùf c ont les valeurs suivantes :

a = r ooscp' sin(A), b = rcos^' cos(h), c = rsin©' cosD;

avec les valeurs de ;/, //', i», (''et celles de (/?), (ç), p'^ ç\ on procédera, comme il suit, au calcul de Foccultation.

On cherchera d'abord les valeurs de M et N, m et n par les relations

m sin iVl = (/> ) — «,

m cos M = ( ^ } — Vf

n sinN =/>' — u',

n cos \ = </' — i'',

dans lesquelles m et n devront être pris positivement, ce qui déterminera complètement les arcs M et N; puis on calculera Fangh* •i < i8o" par la formule

cos<j/ = -rsin(M — Nj avec logA- = 9, 43609.

On aura alors, pour les intervalles de temps ti, te compris entre l'époque T-|-T-f-4^ et les instants de l'immersion et de l'émersion,

fi = — 36oo — cos (M — N) — 36oo - sin<l pour rimmersion, n /i ^ ^

te = — 36oo — cos (M — N ) -4- 36oo — sin «l pour rémersion .

ti et te sont exprimés en secondes de temps.

On conclura de là, pour le temps de l'immersion I et pour celui de l'émersion E,

Enfin, ou aura pour V angle-pôle

P = 270° — ( N -h 'j') pour rimmersion, P' = 270° — (N — f^) pour l'émersion,

et, pour Y angle-zénith,

Q -- I' -- œ, tangœ = /'"'* . . (Table XVIH).

tang(pcosD — sinDcos/t

RÉSiaiÊ DES POillIULES CONTENUES DANS LES PARJIES II ET III. 347

Remarque. — S'il arrivait que

cos<{' ou -T-sin(M — N)

(ût plus grand que i, il n'y aurait pas occultation, mais seulement appulse.

3** Cas où l'astre occulté est une planète. — Dans ce cas, on doit remplacer, dans les formules précédentes,

A par k± — et A par X — 0,0000727 |j,',

expression dans lesquelles

7 désigne le demi-diamètre de la planète;

m la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune, moins celle de la planète; [x le mouvement horaire de la planète en ascension droite exprimée en secon<les <le temps : positif si le mouvement est direct; négatif s'il est rétrograde.

Quant au double signe qui affecte — > on peut remarquer que le

signe -f- se rapporte à l'immersion du i*'*" bord et à l'émersion du ?/, et le signe — à l'immersion du 2* bord et à l'émersion du i"". Il faut ensuite appliquer à la valeur de l'angle horaire (A) donnée ci -dessus la variation — iSixt que subit l'ascension droite pendant l'intervalle Ti, laquelle devient ainsi

( A) = A H- jj^-i- Ti — 1 5 |Ax.

4" Limites en latitude. — Limites nord et sud : ai et D| ayant été obtenus pour le temps de la conjonction vraie, on a, en adop-

tant les notations du § XV, et posant p =o,ii7Q9,

tangt= — I ) /i = c^cos*, cos\\i = ipî5 — 0,2729,

expressions dans les(|uelles les angles W«, Wj, i et 6 doivent avoir le même signe que (D? et où Ton doit convenir de prendre le signe

supérieur quand (^ esl positif y elle signe inférieur quand cD est né-

On peut remarquer que, lorsque

Wi / . . . ^ ^1 = Qo° et est de même nom que (£>,

... \ est imai^inaire... \ . ^ ,^ , ..i, ^

Wj I " f «s= 90** — (D et est de nom différent avec (0.

On a ensuite, pour déterminer la position de points où se font, sur le disque de la Lune, l'immersion et Témersion :

Position directe.

A l'immersion : an^Ie de position = (180" — /) — co. A l'émersion : angle de position = (i8o* — i) H- w.

Position inverse,

A rîmmersion : angle de position = ( — i) — a>. A Témersion : angle de position = ( — i) -h a>.

Tous ces angles sont comptés du Nord vers Y Est,

1° Formules de Laplace. — Heure de la pleine mer, — Soient

p rheure du passage de la Lune au méridien du lieu;

\\ rheure de la pleine mer qui suit ce passage;

0 / les demi-diamètres apparents du Soleil et de la Lune, 36 heures avai:i

0' S l'heure /?;

, les déclinaisons de ces astres au même instant; y, • leurs ascensions droites.

En posant

0'' cos' v' I sin 1 1

'^ — <V' = «, A = 3 ,06 -^ • > C = ^ - arc tang -. — - <•

^ ^ ' '8» cos«v 3o ^A-hcos'ia

H, désignant par E Theure de V établissement du port, on a 3 • Détermination numérique des quantités />, a, C, E, r/ui

entrent dans cette formule, — a. Calcul de Vheure p, — On peut, sans erreur sensible, déduire cette heure de celle/)' du passage de la Lune au méridien de Paris, telle qu^on la donne dans la Connaissance des Temps, en la corrigeant à raison de 2"*,i par heure de différence en longitude. Toutefois, comme dans tous nos ports de France, cette correction n^atteintpas une minute, on peut la négliger dans le calcul de Theure des marées et prendre, pour le passage de la Lune au méridien d^un port quelconque, la même heure qu'à Paris.

b. Calcul de i^ — <}^' = a. — Soient D la différence entre les heures du passage de la Lune au méridien de Paris, la veille et Tavant-veille du jour donné, et />' l'heure du passage de la Lune au méridien du lieu Tavant-veille, on a

Cette différence étant exprimée en temps moyen, on doit, pour Tobtenir en temps vrai, en retrancher le temps moyen à midi vrai.

c. Calcul de C et de E. — Les valeurs de C sont données par les Tables I et II, que publie toutes les années Y Annuaire du Bureau des Longitudes, Quant à la valeur de E, elle est donnée dans le même Recueil parla Table III, et pour les principaux ports des côtes de TEurope.

4" Hauteur de la pleine mer à V époque des syzygies. — Les plus grandes marées ont lieu à Tépoque des syzygies, c'est-à-dire lorsque la Lune est pleine ou nouvelle; mais elles ne sont pas toutes également fortes, parce que les marées partielles dont elles résultent varient avec les déclinaisons du Soleil et de la Lune, et aussi avec les distances de ces astres à la Terre. Soient

Vy v' les déclinaisons respectives du Soleil et de la Lune à l'instant de la

syzygie ; i le rapport de la moyenne distance du Soleil à sa distance actuelle; i'ia parallaxe horizontale actuelle de la Lune divisée par sa valeur moyenne

On a, pour la hauteur ^ de la pleine mer à l'époque d'une syzygie,

S = -^ («* cos^v» -h Si'scos'v''), i et a se rapportant, comme v et v^^ au moment de la syzygie.

35o Qt'ATBtÊMI^ PARTlfc:.