II. — Appropriation des formules pr^écédentes au calcul
logarithmique.
On rend les formules (i) et (2) calculables par logarithmes en leur faisant subir une transformation qui consiste à poser dans les premières
(I) Âsin^ = cosCD sinA>, Acoscp = sinCD, d'où tangcp = cotCD sinX,
cl dans les secondes
iM A:coso = sinX, A" sincp = cosX sin4^ , d'où tangcp = colX sin^.
Par ces substitutions, on obtient en effet
IsinX = A ces ( ^ -+- to ), sinCO = Arcos(îp — w),
cosX sin^= k sin(«p H- to), cos(î) sin«i) = k sin(© — to), cosX cos^ = k sin o col si», cosCD cosJl» = A col 4^ sin©,
«'t de là on tire
., sinCo -'- fo »
langi' — ;• tanfir<vli,
langX = col(<p -+- to) sin^,
lang.l, = -^ lang4^,
13 1 { Sin cp
langOO— cot(«p — to)sinJl> (*).
G>mme vérification du calcul on peut adopter les relations sui-
(') On est conduit aux relations (4) et (5) par des considérations géométriques fort simples. Abaissons du point S, lieu de l'astre. Tare SI perpendiculaire sur n PE, et considérons les deux triangles SPn, SPE, triangles dans lesquels HP- u, l»îs = 90» — (JO, n s = oo» — X, SPI = 90- — »,!o, Sn I = 90» — ^. On a d'abord
sin m InniîSPÎ sin PI ~ tangSUi*
vantes, qui se déduisent de celles qui précèdent :
sin('o-4-to) cosXsin^^
cos (jt) si n ^l,
sine?
si 11 (^ — (o) cosCit) sine,l.
sin^
cosX sin4^
III. — Transformation des coordonnées sphériques en coordonnées
rectangles.
Il est souvent utile, en Astronomie, d'exprimer les coordonnées sphériques à Taide d'un système d'axes rectangulaires dans lequel le centre de la Terre est pris pour origine des coordonnées, la ligne des équinoxes pour Taxe des x^ celle des solstices pour Taxe des j*
Fi g. :î.
et Taxe de Técliptique pour celui des z. Soient alors {fig* 2) T le centre de la Terre et TX, TY, TZ les trois axes coordonnés dont
c'est-à-dire
on a ensuite d'où
sinlll r()l«i> tanp: (^ sin l»l " col4^ ~ langat'
rollIS - coini cosSni, colFS -- rolPl rosSI'l
tangX — coini sin-d, lang(£) = cotPI siiis-i..
Maintenant, si Ton suppose PI — 9, auquel cas II I ^ '^ -;- w, on a
= : tang«\i. tangA -^ col (» + 0)) snw. .
sinç o / o \ . / X.
Si n I = (p, on a PI =r 9 — w, et les mêmes équations donnent
. sin(9 — (o). p ^ ^^ . X . ,
tanc<vl0 — — -: langi , tang Cfc) — col ( 5 — w ) sin \,,
sinip ï7 N.» ,0
DES COORDONNEES ASTRONOMIQUES. 5
nous parlons. S étant un point quelconque de Tespace, abaissons de ce point SP perpendiculaire sur le plan XTY de l'écliptique et PP' perpendiculaire sur TX. Les coordonnées de ce point par rapport aux axes TX, TY, TZ seront
X = TF, Y :=. PF, Z = SP,
et, en appelant L la longitude du point S ou Tangle XTP et A sa latitude ou l'angle STP, puis faisant TS = R, on aura, par les deux triangles rectangles STP et TPP',
SP ^ RsinA, TP = RcosA
et
TP' — TP cosL — R cos A cosL,
PP' = TP sinL = R cos A sinL.
Pour exprimer les coordonnées rectilignes X, Y, Z au mo^en de celles sphériques L et A, on aura donc
/ X = R cos A cosL, M) ] ^ ~ I^cosA sinL,
\ Z — R sinA.
Tout cela se rapporte au plan de Técliptique. Relativement au plan de Téqualeur, il faudrait prendre pour axe des x la ligne des équinoxes, pour axe des z la ligne des pôles et pour axe des jk "ne perpendiculaire à ces lignes. On serait ainsi conduit à remplacer, dans les formules (i), L et A respectivement par X et (£), et Ton
aurait
IXi — R cosCO cos«A>, Yi = RcoscD sinX, Zi = R sinCt).
On déduit de ces formules les suivantes, qui permettent d'opérer la transformation de L et A en X, Y, Z ou celle de <^o et (D en X|,
R2 = X* Y2 -i- Z^ Rf ^ XI -r- Yf -i Zf ,
. tangL=— , langX = :rA>
( 3 > < A Al
siiiA=— 1 sinCO =
v/X* -f- Y» 4- Z» /X} + Y} 4- Zî
IV. — Coordonnées héliocentriques. — Passage des coordonnées héliocentriques aux coordonnées géocentriques, et inversement.
Soient (^fig> 3)
T le centre de la Terre ; S celui du Soleil;
\ le lieu d'un astre rapporté au centre de la Terre, à Taide de ses coordonnées géocentriques L et X.
On peut supposer mené par le centre du Soleil le plan de Técliptique et rapporter la position de Tastre A à ce plan et à son intersection avec la sphère céleste. Les coordonnées qui en résultent
Fi" \
portent le nom de coordonnées héliocentriques et sont représentées par la longitude v et par la latitude s. Or, le problème que Ton a à résoudre dans le calcul des éphémérides consiste précisément à déterminer L et X lorsque v eX, s sont donnés; voici comment on V arrive.
Par le centre T de la Terre concevons trois axes rectangulaires TX, TY, TZ, menés respectivement suivant la ligne dos équinoxes, celle des solstices et Taxe de Técliptique, et par le centre S du Soleil soient pareillement trois axes rectangulaires SX', S Y', SZ' menés parallèlement aux premiers; il est clair qu'on aura
/ X - R cosLq»
(i) I Y r-r R sinLo,
Z R sîdXq,
