I. — Équation différentielle de la réfraction

On peut regarder l'atmosphère comme composée d'une série de couches concentriques, homogènes, d'une épaisseur inlînîmeiit petite, dont la densité et par suite le pouvoir rél'ringent vont en au};mentaDt progressivement, depuis la couche la plus éloignée Jusqu'à celle qui touche le sol. Il on résulte que, lorsqu'un rayon lumineux AR ^fig- 4) vient à la traverser, ce ravoa, en passant

d'une couche ;i l'autre, subit une série de déviations infiniment

petites RQ, QP, PN, qui le rapprochent successivement des

normales TR, ÏQ, TP, ... menées par les points de contact II. (^). P, ... aux différents milieux de séparation, et le chemin parcouru par ce rajon lumineux à travers l'atmosphère est représenté par le polygone inHnitésimal RQP. . ., lequel, à la limite, se con-

fond avec la courbe RQP... qui Tenveloppe. La réfraction astronomique est alors l'angle formé par le dernier côté MN du polygone infinitésimal avec la dircclion recliligne AR que décrit le rayon lumineux avant d'arriver à l'atmosphère, ou, si Ton veut, c'est l'angle que forme la tangente à la trajectoire lumineuse en M avec cette même direction.

Nous allons, en supposant la Terre spliérique et considérant l'atmosphère comme composée de couches concentriques et homogènes, chercher l'expression de la déviation infiniment petite subie par le rayon AR ou l'équation différentielle de la trajectoire lumineuse.

Soient T le centre de la Terre et V, X, Y, Z les différentes couches qui composent l'atmosphère. Considérons deux quelconques de ces couches, celles Y, X par exemple, dont nous représenterons les densités par p et pi. Désignons en outre par / et i| les angles d'incidence aux points P et IS , par/ et f^ les angles de réfraction correspondants, par n l'Indice de réfraction de la première couche, et par /i| celui de la seconde couche; on aura

sinf __ n sin/ ■" /Il '

et comme, en représentant par P le pouvoir réfringent de l'atmosphère,

/i = v/'-t- t*piy 'ïi = /n-i*p, il viendra

sint v/i -4- Ppi sin/ ~ v/i H^'Fp

On a d'ailleurs, en désignant par r et r^ les distances des points P et N au centre T de la Terre,

en sorte que

par conséquent,

sin «1 /•

sin i Ti \/i H- Fpi ^ sin/i - rsjT-\^V^ '

rsiïïi^ï -;- Pp = i\ sin*| /i-;- Ppi.

CALCUL DE LA RÉFRACTION ASTRONOMIQUE. l3

Ainsi, le produit rsini^i H- Pp reste constant quand on passe d'une couche à la suivante. II en résulte que, si Ton désigne par r^ le rajon de la Terre, par po la densité de la couche d'air qui touche le sol et par z = ZMN la distance zénithale apparente de Tétoile,

on aura, pour déterminer r sine y/i H- Pp, l'équation

KG) r sini v^i -H Pp = To sin^ V^i -i- Ppo-

Biol, par des expériences répétées, a trouvé

Supposons maintenant que la densité de l'atmosphère croisse par degrés insensibles, ce qui revient à considérer chaque couche comme infiniment mince et à remplacer le polygone RQPN... par la courbe qui l'enveloppe. En désignant par rfÇ l'angle infiniment petit qui mesure la réfraction au point P, par c/6 l'angle PTN et enGn par di l'angle i — £< , on aura

ou, parce que TPN = /| — ^j,

<i) €11^ = di-^(i^.

Cela posé, rapportons la courbe RQP... à des coordonnées polaires r et 8, en prenant TZ pour l'axe polaire; on aura évidemment

ta«fj. = -^--,

d'où

(2) cra= — -r//',

et la formule (i) deviendra

< 3) ^/; = c/i-h — î=^ dr =

rcost /'vnsi

Mais de l'équation (a) on tire

. . To sin^ \/i -h Ppo r sin i = - — î—

ij PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.