COS I
ri/(i -4- Pp) - 0 (n- Ppo) sin«^
v/n- \{p on a d^ailleurs
, . ., Pto sin s */] ^ Vzn j a{rsini) = ^^ dp.
2(1 H- Pp)^
Donc enfin
P — sin j \/i ! Ppo
2(i-T- Ppu/i4- Pp — — (IH- Ppo)sin»s
C'est Féqualion différentielle de la réfraction. En l'inlégranl entre les limites p = po et p = o, on obtiendrait la valeur de la réfraclion ou Tangle AMN, si la loi suivant laquelle la densité de Fair décroît avec la hauteur nous était connue. Cette loi étant inconnue, on est obligé d'avoir recours aux approximations. Laplace considère, dans ce cas, les deux limites de cette loi, qui sont une densité constante et une densité décroissante en progression géométrique quand la hauteur au-dessus du sol croît en progression arithmétique, ce qui suppose, comme nous le verrons bientôt, une température uniforme dans toute l'étendue de l'atmosphère. En ne considérant que ce dernier cas, soit
d'où
7*0 P po
r -2(1-1- Ppo)
po(i — 2a) Téquation précédente (4) deviendra
— (i — 5) sin 5— dp
pnd — 2a) i/r — 2a
\ poi — 2a/y poi — 2a I — 2a
a— ^(1 — s) sin5
— 2a ( I — )|/cos'^ — 2a(i — — )-h (25 — 5») sin* 5
\ Po/V V po/ '
CALCUL DE LA RÉFRACTION ASTRONOMIQUE. l5
el, en développant le radical en série, on aura
dp a — ^(i -- s) lang Po
00 bien, en négligeant les produits de trois dimensions de a et de s,
Po L ces' 5 V Po/ cos'>s J
En intégrant cette expression depuis p = po jusqu'à p = o, c'està-dire depuis la surface de la Terre jusqu'à la limite supérieure de l'atmosphère, et remarquant qu'à celle dernière limite 5 = o, on obtient
Ç = a lang^ in ^r— / — ^
V >' COS2;; CCS* 5^7 po J
— - qui figure au second membre de cette formule. On a
/sdo sp r ds po Po J po
cl, en prenant les intégrales entre les limites précitées,
car à la limite p = o, s =^ i ou r = oo. Ainsi, il s'agit d'obtenir / - — Or, si l'on désigne par p la pression de l'air au point où g
est la gravité, on aura, la pression diminuant à mesure que la hauteur augmente,
dp = ~gpdr=^ff — pds (»).
(*) Car la variation que subit /? lorsqu'on s'élève de la couche de rayon r à celle de rayon r-hdr est évidemment égale au produit de la petite colonne d'air pdr par
l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
D'ailleurs, g^ étant la pesanteur à la surface de la Terre, on a
rr fT,. !1 •
on a donc
(5) p = —^^orojpds.
Ainsi, rinlégraleyp^/^est égale à la pression entière /?o à la surface de la Terre, divisée par gorQ. Cherchons la valeur de cette pression Pq en fonction de la hauteur / de l'atmosphère, dans Th^pothèse d'une teiripérature uniforme.
On a, p étant la pression de l'air qui correspond à la densité p et />o celle qui répond à po,
-i— — —i «fou y;=/>o — »
/>o po ?o
et, d'après ce qui précède.
ainsi
dp j f'çk
Po-f^^fi'oropd-'
po '
Par l'intégration, on obtient
logp = '■ h(.,
Po r
C étant une constante que nous déterminerons par la condition
ro = r ou p — Po,
ce qui donne
et par suite
Po
jnr, t'..
C = logpo - —
Po
sa gravité gj produit qui doit être affecté du signe —, puisque p diminue à mesure que r augmente. On lui donne la seconde forme indiquée dans le texte, en remarquant que Ton a
r dr /•*
Nous aurons donc
I ^ fi'oporo/ro \ ,
et, en passant aux nombres,
e est ici la base des logarithmes népériens.
Si l'on remarque que, / étant la hauteur d'une colonne d'air de densité p et qui, animée de la pesanteur g^ fait équilibre à/?o, on a
il viendra, pour déterminer p,
18) P = poC ' ,
équation qui montre que, dans le cas d'une température uniforme, ia densité décroît en progression géométrique quand la hauteur croît en progression arithmétique, ce qui est le résultat que nous avons énoncé plus haut.
Maintenant, on déduit des équations (5) et (7)
po /^o
et, par suite, l'équation (a) devient
IH ( I -h 2 COS' Z)
110) ï = a tang^
cos*^
ou
