III. — Cas des réfractions voisines de rhorizon

L'expression (i4); fort commode pour les applications, ne convient nullement aux réfractions voisines de l'horizon. Mais, pour ce cas particulier, il existe une formule très simple due à Laplacc et que nous allons faire connaître.

On a, par le § I,

a — î- (i — .f )sin2

I — 2x( I— — ) {/ cos^z — aaf I— — ) -f-(25 — s^)sïu^z \ Po/V \ Po/ '

ety comme 5 et a sont de très petites fractions, on peut d'abord négliger s devant i et 2s cos^z devant cos^^; on peut, de plus, remplacer le facteur i — 2a(i — — j par la moyenne arithmétique de

ses deux valeurs extrêmes i et i — 2 a, c'est-à-dire par i — a, ce qui réduit l'équation précédente à la suivante

dp .

a — !- sin>s

(.- a, ^cos« ---»«(.- y +

Soient maintenant

ao PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.

f ^\. f étant deux constantes indéterminées; il en résultera

du l fu\ -Y. .

(i — a) /cos*;; -î- xu

et, si Ton pose encore on aura

expression dont Tintégrale, prise depuis t = -p^ jusqu'à t= ^ , est

Nous supposons ici

(3) '-^-=t' et r e ''dt -^ e ^"^{l').

Dans le cas de la réfraction horizontale, on a cos^ = o, sins = I , sin 2 5 rz: o et

Donc, dans ce cas,

Déterminons actuellement l'expression de p dans le cas qui nous occupe. On a, par ce qui précède,

dp =^- ^'oTopr/v,

et, en substituant pour ^ et p leurs valeurs (i), puis divisant les deux membres de l'équation résultante par/>o = g'opo'» on trouve

Po i \ / / ' Po

(*) Voyez pour la détermination de cette intégrale \o.s Ouvrages qui traitent du Calcul intégral.

de là résulte

Si Ton observe qu'à la surface de la Terre p =/?o> p = Po el // = o, on réduira celte équation à celle-ci

et, si Ton tire de cette dernière la valeur dey pour la porter dans celle (4 )> on obtiendra

Maintenant, si Ton fait avec Laplace

Ç = 0,OI02IOl8,

a = o , 000293876, ro = 6366198™,

puis qu'on substitue' ces valeurs dans Téquation (a), qui est du troisième degré et appartient au cas irréductible^ on aura

/rr- 0,4904167.

Introduisant ces constantes dans les équations (2) et (3), on aura enfin

X sin

\nz—^e^'^ I e-^'c^f -H 10021', 343 sin2^,