CHAPITRE III

I. — Expression de la parallaxe de hauteur en fonction de la parallaxe horizontale et de la distance zénithale vraie ou apparente.

On sait que la parallaxe d'un astre est l'angle sous lequel un observateur placé au centre de Tastre verrait le rayon de la Terre ; c*est aussi la différence entre sa distance zénithale apparente et sa distance zénithale vraie. On nomme parallaxe de hauteur celle qui se rapporte à une position quelconque de l'astre au-dessus de l'horizon et parallaxe horizontale celle qui a lieu lorsque Tastre est à l'horizon. La parallaxe horizontale étant donnée, ainsi que la distance zénithale vraie ou apparente, il est bien facile, comme nous allons le voir, d'en déduire la parallaxe de hauteur.

iMg. .).

En eflel, soient (jîg- 5 )

T le centre de la Terre, supposée sphériquc j \ le lieu d'observation ; Z son zénith.

ZAS ^= z' sera la distance zénithale apparente do Tastro en S, ZTS = 5 sa distance zénithale vraie, et, en désignant pur P la

3o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

parallaxe de hauteur ou Tangle en S, on aura (i) V = z'^z.

Posons AT =^ r el ST = A; par le triangle rectîligne SAT, on

aura

si n P /'

■-. -; ' -ry sin^ A

c'est-à-dire

(2) sin I* - - s'wz'.

La discussion de cette équation montre que P est insensible lorsque le rapport - est très petit, ce qui est le cas des étoiles. Pour

y=::o, P est nul, el, pour .3' = 90", P acquiert une valeur maximum et se change en ce que nous avons appelé la parallaxe horizontale.

En désignant par U cette parallaxe, on aura donc

(3) sinll.rri,

et par suite

( 1) sinP = sin II sin^'.

Comme les angles P et H sont toujours très petits ( Il atteint à peine 61" pour la Lune et 8^,86 pour le Soleil), on peut remplacer, dans Téquation ci-dessus, les sinus par les arcs, et cette équation devient alors

(5) P--.nsin^'.

Ainsi la parallaxe de hauteur s'exprime en fonction de la parallaxe horizontale et de la distance zénithale apparente.

Mais on peut aussi exprimer cette parallaxe en fonction de II et

de -la distance zénithale vraies. En effet, si Ton écrit l'équation (4)

de cette manière,

sinP — sinll sin(^ -F P),

et qu'on développe le second membre de cette expression, on aura

sinP — sinll sin>3 cosP -{- sin II cosz sinP

ou bien, en divisant par cosP,

, ^ -, sin n sin 5

(a) langP —

I — sinll cos;;

CALCUL DES PARALLAXES. 3l

Réduisant cette expression de tangP en série, on obtient, après avoir remplacé tangP par P et sin II par II,

(6) P -risin^ s'iii'iz ... (M;

c'est la formule cherchée.

Remarque. — Le lieu d'un astre sur la sphère céleste étant le point de cette sphère où nous le projetons par le rayon visuel mené de Tœil à son centre, il est évident que reflet de la parallaxe est de nous faire paraître les astres moins élevés au-dessus de l'horizon qu'ils le paraîtraient vus du centre de la Terre. Pour réduire une hauteur observée d'un point A de la surface de la Terre à ce qu'elle

(*) Voici de quelle manière on est conduit à ce dcvcIoppcmcDt. CoDsidérons l'équation

n sin x

lanpv - T >

o acosx

de même forme que la précédente (a), et dans laquelle nous supposerons a < 6. En remplaçant dans cette expression tang^, sin^r et cosx par leurs valeurs en exponentielles imaginaires, on aura

c'esl-à-dirc

, V ^-\ = log (■ - ^ e-'-' ) - log (, - I e*"^^ ; on a d'ailleurs

<jr* '9* 'T*

log(i — J7) - - -~\^ --J

Ainsi

b"^ "^ 2b* Sb

~ b^ "Vb^^

Maintenant, si l'on divise tout par 2 yj— i, et qu'on ail égard à ce que

ptMX^\ ^-mix^ I

smmj7 ■=■ — ^^ »

on obtiendra, en posant ^ A,

y - A sinx : - sin2j; -t- -^ sin3j; -4-

serait, vue de son centre T, on devra donc ajouter à cette hauteur observée la parallaxe P ou en retrancher cet angle s'il s'agit de la distance zénithale apparente ; et, comme cette correction doit toujours s'appliquer en même temps que la réfraction, mais en sens inverse, on aura, z^ étant la distance zénithale observée et X^z\ la réfraction correspondante 'a z\^

^ — /«j -t- SbCj - I .

II. — Influence de la parallaxe sur les coordonnées équatoriales et écliptiques. Parallaxe d'ascension droite et de déclinaison.

La parallaxe n'altère pas seulement la hauteur des astres ou leur distance zénithale; elle altère aussi leur angle horaire et leur dislance au pôle. Les changements qui en résultent pour ces deux espèces de coordonnées constituent ce qu'on appelle la parallaxe fT ascension droite et \ii parallaxe de déclinaison , Y oici comment on les détermine.