EPHÉMÉRIDES DES PLANÈTES

masse, on aura donc

Les premiers termes 6 et * de ces séries sont les valeurs de /* et de v relatives à la supposition dem'=io ou au mouvement non troublé de/;/; et, comme la fonction R est du premier ordre par rapport à m\ on voit que si, dans une première approximation, on néglige les puissances des masses perturbatrices supérieures à la première, il suffira de substituer dans cette fonction, à la place de r et de c, leurs valeurs relatives au mouvement elliptique, c'est-à-dire S {a, Ç, e, e, tu) pour r el *(Ç, e, s, to) pour c. Dans ce cas, la fonction R peut toujours se réduire en une suite infinie de termes de la forme

m' H CCS ( i' n't — int -h A ),

termes dans lesquels nt et n't représentent les moyens mouvements de la planète troublée et de la planète troublante, et i, i' des nombres entiers qui peuvent prendre toutes les valeurs possibles, positives et négatives, y compris zéro ; H, A sont des coefficients fonctions des éléments des orbites de m et m' , mais indépendants du temps / (*). Si Ton voulait ensuite former une seconde approximation ou avoir égard à la première puissance des forces perturbatrices, il faudrait substituer dans R, à la place de /• et de Vj les valeurs obtenues dans la première approximation. On formerait une troisième approximation en ayant égard aux secondes dimensions des masses, c'est-à-dire en substituant dans R, à la place des variables r et c, leurs valeurs données par la

(*) La délermination des coefficients A», B', ... qui entrent dans le développement de la fonction perturbatrice {voir la Mécanique céleste, liv. II) se ramène, dans le cas ordinaire, à celle des coefficients de la fonction (i-f-a* — aa cos6)~' développée suivant les cosinus des multiples de l'angle 0. Mais on peut aussi exprimer ces coefficients à l'aide des intégrales définies doubles. En effet, soit

R= H^ cos[i(/'-/)-i-y7-.\;]

un terme quelconque d'ordre j de ce développement. En multipliant les deux nombres de cette équation par cos[(y — î)l— l] dly puis intégrant entre les limites / = o et / = i:, on aura

Rcos[(y-i)/^ /].//..- H, ^j/;^.^'^^sin(tT-Ap.

Maintenant, si Ton multiplie les deux membres de cette dernière équation par sin(ir— A^) dl't puis qu'on l'intègre entre les mômes limites que ci-dessus, on

l38 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

seconde approximation, et ainsi de suite. Généralement, lesdeuv premières approximations suffisent dans la théorie des planètes; mais il n'en est pas de même dans la théorie de la Lune, où la grandeur des inégalités et le peu de convergence des séries obligent à pousser beaucoup plus loin le développement de R par rapport aux puissances des forces perturbatrices. Laplace, dans la Mécanique céleste, s'est arrêté aux termes du quatrième ordre inclusivement, mais il a conservé ceux (hi cinquième, qui se sont présentés d'eux-mêmes. Plana, dans sa Théorie de la Lune, est allé jusqu'aux termes du cinquième ordre et même jusqu'à ceux du huitième, lorsque la chose lui a paru nécessaire. Ilansen, dans ses Fundameuta nova investigationis orhitœ verœ (/uani Luna perlustraty n'a pas dépassé le quatrième ordre; enfin Delaunav, dans sa Théorie du mouvement de la Lune, a poussé les approximations jusqu'aux termes du septième ordre inclusivement et même jus(|u'à ceux du huitième et du neuvième, pour certaines inégalités dépendantes de la longitude.

Quel que soit le degré d*approximation auquel on s'arrête dans le

obiicndra, pour l'expression analytique du coefficient Ily,

II, ^-T-^^f-^^ f sin (i7' A.) dV f H cosr(/ - i)l^ l\ dl. Dans le cas particulier de j - o, on a

H,^liLL±-îl f sin(i7'- \.)dr f R cos{i- i)l dl.

On peut encore poser

R: 2:.M,/cos(î7 i7') SNVsin(i7- /7'),

«e qui donne, après avoir multiplié successivement les deux membres de celte rquation par cos(i7 -i7') dl dl' et sin(i7- tl') dl dl', puis l'avoir intégrée rntrc les limites o et ar,

^K - -^ f^ f^'w cos(i7 //') dl dl\

N,/ r^ — , r r R sin ( il - i'V ) dl dl'.

Ouant au terme du développement de R qui répond au cas où l'on a à la fois / o, r - o, terme que nous représenterons par R„ il est évidemment égal à

R, = A /* r «< dl dl\

EPHÉMÉRIDES DES PLANETES. 1 3g

développement de la fonction R, on a toujours à considérer deux espèces différentes de termes, les uns tels que

où le temps t n'entre qu'introduit par les valeurs des longitudes moyennes lz=z nt -{- t, l'=Ln't-\-t' sous les signes sinus ou cosinus, ol les autres tels que

où le temps t y est contenu explicitement. Les premiers reprennent les mêmes valeurs après de courts intervalles de temps et donnent naissance aux inégalités périodiques; les seconds croissent lentement avec t t'I produisent les inégalités séculaires. Ces deux sortes d'inégalités sont bien périodiques l'une et l'autre, mais les périodes des premières sont Incomparablement plus courtes que celles des secondes. Au reste, il existe une distinction bien marquée entre ces deux genres d'inégalités : les inégalités de la première espèce dépendent de la position relative des planètes dans leurs orbites, et se rétablissent toutes les fois que ces positions redeviennent les mêmes; celles de la seconde espèce, au contraire, sont indépendantes de ces positions et croissent avec une extrême lenteur (*). Ces dernières affectent particulièrement les éléments du

(') Il esl aise de démontrer que la partie m' - de l'expression de H est la seule

i|ui puisse donner naissance aux termes de la seconde espèce, lorsqu'on borne les approximations à la première puissance des forces perturbatrices. En effet, si, ne • nnsidcTanl que les actions mutuelles de deux planètes m et w', on i>ose

„ ,/i xx' yr'-^ zz'\

•nqu'à la place des coordonnées x'^y, z* de la planète troublée on substitue les valeurs de ces variables, déduites des équations du mouvement elliptique [ou des ii|uali(ms (A) accentuées et dans lesquelles on a fait R — o], on aur|i

,/i xd*x'-. vd'r'-^ zcrz'\

'i sous celle forme on voil immédiatement que la seconde partie de K ne peut • iiDtcnir aucun terme non périodique ou séculaire. En effet, les coordonnées a?, ^, : ne contenant que des termes périodiques dépendant de nt et de ses multiples, et x',y, z' ne renfermant que des termes semblables dépendant de /i'/, il est impossible que les moyens mouvements nt et n' t disparaissent dans les produits, tels

d^x' d*y' d*z' ']uex-T-^ï y—fj^y ^ -j-T^ ^^» P^** suite, que leur somme renferme des termes

dulrcs que ceux périodiques. Les termes de la seconde espèce ne pourront donc

l4o DEUXIÈME PARTIE. — CUAPITRE III.

mouvemenl elliplique; mais elles laissent invariables les grands axes, et par suite aussi les moyens mouvements qui s^en déduisent par la troisième loi de Kepler. Laplace, qui le premier a reconnu cette importante propriété de l'invariabilité des grands axes, l'a démontrée en portant l'approximation jusqu'aux troisièmes puissances des excentricités et des inclinaisons. Depuis, les géomètres l'ont étendue au carré et aux produits des forces perturbatrices, ainsi qu'à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons.

Les autres éléments de l'orbite elliptique varient, mais si lentement (ju'on peut, pendant une longue suite de siècles, regarder leurs variations comme proportionnelles au temps. Les plus considérables sont celles qu'éprouvent les longitudes des nœuds et des périhélies, variations qui sont telles, en effet, que les points déterminés par ces deux éléments peuvent tourner indéfînimei\t dans le même sens et croître de o* à 36o*; cependant ce n'est qu'au bout de plusieurs milliers d'années que cette révolution entière peut s'accomplir. Quant aux excentricités et aux inclinaisons, elles augmentent et diminuent successivement, c'està-dire que les orbites s'approchent et s'éloignent par degrés insensibles de la forme circulaire, tout en demeurant comprises dans d'étroites limites que leur assignent les théorèmes suivants :

2//Î v^e-= const. ^m ^a tang'ç = consl.

Ces théorèmes, joints à la propriété qu'ont les grands axes de demeurer invariables, assurent la stabilité du svstème du monde. Dans toute inégalité de la forme

il y a Heu de distinguer trois éléments qui sont : le coefficient, Vargument et la période. Les deux premières quantités déterminent la grandeur de l'inégalité, la troisième fixe sa durée. Le coefficient p est la quantité à laquelle se réduit l'inégalité lorsque le sinus ou le cosinus qui entre dans son expression devient égal à l'unité ; c'est par conséquent le maximum des valeurs par lesquelles peut passer cette inégalité lorsque l'angle Uni — int ou son argument varie de o° à 36o*. La grandeur de l'inégalité dépend ainsi de son coefficient et doit changer

pmvcDÏr que de la première partie m' - de I*expres3ion de R, partie qui est la même

P |>our la planète attirée et pour la planète attirante.

BPHEMERIDES DES PLANETES. l4l

tle signe comme le sinus ou le cosinus; elle est nulle toutes les fois que ce sinus ou ce cosinus est égal à o. L'intervalle de temps qui sépare deux retours consécutifs de l'inégalité à la même valeur se nomme

sa période; cet élément a donc pour expression -T7-7

in — m

Considérons particulièrement les inégalités qui dépendent de la position relative des orbites et auxquelles donnent naissance, comme nous venons de le dire, les termes de la forme (a). La variation différentielle d'un élément quelconque a de l'orbite elliptique sera représentée par l'expression

d:L = m'^Un sin ( i'n't — int -^ ^)dt

(p' étant un coefficient de même nature que P), et l'on aura pour la variation finie de cet élément

d% = ., , — :- CCS ( i'n't — i/i^ H- J2V ) . in — in ^ '

Comme l'intégration fait passer en diviseur la quantité i'n^ — //i, on voit que les termes de la forme (a), quoique généralement fort petits, presque insensibles lorsqu'on s'élève aux carrés et aux puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, pourront cependant, après leur substitution dans les expressions différentielles des éléments elliptiques et leur intégration, acquérir des valeurs considérables et prendre des périodes dont l'amplitude dépendra, en général, du rapport (iecommensurabilité qui existe entre les moyens mouvements n't et ni. Si ces moyens mouvements s'éloignent beaucoup d'être commensurables entre eux, ou si la différence i^n' — in est très grande, l'argument prendra des accroissements rapides, la période de l'inégalité sera (le peu de durée et sa grandeur dépendra uniquement de l'ordre auquel elle appartient relativement aux excentricités et aux inclinaisons. Si au contraire in' — in est une très petite quantité, ce qui arrivera toutes les fois qu'un rapport de commensurabilité existera entre les moyens mouvements n't et nt^ l'argument du terme dont il s'agit sera très petit, son accroissement fort lent et l'inégalité correspondante aura une durée très longue. On a donné à ces inégalités le nom à" inégalités à longues périodes; et l'on peut voir (Note 111), toutes choses égales d'ailleurs, que les plus considérables seront d'abord celles du moyen mouvement Ç, à raison du très petit diviseur (f'/i' — i/i)*que la double intégration introduit dans la variation finie de cet élément, et ensuite celles qui proviennent de l'excentricité et de la longitude du périhélie,

l42 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

à cause des termes — 7—dt et —j-dt que leurs expressions renferment,

eam eae ^ *

termes qui, ayant Texcentricilé e en diviseur, abaissent respectivement d*une unité et de deux unités Tordre de chaque terme de R. C'esl aux inégalités de cette espèce qu*on doit attribuer les grandes irrégularités observées dans les mouvements des planètes Jupiter et Saturne, irrégularités dont on avait vainement cherché la cause avant Laplace. On reconnaît en effet, en comparant les moyens mouvements n' t et ni de ces deux planètes, que l'excès de cinq fois le moyen mouvement de Jupiter sur deux fois le moyen mouvement de Saturne est à très peu près le ^ç ^^ '*> circonstance qui rend très petite la quantité 5/i' — 2/1 et qui peut par suite rendre considérables les inégalités dépendantes de cet angle, bien que ces inégalités soient au moins du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. C'esl ce que Laplace a reconnu le premier. Ce grand géomètre a prouvé en effet que le moyen mouvement de Saturne était soumis à une grande inégalité àe 8896'' centésimales, dépendante de Fangle 5/i' — 2/1 et dont la période est de neuf cent vingt-neuf ans; qu'une inégalité correspondante et de même durée existait dans la théorie de Jupiter, et qu'enfin les coefficients de ces inégalités étaient de signes contraires, en sorte que le moyen mouvement de Jupiter s'accélère lorsque celui de Saturne se ralentit, et réciproquement. En 1790 ces moyens mouvements étaient égaux, mais depuis cette époque c'est le mouvement de Jupiter qui se ralentit et celui de Saturne qui s'accélère.