DU MOUVEMENT VARIÉ ET ELLIPTIQUE DES PLANÈTEF

La détermination du mouvement des planètes autour du Soleil dépend, d'après ce que nous venons de dire, de l'intégration des équations différentielles (3) et des équations semblables relatives aux corps m', m", .... Mais dans l'état actuel de l'analyse, celte intégration en termes finis est impossible et l'on est obligé d'avoir recours à des approximations. La constitution de notre système planétaire, nous Tavons dit, offre pour cela cet avantage précieux que, les masses planétaires étant très petites par rapport à celle du Soleil, la fonction H dépendant de l'ordre des masses se trouve être une très petite quantité

ÉPHÉMÉRIDES DES PLANÈTES. l43

par rapport à celle ~ et peut dans une première approximation être

négligée. Les formules qui en résultent sont alors celles du mouvement elliptique , et Ton peut, en partant de ces formules, parvenir à celles qui expriment le mouvement tr'oublé, soit en cherchant à déterminer les corrections que doivent subir ces premières valeurs des coordonnées pour représenter le mouvement varié, méthode qui est celle employée généralement par Laplace dans la Mécanique céleste, soit en regardant Torbite de la planète troublée comme une ellipse dont les éléments varient à chaque instant par Feffet des forces perturbatrices, et cherchant à déterminer ces variations par l'emploi do la méthode de la variation des constantes arbitraires que Ton doit à Lagrange. Lorsqu'on suit cette marche, qui est à la fois la plus simple et la plus naturelle, on est aisément conduit, par l'intégration, aux valeurs finies des variations </a, de, dz, ... des éléments elliptiques (*), et ajoutant ces valeurs finies à ces mêmes éléments ou constantes ar-

(') Voici les expressions générales de ces variations difTérentielles, telles qu'elles ont été employées par Poisson dans ses premiers Mémoires :

da ^- — -7- dtj c/w = i— r j- dty

an ae a* ne de

v/»-«"r Jdn dny\ ^

""'-—h^V-^'-'i'dT-^d;:)]'''^

d-.^-±^clt-^)^{.-s/—'e')^dt, an da a*ne ^ * de

ta ' dn ,^ . I dix .,

«Q = ■ -T' dt, d^ — -^ dt.

a* /i v' 1 — e* sin 'f "? ' a*n {^' i — e' sin ç "^

On leur donne la forme indiquée par Laplace dans le Supplément au troisiènir

Volume de la Mécanique céleste, en remplaçant — et -^— par les expressions

. , a*n an ^ . .: -ri

cquiralentes — et — > et faisant ji = i. Il faut remarquer en outre que Laplace

prpnd — R au lieu de K, ce qui change le signe des équations ci-dessus.

On joint encore à ces équations celle relative à la variation du moyen mouvement, savoir :

En posant

/> -sinçsinO, y^sinçcosO,

on change les deux dernières équations en celles-ci :

- coso c/R , , coso dï\ .,

dp = ,JL T- dt, dq = :== -t- ^^•

IÎ4 DEUXIÈME PARTIE. — ClIAPIlitE III.

bitraires, on en conclut celles qui conviennent au mouvement troublé ou a H- oa, e -H 8e, .... En général les quadratures d'où dépendent les variations la, le, ... ne peuvent pas s'effectuer exactement ; mais on peut toujours les obtenir par des approximations successives. Pour cela on commence par n'avoir égard qu'à la première puissance des masses perturbatrices et l'on est ainsi conduit à une première valeur approchée de ces éléments devenus variables. A l'aide des valeurs résultant de cette seconde approximation, on en obtient une troisième dans laquelle il est tenu compte des carrés et des produits des forces perturbatrices, et continuant de la sorte on parvient à des valeurs de oa, oe, 8e, . . . aussi approchées qu'on le désire, et l'on arrive par suile à connaître, pour chaque instant donné, le lieu de l'astre dans son orbite avec toute la précision que les observations comportent.

Les altérations que subissent les éléments de Torbite elliptique par l'effet des forces perturbatrices étant toujours très faibles, on peut, sans crainte d'erreur, considérer chaque effet isolément et prendre pour l'effet total résultant des diverses actions réunies la somme des effets que produirait chaque force considérée séparément. De cette manière, et quel que soit le nombre des corps qui composent le. système, le problème des perturbations est toujours ramené à la considéralion de trois masses /w, m', M qui sont un corps central prédominant M, un corps troublé m et un corps troublant m'. Les équations qui déterminent les lois du mouvement troublé sont alors les suivantes :

d^x \kx __ dR

dt^ r' dy d^z \xz dï{

\ dt^ r^ dz

H ayant pour valeur

[i œx'-JnVY'-^ zz' 1

Lorsqu'on néglige l'action perturbatrice de m', la fonction R s'évanouit et les équations (i) se trouvent réduites aux seuls termes qui définissent le mouK'ement elliptique ou non troublé de m autour de M. Nous allons étudier en particulier les lois qui se déduisent de ce mouvement, lois purement hypothétiques, mais que les géomètres et les astronomes ont dû considérer pour établir le principe des approximations successives.

é^ÉMÉRIDES DBS PLANÂTES. l45

Multiplions la deuxième des équations (i) par x et la première par/; la première par z et la troisième parj?; la troisième par/ et la deuxième par z ; puis retranchons dans chaque combinaison la première équation de la seconde. En désignant par x\ y ^ z' les dérivées des coordonnées prises par rapport au temps, on aura

expressions qui, étant multipliées respectivement par z^y^ Xy donnent

(4) DCs H- DC> H- DC'ar = o.

Dans le mouvement elliptique où R = o, les quantités dC, 9C', DC^ sont des constantes et Téquation (4) représente un plan de position invariable qui passe par Torigine des coordonnées ou par le centre du Soleil. Dans le cas du mouvement troublé, ces quantités varient avec t et Téquation (4) ne peut être regardée comme représentant un plan que pendant un intervalle de temps infiniment petit. La planète se meut alors en passant successivement d'un arc d'ellipse à un autre à chaque instante//, et décrit ainsi une courbe à laquelle toutes les ellipses variables deviennent des courbes osculatrices.

Soit dv Tangle décrit par le rayon vecteur r dans Tinstant dt ; Taire décrite par ce rayon sur le plan de Torbite aura pour expression

J r« dv,

et, en appelant cp, cp|, ^^ les angles compris entre le plan des deux rayons vecteurs ou de la courbe et les plans coordonnés xyy xz, yZy

(3) r^dvcosf = tKdty r*dvcosrfi = OCdty r*rfv coscp, = DC'rf/;

caries premiers membres des équations (3) ne sont autre chose que les projections du double de Taire décrite par la planète pendant Tinslanl dt sur les plans des xy, des xz et des zy. De là résulte

l6) r^di^^ = K^dt^ ou r^dv=^Kdt,

en faisant, pour abréger, K^ ~ ^« -h DC*' -i- DC*".

SoocHo:<. — Astr,prat. lo

l46 DEUXIEME PARTIE. — GHAPIT|iB III.

(p désignant toujours Tangle que le plan de la courbe fait avec le plan fixe des xy ou de récliptique, appelons 0 i^angle que forme la commune intersection de ces plans avec Taxe des a: ou la longitude du nœud; on aura, par les principes de la Trigonométrie sphérique,

cos ©1 — sin «p cos6, ces cpj --- sin © sin 6 ;

on aura par suite

IDC — Kcosç, DC'r — Ksintpcose, dC^ K sintp sin 8.

Ces valeurs, substituées dans l'équation (4), donnent

z coscp — ^'sin^p cosO -f- J^sinçp sinO = o, d'où

(8) 5 — j tang«pcos6 — xtang^psinO.

C'est Véquation du plan de Torbite fixe ou variable.

Quant aux valeurs de «p et de 0 qui fixent la position de ce plan, elles seront déterminées par les équations (7) lorsque les constantes arbitraires S)C, DC', DC seront connues. On a en effet, en fonction de ces arbitraires,

(9) coso = ^, tang6 = — ^.

L'équation (6) fournie par le principe des aires représente une intégrale première des équations (i) privées de leurs seconds membres. On en obtient une seconde par l'emploi du principe des forces vives. On trouve en effet, par l'application de ce principe,

H désignant une constante arbitraire.

En éliminant dt entre cette équation et celle (6), on obtient

r* dç^ r

d'où

(il) dç = . ^= y

r/Hr*-r- 2jxr — K* équation différentielle de la trajectoire.

éPHÉMBRlDES DES PLANETES. l47

Pour en trouver Tintégrale considérons le trinôme

Hr*-4- 2jxr — K« = G,

par lequel se trouvent déterminées les valeurs maxima et minîma de r, valeurs que nous désignerons respectivement par a(i -+- e) et a(i — e).