DL MOLVEMKNT VARIÉ ET ELLIPTIQIE DES PLANÈTES
La détermination du mouvement des planètes autour du Soleil «^^ pend, d'après ce (|ue nous venons de dire, de l'intéjxration des êq««^' lions diirérenlielles (3) et des équations semblables relatives a «J"^ corps /;*', m\ .... Mais dans l'état actuel de l'analvse, celle inlé::^*' lion v\\ termes finis est impossible et l'on est oblijré d'avoir recourir- •' des a|)pro\iniations. La constitution de notre s>stème planétaire. n«»**' Tavoiis dit, offre pour cela cet avantage précieux que, les masses pl^' nétalres étant très petites par rapport à celle du Soleil, la fonction '^ dépendant de l'ordre des masses se trouve être une très petite quanti ••'
ÉPUÉMÉRIDES DES PLANÈTES. l4'i
par rapport à celle ^ et peut dans nn^ première approximation être
négligée. Les formules qui en résultent sont alors celles du mouvement elliptique, et Ton peut, en partant de ces formules, parvenir à celles qui expriment le mouvement troublé, soit en cherchant à déterminer les correctioi^s que doivent subir ces premières valeurs des coordonnées pour représenter le mouvement varié, méthode qui esl celle employée généralement par Laplace dans la Mécanique céleste, soit en regardant Torbite de la planète troublée comme une ellipse dont les éléments varient à chaque instant par Teffet des forces perlurbatrices, et cherchant à déterminer ces variations par Temploi de la méthode de la variation des constantes arbitraires que Ton doit à Lagrange. Lorsqu^on suit cette marche, qui est à la fois la plus simple et la plus naturelle, on est aisément conduit, par Tintégration, aux. valeurs fmies des variations da, de, dt, ... des éléments elliptiques (*), et ajoutant ces valeurs finies à ces mêmes éléments ou constantes ar-
(') Voici les expressions générales de ces variations diiïérentielles, telles qu'elles ont été employées par Poisson dans ses premiers Mémoires :
da -r- dty «w = - — 7- a/,
an dt orne de
S'\-e^\ , JdW d\\\\ ,^
an da a* ne de
I d\\ , , I d\\ - -- dt, dz - — — —pr
On leur donne la forme indiquée par I^aplace dans le Supplément au troisiénu' Volume de la Afécanif/ue céleste, en remplaçant — et — j— par les expressions
a^n an ^ . . , .1 r . . • t 1
équivalentes — et — » et faisant jx = 1. Il faut remarquer en outre (fue l^aplacc
prend — H au lieu de H, ce <|ui clian|;e le signe des équations ci-dessus.
On joint encore à ces équatitms celle relative à la variation du moyen mouvement, savoir :
dz
En posant
p sinssinB, 47 — sin^cosO,
,-. f. ,.,.-. ffy^u.
on change les deux derniircs équations en celles-ci :
COS3 ^I{ , , COS5 d\\ ,
dp ■- =r 7- dt, da ■'-- -^ -7— dt.
a'n yi — e' '^7 a*n y/ 1 — e* ^P
l44 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITIB 111.
bitraires, on en conclut celles qui conviennent au mouvement troublé ou a -f- oa, e -f- Se, En général les quadratures d'où dépendent
les variations oa, le, ... ne peuvent pas s'effectuer exactement; mais on peut toujours les obtenir par des approximations successives. Pour cela on commence par n'avoir égard qu'à la première puissance des masses perturbatrices et Ton est ainsi conduit à une première valeur approchée de ces éléments devenus variables. A l'aide des valeurs r^ sullant de cette seconde approximation, on en obtient une troisième dans laquelle il est tenu compte des carrés et des produits des forces perturbatrices, et continuant de la sorte on parvient à des valeurs de oa, 8e, os, ... aussi approchées qu'on le désire, et l'on arrive par suite à connaître, pour chaque instant donné, le lieu de l'astre dans son orbite avec toute la précision que les observations comportent.
Les altérations que subissent les éléments de Torbite elliptique pa^ l'effet des forces perturbatrices étant toujours très faibles, on peut, sans crainte d'erreur, considérer chaque effet isolément et prendre pour Teffet total résultant des diverses actions réunies la somme de* effets que produirait chaque force considérée séparément. De cette manière, et quel que soit le nombre des corps qui composent le sj*" tème, le problème des perturbations est toujours ramené à la considé^*^* tion de trois masses m, m', M qui sont un corps central prédominant W» lin corps troublé //j et un corps troublant m' , Les équations qui dèt,*''* minent les lois du mouvement troublé sont alors les suivantes :
•JL )' f/ \{
r^ ily
1^ dz
\\ ayant pour \alciir
Lorsqu'on né«j:lijre l'action perturbatrice de //*', la fonction W s\*^ ^' iiouit et les équations (i) se trouvent réduites aux seuls ternies qui « ^^ finissent le niou\'ement elliptique ou non troublé de //* autour de ^' Nous allons étudier en particulier les lois (jui se déduisent de ce nui» •* vemenl, lois purement li>potliétiques, mais que les ^'éomèlres et B^ astronomes ont dii considérer pour établir le principe des approviiim ^ tions successives.
éPHBMBRIDBS DBS PLANàTES. l45
Multiplions la deuxième des équations (i) par x et la première par j^; la première par z et la troisième par j?; la troisième par ^ et la deuxième par z ; puis retranchons dans chaque combinaison la première équation de la seconde. En désignant par x^ ^ y y z' les dérivées des coordonnées prises par rapport au temps, on aura
expressions qui, étant multipliées respectivement par z^y, a?, donnent
<4) DC.5-T-DC>-l-De'a: = o.
Dans le mouvement elliptique où R = o, les quantités ^, S)C', DC sont des constantes et l'équation (4) représente un plan de position invariable qui passe par Porigine des coordonnées ou par le centre du Soleil. Dans le cas du mouvement troublé, ces quantités varient avec t et Téquation (4) ne peut être regardée comme représentant un plan que pendant un intervalle de temps infiniment petit. La planète se meut alors en passant successivement d*un arc d'ellipse à un autre à chaque instant ^^, et décrit ainsi une courbe à laquelle toutes les ellipses variables deviennent des courbes osculatrices.
Soit dv Tangle décrit par le rayon vecteur /• dans Tinstant dt\ Taire décrite par ce rayon sur le plan de Torbile aura pour expression
/•' dVy
et, en appelant o, ^i, cp, les angles compris entre le plan des deux l'ayons vecteurs ou de la courbe et les plans coordonnés œy^ xz, yZy On aura
(5) r^dvcos^ = didt, r^ dv cos^^i = DCdtf r^ dv cos^i = tK'dt;
Car les premiers membres des équations (3) ne sont autre chose que les projections du double de Taire décrite par la planète pendant Tin- ^tant dt sur les plans des xfy des xz et des zf. De là résulte
C6) r^dç^=:K^dt^ ou r^dv=::Kde,
^n faisant, pour abréger, K* n^ ^* -i- OC*' -h 0O\
SoocaoN.— Astr,prat, lo
l46 »KirXIBHK PAITIB. — GHAPITIB III.
9 dêsiçnanl tosjoars Tangle que le plan de la courbe faîl avec le plan fixe des jrr o« de Tédiplîqoe, appelons 6 Tangle que forme la cooim une inlerseetioo de ces plans avec Taxe des x ou la longitude du nœud: on aura, par ks prÎBcîpes de la Trigonométrie sphérique,
C06S; — »ÎBs cosi, co59« ~ sinosinO;
on aura par suite
' tK' — k sÎBw sin<l.
Ces valeurs, substituées dans Téquatioa (4), donnent
s co^z^ — vfins co*^ — ^^bs sinO = o, dVù
(8> ^vtaog^cos5 — xtangcsinO.
(«'est Véquation du plan de Torbite fi\e ou variable.
Quant au\ valeurs de ^ et de 0 qui fixent la position de ce plan, elle^ sciant déterminées par les équations (7) lorsque les constantes arbi — traires DC, DC', 9C' seront connues. On a en effet, en fonction de ce^ arbitraires,
(l>) cosîp = |-, tango = —^,
1/équation (6) fournie par le principe des aires représente une int^ f;rale première des équations (i) privées de leurs seconds membres. O eu obtient une seconde par Temploi du principe des forces vives. C> liouve en eflel, par l'application de ce principe.
Il désignant une constante arbitraire.
Kn éliminant dt entre celte équation et celle (6), on obtient
r^di^^ - r '^ '
iVoii
Kdr (il) di^ =
r /H r* -h 2 |xr — K* équation diflerentielle de la trajectoire.
BPBÉMÉRIDES DES PLANÂTES. l47
Pour en trouver Tintégrale considérons le trinôme
H r* 4- 2 [ir — K* = o,
par lequel se trouvent déterminées les valeurs maxima et minima de r, valeurs que nous désignerons respectivement par a(i + e)eta(i — e).
La somme de ces deux racines étant égale à — fr ^^ ^^^^ produit a -jj-y on aura
d'où
(la) H = -^' K = /ap.(i-^*).
D'après cela, l'expression ci-dessus de dv deviendra
dr\/a fx(i — e*)
dv^
adr
/— [r— a(i — e)][r--a(i-hg)|
y r* ar(i — e*) a*(i — é^)
^dl
Va« [(! — «*)' I — e«J [r a(i — e«)J
— ./fl ^^' — ^*)
exprossion dont l'intégrale est
= w -+- arc I cos = I»
l4« »CrXIÉaB rABTIB. — CaAriTBB III.
M étant mne constante arbitraire. Oa ca dédwt
r Ainsi
^ ce** »- —
O^rtle êqualioo e>l oielle d'une section conîqne rapportée à son fovcr. I^n5 le ca< des planète^, fi e>t toaj«>ars p>sitîf et e <C i : cette éqaatîon représente alor^ une ellipse dont le Soleil occupe un des fojrers: Teilipse <e change en une pNiral:>«>le i*>rïque a est inàni et e = i . et en une hyperbole ior>4]ue 4t e:^t néçatit et e>>i. La di<cui<>îon de cette équation VI 4 • montra encore que %* et •» ?«>al le< angles formés par le ravon vecteur r et Ij lî:çne de>> ab>îde> ou le .rrand a^e avec un a\e fiiLe situé dans le plan de l\*rl»ice. »''e>t-â-dire la k<'M::itude rraie fie ia planète et la iom^ilU'Je du f-rriitene. «.^^uant à 1^ dîtïérence ♦* — ^ de ces angles, qui five la distance de Taslre au pérîbeiie. c'est ce qu'on nomme Vanom^ttte vr*w de la planète *
Si. au lieu d'rlîmiaer Jx entre les^ é^|tiJtions 6 ' et loK on élimine «/«'. «.-a aura
é«|uation d'.^ù IVa tire^
On rend cet:e tquitic'Q înt^j grille en tïtrv!^"s.£saat une variable auxiliaire « litfe JL r pir II re-Iizî'.Ni
■i»i i.he ^r%at À fiurtir lie Ti^'Wfar. u: ift«iarà:.a «v-nrr. <iinii U for^
ÉPHÉHéRIDES DBS PLANÂTES. I 49
car il vient alors
(i6) dt=zi/ — {i^ e cosu)dUi
expression dont Fintégrale est
(17) nt -^ c = u — esinUj
en posant
c esl la constante introduite par l'intégration, u Tangle que Ton appelle anomalie excentrique et nt le moyen moin'ement ou Vanomalie moyenne de la planète m. Lorsqu'on prend pour origine du temps rinstant du passage de la planète par le périhélie, / et £/ sont nuls en même temps, c disparait donc et Ton a
('9) ni = u — es'inu,
*-^i*sque, au contraire, on convient de compter le temps à partir d'un
instant quelconque après le passage au périhélie, Tangle nt se trouve
^**gnnenté de la constante e — o>, e désignant la longitude moyenne de
la planète à Torigine du temps ou la longitude de V époque, et dans ce
cas l'on a
nt -.- t — (a ~ u — e sin u au
nt — U) — z-h u — e sin m.
^^ ïïîème relation (20) convient encore à l'équation différentielle (16) ^^■^Scju'on a égard à l'action de la planète /»', pourvu qu'en regardant ***> ^, e comme variables,, et posant
Jn dt = Ç — tu — z -h u — e sin //«
'* ^r^ résulte
d^ dT d^
-^ de -i- -^di-{- -.— diji — 0.
de dz dtii
^^^^aintenant, si Ton élimine r entre les équations (i4) et (i5), on
e -^ cosCi? — (o) ces u = ,
I — cos(v — (o)i-L-e I — ces a i-t- co»(i^ -1- co^ 1 — e i-f- cosa
l5o DBUXlàMB PARTIS. — GHAPlTRfe III.
c'est-à-dire
(ai) langiC*' — ««>) = t/Y^tangî
tu
Cette formule fait connaître directement l'angle (^ — q> en fonction de Uy et par suite de t. Lorsqu'on compte les angles ç à partir du périhélie, on a (D = o, et par suite
(aa) tanglfr^l/i^lang^ii.
Les coordonnées r et r déterminées par les formules (i5)et(22) font connaître la position d'une planète dans son orbite à un instant quelconque i^ lorsque pour cet instant u est connu. Il s'agit donc tout d'abord d'obtenir u. Mais l'équation (19) qui Tex prime étant transcendante, il est impossible en général d'avoir son expression sous forme finie, et c'est à un développement en série que Ton est obligé d'avoir recours. Voici le moyen que l'on emploie ordinairement pour y parvenir.
On a
u = nt ~^e sin u ,
ti comparant celte équation avec celle dont le développement dû à Lagrange est
on en déduit , en faisant 5 = «, x = n/, /(-r) = sînx (cl laissant jc pour plus de simplicité >,
Maisoa a
4#siB<X
^SIB^X <H>$1X— I, 5 = SÛI1X,
OJt
, ^ ^ . «^siB^x 3*si«5x — 3siBX i*si«*x — sia5x— 5m«x, — -j—- — = 1
o» a <k>»c^ par la s«Ksùl«lk«i de ces valeurs dass Féquation précé--
ÉPH^MémiDBS DBS PLANÂTES. l5l
dente et après avoir remplacé x par nt^
(23) u = ni -h esinnt-i sîna/i/ -î — r (3sin3/t/ — sin/i^) -4-
L^angle u étant déterminé en fonction de t par cette formule, on aura les valeurs correspondantes de r et i' à Faide des relations (i5) et (22) qui précèdent. Mais il est préférable, surtout lorsque les excentricités sont petites, d'exprimer r et v de la même manière que 1/, c'est-à-dire par des séries procédant suivant les puissances de e et qui soient des fonctions explicites du temps. Voyons donc comment on peut exprimer r et c sans passer par le calcul de u.
On a
- = I — c ces a.
Posons
F(x) = 1 — e cosir, F'(^) — e sînx, '/(x) — sino?, x = nt;
alors, par la formule connue
<*) F(z) .F(x^-.eF'{x)Ax) ...-:- __^__ ^ [F(x)/{x)-],
on en déduira
/• . . . ** ds'n^x
- - I — e cos j* -T- e* sin' j* -r j ;-•••>
a 2 dx
mais
sin'-r = y — ; =^ ' ....
2 tlx 2*
Substituant ces valeurs dans l'équation précédente et remplaçant x par sa valeur /i/, on aura donc
(ai) - ^ I — ecos nt ( cos2 nt — 1) — -r(3cos3n/ — 3cosn/) —
Il nous reste à exprimer if en fonction de L Or, si Ton écrit Téqualion (22) de cette manière
inji» /i H-g sin \ u os^vy I — e cos^u
sm ces
et que, dans cette dernière, on remplace les sinus et cosinus par leurs valeurs en exponentielles imaginaires, on aura, C désignant la base du
l5a DEUXIÂMB PAITIB. — GHAPITll 111.
système de logarithmes népériens,
Posons
il en résultera
et, en prenant les logarithmes des deux membres, on aura
lop(i - XC—'^) — lop(i - XC"^
expression d^oîi Ton tire, en développant les logarithmes et remplaça les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en sinus et cosinus,
i' = a ~- 2 ( A sin M -f- — sin a M -f- — sin 3 a - . . . I .
Maintenant on a
u - nt -i- e sin m,
sinu ~ = sin nt -%- -sina/if h — -(3sin3n/ — sm/i/) - . ..;
on a ensuite
>iiiaM : sina/i/ -+- e(sin3/i/ — sin/i/ ) -^ e^{sin^nt — sinint) .- — -T» ( isinw/ - À'r>\n3nt — !i5sin 5/iO - • • •'
sin 3 14 -- sin 3/1/ - - ^ i^3sin î/i/ - 3 sin a /i/)
-r (i5sin5/t/ — i8$in3/i/ — 3sin/i/ À*
D\in autre ciNté, la formule do I^grange [formule (6)] donne,
posant I -*- ^ I — c* - 2, d\>ù z -. i et - ~ x, jt —- 2, ^ = i
iPBBMÉRlDES DES PLANÂTES. |53
c*esl-à-dire, en remarquant que X =r - = - ,
D^'après cela, et en bornant Tapproximation aux termes qui sont du troisième ordre par rapport à e^ on aura donc
(•Jt5) V — /i^H- aesin/i^ -h-ie* sina/i/n r--T(i3sîn3/i/ — Ssinn^) 4-....
c' — /i^ ou la suite des termes -f- 2esin/i/-f- J^' sina/i^ -h. . . est ce que les astronomes sont convenus d'appeler Y équation du centre; c'est, comme on voit, la quantité qu'il faut ajouter à la longitude moyenne pour avoir la longitude vraie r. Si, au lieu de compter Tangle v du périliélie, on fixe son origine à un point quelconque de Torbite et si, de plus, on prend pour origine du temps un instant quelconque après le passage delà planète au périhélie, il faudra, d'après les remarques que nous avons faîtes à la page i^Q^ remplacer dans les expressions (q4) el (35) V par c — w et nt par nt-\-t — tu, et ces expressions deviendront alors
\ - — I — € ces nt -^ t — (O r COS 2(/l/-f-£ — lu) — il-
( V '- nt -h t-^-'xe 9\ïï{nt -\- t — tu)-i- Je' sin2(/i^ -h s — tu) - . . ..
Connaissant <% /*, «p et 6, on obtiendra la longitude héliocentrique ('i, la latitude héliocentrique s et la projection i\ du rayon vecteur r sur l'éclipiique, au moyen des relations suivantes, démontrées au § I du Chapitre III :
tang(ri — 6) — cosç tang(t^ — 6),
tangi - tango sin(('i — 6),
ri :- rcos*.
^rsque l'inclinaison cp est peu considérable, ce qui est le cas de la plupart des planètes, on peut, au lieu de calculer directement v^^ chercher l'expression delà correction p qui, appliquée à r, donne Vy, Cette ^«Tection, que l'on nomme réduction à Vécliptique, a pour expression, comme nous l'avons vu à l'endroit du Chapitre précité,
^ sm I sinu
«n sorte que
l54 DEUXIÂMB PARTIE. ^ CHAPITRI III.
inversement, on aurait
Pi étant la valeur ci-dessus de p, dans laquelle Çi est mis au liea d Les angles <p et 0, qui fixent la position de Torbite de m dans 1 pace, sont rapportés à Técliptique; mais il est aisé d'en déduire valeurs y 6t t des mêmes éléments rapportés au plan de Torbite de comme cela est nécessaire dans le calcul des perturbations. En effet, soient (/ig", 20)
Fi g. 30.
TE Técliptique, iN/n Torbite de m, N'm' Torbite de m',
N, N' les nœuds ascendants de ces orbites, « et 6' les longitudes TN et T \' des nœuds N et N', tp et <p' les inclinaisons respectives des orbites de m et m' sur Téc tique.
\i sera le nœud ascendant de Porbite de m par rapport à celle de et Ton aura
Y - mN| rn\ Posons dans le triangle N'N N|
et
alors, par les formules connues
s'ina sin6 • ,- % • 4 /> r
—. — r = -: — rr» sinB cosa = 5inC co$ \ - sin.V cosC^cosô, 5in \ sinB
on en déduira
sinY Jim t — 6 » = $în^'sin< 6 — 6'),
siHY cos< t — 0 » -= sins coss — sins'coss cos< 6 — 6'>.
ÉPHâmÊRIDBS DBS PLANÈTES. 1^5
Maintenant, si Ton développe dans les premiers membres de ces équations sin(T — 6), cos('c — 6), puisqu'on tire les valeurs de sinYsinT etdesinYCosT, et qu^enfin on pose
p -= tang^ sinO, q --- tangtp ces 6, />'— tangtp'sinB'y q' - tango' ces 0',
on obtiendra y après quelques réductions faciles,
( ""^ , sin. .= ^-,/ -asm»2 ^î^siniB 6),
, ^ 1 COSO C080 ^ ' 2 ces®
i sinY , . .® tango' . -, a»x • a
f ' — ,QO%i-~q —q — 2Sin*-î. ^-t- sin(6 — 6 ) sin8.
\ cos ^ ces <p ■* ' 2 cos ^
Dans le cas où ^ et ^' sont de très petits arcs, on peut écrire
( sinYsinT— :/) — p\ { sin^cosT - q ~ q'.
Ces équations déterminent Tinclinaison mutuelle y ^^s orbites et la longitude t du nœud ascendant de m sur m'. On obtiendrait celles qui font connaître la longitude V du nœud descendant de m' sur m en changeant simplement dans les précédentes x, /?, q^ <p, 6 en t',/>', r/', y, Q'i ou inversement, et remarquant que sin^ prend dans ce cas un «igné contraire.
iSO DEUXlàMB PAETIE. — CHAPITRE IT.
