I. — Des principales inégalités du mouYement de la Lune
Si la Lune n'était soumise qu'à Faction attractive de la Terre, les lois qu'elle suivrait seraient exacleinent celles du mouvement elliptique : l'orbite décrite serait une ellipse invariable de forme el de position dont la Terre occuperait un des foyers, et les aires tracées par le rayon vecteur lunaire seraient rigoureusement proportionnelles aux temps employés à les décrire. Mais la Lune est attirée à la fois par le Soleil, la Terre et les planètes, et de cette di\'ersilé d'action résultent les inégalités que nous observons dans son mouvement. Comme l'action solaire est la seule qui ait une influence marquée sur les mouvements de la Lune, les inégalités qui U troublent ne peuvent résulter que de la différence des actions exercées par le Soleil sur la Lune et la Terre ( * ), et leur grandeur doit dépendre uniquement du rapport de la force perturbatrice i la force principale ou de la force qui émane du Soleil à celle qui provient de la Terre. Ces inégalités sont du même genre que celles qui affectent les mouvements planétaires; seulement, comme b force perturbatrice, dans le cas de la Lune, est beaucoup plus considérable que dans le cas des planètes et le mouvement de cel astre autour de la Terre plus rapide, ces inégalités ont, en général, des coefficients plus considérables et des périodes beaucouf plus courtes. Nous allons examiner dans ce paragraphe les prin-
(') Celle consicléralion, qui ramène loules les forces perturbatrices à une if*^ el qui rétluit le nombre des corps du système à trois, a fait donner au prolïlf* qui consiste à déterminer le mouvement troublé de la Lune autour de la Tctrt^ nom de problème des trois corps.
lÊPBBMiiEIDBS DE LA LUNE.
cipales de ces inégalités, qui sont la variation, V élection et Véquation annuelle. Nous commencerons par celles qui affectent la forme et la grandeur de l'orbite lunaire; ensuite, nous considérerons celles que cette orbite éprouve par l'effet de son inclinaison. Soient S {fig. 2 1) la position du Soleil, LEDB l'orbite de la Lune
Fig. ai.
actuellement en L. Sous l'influence de Taclion solaire, la Lune se trouve attirée vers le Soleil par une force représentée en grandeur et en direction par la droite LR. Pour apprécier les effets dr cette force, décomposons-la en deux autres, l'une LP égale et parallèle à celle TS que le Soleil exerce sur la Terre, et l'autre LQ qui s'obtient en achevant le parallélograninie PLQR. La force LP étant commune en grandeur et en direction à la Lune et à la Terre» ne change rien au mouvement relatif de ces corps; c'est elle qui engendre le mouvement elliptique. Quant à la seconde force LQ, qui produit dans le mouvement de la Lune les inégalités que nous observons, on peut la décomposer en deux autres forces, l'une LN tangente à l'orbite de la Lune et l'autre ML dirigée suivant le rayon de la Terre. Considérons d'abord la première de ces forces, celle LN dont l'effet est visiblement d'altérer la vitesse de translation de la Lune autour de notre globe. En suivant la Lune dans fes diverses positions qu'elle peut occuper sur son orbite, on reconnaît aisément qu'en partant de la syzygie C, par exemple, sa liesse diminue jusqu'à la quadrature E; que de ce point à la
l58 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IT.
syzygie D elle va en augmentant, pour diminuer deToppositionD
à la quadrature B, et croître ensuite de B en C. CVst à cette série
d^inégalités, dont la connaissance est due à Tycho-Brahé, que Ton
a donné le nom de variation. En désignant par C !& longitode
de la Lune et par O celle du Soleil, on a pour rexpression de
celle inégalité
o',36'8in(0— C).
La seconde force LM que nous considérerons maintenant agit pour changer la pesanteur de la Lune vers la Terre, et va nous donner l'explicalion d'une autre inégalité, dont la découverte e$l due à Kepler, et que Ton nomme équation annuelle.
Comme, dans le cours d'une année, la Terre accompagnée delà Lune se rapproche et s'éloigne successivement du Soleil, on conçoit que, lorsque la Terre atteint le périhélie, l'attraction du Soleil étant alors la plus grande, la pesanteur de la Lune vers b Terre se trouve diminuée et son orbite dilatée. Le contraire a lieu lorsque notre globe est à l'aphélie, car alors, l'attraction sobirr étant la moins forte, la pesanteur est augmentée et l'orbite contractée. C*est à ces dilatations et contractions successives de forbite lunaire que l'on a donné le nom d'équation annuelle. Cette inégalité dépend, comme on voit, du lieu de la Terre dans l'écliptique et a pour période l'année solaire anomalistique. On peutU représenter par Texpression
!J élanl l'anomalie movenne du Soleil.
Outre rinégalité dont nous venons de parler, la force LM en produit une autre désignée sous le nom iï élection, et dont la découverte est due à Plolémée. En examinant ce que devient la force LM dans les diverses positions que la Lune occupe sur son orbite, on reconnaît que la pesanteur augmente dans les quadratures et diminue, au contraire, aux svzvgies, la diminution étant d'ailleur» double de Taugmentalion (*). Or, sans l'action du Soleil, la Lune
(') Ceci exige uoe dêmonstratioD que nous allons donner dans celle noie. No«* nous appuierons pour le faire sur les considéralions que Clairaul a dêTcloppée* dans sa Théorie de la Lune.
Soient S la position du Soleil, T celle de la Terre et L la Lune. Appelons M ^
ÉPHÉMÉRIDBS DE LA LUNE. iSq
atteindrait son périgée au moment où la >îtesse acquise commencerait à l'emporter sur l'attraction de la Terre. Jje Soleil, en diminoant la pesanteur et en favorisant la vitesse de la Lune, change rinstant où cet astre passe au périgée, point qui se trouve alors
masse du Soleil et posons
LT=-r, ST^ .0, SL = p', STL = T, LST =. S.
Ui actions exercées par le Soleil sur la Lune et la Terre auront respectivement
pour expressions -tj » -^ » et ces actions seront dirigées, la première suivant LS el
la seconde suivant TS.
Décomposons la première de ces forces en deux autres, Tune dirigée suivant LT ft ravtre suivant une parallèle LP à TS. D'après la règle du parallélogramme des
forces, ces deax composantes seront représentées respectivement par ~ -7' -i —,f
et comme la force qui doit être appliquée à la Lune, lorsqu'on suppose la Terre
inmobile, est ^ t on aura pour les expressions des forces perturbatrices qui
tgiisent sar la Lune suivant les directions LT et LP
Supposons maintenant que le plan de Torbite lunaire se confonde avec l'éclipliqne ou que les trois corps soient dans un même plan, et abaissons du centre L <fe la Lune la perpendiculaire LL' sur ST, on aura
SL' = SL cos S ou SL' = SL,
car l'angle S n'atteint jamais 9'; on aura par suite
SL ~ p'= p — rcosT, I 1 3rrosT
Imi — T5
^ peut négliger le carré du rapport - qui est très petit, t^ environ ; ainsi la force
tn.'ii^ ..vrai fi-.Mr -, ,*v, 3Mrro«T «iinnt LT se réduit à — r- et celle suivant LP à =
Hais cette dernière force peut elle-même se décomposer en deux autres forces,
l'oae dirigée suivant le prolongement LM de LT et l'autre suivant une perpendi-
^ire à ce rayon. Ne considérons que la première de ces forces, celle qui agit
'^▼lat LM; elle a pour expression
3MrrosT ^ = cosT,
<:t comme elle attire la Lune en sens inverse de la force —7- > elle doit en être
l6o DEUXIÂME PAETIB. — CHAPITRB IV.
poussé vers le Soleil. Le contraire a lieu aux époques oiï le Soldl diminue la pesanteur de la Lune; le périgée se meut alors en sec::»» opposé; et, comme la diminution est double de FaugmentatioBni, l'arc dont l'apogée a tourné vers le Soleil surpasse celui dont il a rétrogradé : ainsi l'axe des absides de l'orbe lunaire se meut das^^xs l'ordre des signes. L'arc parcouru dans l'espace d'un an est c :^e 4o°4o'> ^t la circonlérence entière se trouve décrite par le périgfc^e en neuf ans environ.
Mais en même temps que ce phénomène se produit, Fexcentr Scité de l'orbite lunaire varie; car l'action de la Terre étant d'autaEri^t plus faible que la Lune est près de son apogée, et d'autant plu^^s grande que cet aslrc est plus rapproché de son périgée, il do :mI nécessairement en résulter, daiis le premier cas, une augmentatic^- n de la distance TC à laquelle correspond une dilatation de l'ellip^as^ lunaire, dans le second cas, une diminution de la même distanc— c à laquelle correspond une contraction de cette courbe ; et dans k -is deux cas une variation de l'excentricité. Celte variation se man fesle à nous par une alttTation de la vitesse de l'astre, qui sub alternativement des avances et des retards, et constitue ce qu'o n nomme Véveclion. Sa période est de 3iJ,8ii9 et, en appelant J
retranchée. W désignant la force totale que le Soleil produit sur la Lune dan* "W -4 direction LT, on a donc
n — 7- (i 3cos'T) P
ou
\{ , (I- - ^ cos:.T).
Dans les s>/.VL'ics on u
o ou T 180":
par const^quenl,
Dans les quadratures on a
[r»" ou T - J7«y';
donc, dans ce cas,
Ainsi rattraclioa que la Terre exerce sur la Lune est augmentée dans les quadratures et diminuée dans les syzvgies, la diminution étant d'ailleurs double de lauÇ' nicntation.
ÉPHBMÉRIDBS DB LA LUNE. l6l
l'anomalie moyenne de la Lune, on a, pour son expression,
En comparant les observations anciennes aux observations modernes, Halley reconnut le premier que le mouvement de la Luno s'accélérait. La cause de celte accélération, qui a échappé longtemps aux recherches des plus grands géomètres, est due, comme Laplace l'a montré, à l'action du Soleil sur la Lune combinée avec la variation séculaire de l'excentricité de l'orbite terrestre ; elle porte le nom ^équation séculaire. Cette inégalité est périodique, mais la durée de sa période embrasse plusieurs milliers d'années.
L'extrême lenteur avec laquelle elle croît l'aurait rendue pour longtemps insensible aux observateurs, si sa valeur, en s'élevant jusqu'à S'* ou 9® avant de changer de signe, ne produisait pas des différences considérables entre les mouvements séculaires de la Lune observée à diverses époques. On peut la représenter algébriquement, en ajoutant aux longitudes moyennes de la Lune lo nombre i o"^ multiplié par le carré du nombre des siècles écoulés depuis l'époque 1800.
Dans ce qui précède, nous avons admis que la Lune se mouvait dans le plan de l'écliptique; mais on sait qu'en réalité le plan de l'orbite lunaire est incliné d'environ 0^9' sur ce dernier : il en résulte que la force LQ est oblique au plan de l'écliptique et que l'on doit considérer, outre la force tangentielle LN et la force LM, une troisième force perpendiculaire à celle-ci, laquelle ^gitpour ramener la Lune dans l'écliptique. Pour apprécier les effets de cette force, supposons que EN soit l'écliptique {^fig* as),
Fig. 22.
1-N Porbite lunaire et N le nœud de la Lune. Abstraction faite "** Soleil, la Lune décrirait, en vertu de son mouvement propre, ^Q Certain arc L6; mais l'action solaire, en agissant suivant La,
SoDCBOR. — Aitr, prat, x i
i6a DBUXiàm paetib. — gbapitab it.
pour ramener la Lune vers récUptique, change cette directioi qui devient LU, c'est-à-dire celle suivie par la diagonale du para lélogranime construit sur les deux forces La et L6. L'orbite 1 naire est alors LN' et le nœud se trouve transporté de N en c'est-à-dire dans le sens contraire du mouvement de la Lune
longitude; en même temps l'inclinaison LNE s'est accrue de toi l'arc LL'a. Or, tant que la Lune demeure au-dessus del'écliptiqu cette inclinaison augmente, mais elle se rétablit peu à peu, passant par les mêmes degrés, dès que cet astre est au-dessous ce plan ; seuls les nœuds continuent à rétrograder.
Il résulte de ce qui précède que la Lune subit deux altératioi^Bi.5, l'une dans l'inclinaison de son orbite, par suite de laquelle le plan de celte orbite paraît osciller autour d'un état moyen inv" variable avec la durée des siècles, et l'autre dans la direction de b ligne des nœuds qui, par son mouvement rétrograde, décrit i^cj^d arc d'environ 19^*20' par an ou une circonférence entière en dSLxhuit ans, sept mois et demi.
Ces deux mouvements en produisent, par leor combinaison, i^^^o troisième dans Taxe de rotation de la Lune, cpii décrit une petE ^ surface conique autour de la perpendiculaire à l'orbite de cet asi — ^^ RK^iée par son centre, eflfet analogue à celui qui a lien, comc^^e nous Tavons \*u, pour la Terre, et que Ton désigne sous le no^^"* do n Niai ion lunairr.
l^es inôgalîlôs que nous venons d*indiquer sous le nom de u^^ nation. iV^^rciion el d^êquniion annuelle sont les plus scnsibl^^s qui alVtvlenl la longitude de la Lune, mais ce ne sont pas les seul^^ qui «luirent i-^t ôlôment. L*anal\^se en a fail découvrir un graim^ iioiubrx^ d'jiutres, beaucoup plus petites, il est \rai, mais au:^' quelles on ne sjiurjiît se di>|>enser d'axoir égard dans la construoli\^n des Tables luiuire>, Eln les réunissant, avec leur signe, ai»"* Irvis j^>\*T\lentes et à U K>nptude nK>\enne, on obtient la lon^^' i^txt^ t .n.:i>. telle que U dv^nnent les £pkêmêrides,
n. — Looif itttdt moftJUM du mamà «sccBdaïut de U Lune.
Xo*ts AwvBis >u que Ws cMruds Je U Lune n^êtaîcnt pas fixc^ ♦' ^^iU r\^irv>$T)ÉdAHrut sur IVclîpùque Je i^^.^îaSë pur an, de toMmi^rf k tunr W tour eutier Je l eciîpbqpe en dix-liuit ans sep<
iPHélCBEIDBS hV LA LUIfB. l63
mois et demi environ. C'est la longitude de ces nœuds, dont la connaissance est nécessaire pour la solution de certains problèmes concernant la nutation des étoiles et des planètes que la Connaisstmce des Temps fait connaître à la page 4û (*)• Comme le calcul de cette longitude dépend de certains éléments dont la détermination fait plus particulièrement Tobjet du Chapitre V, nous renverrons au paragraphe III de ce Chapitre, où cette question se trouve complètement traitée.
