V. — Demi-diamètre de la Lnne

Le demi-diamètre, tel qu'il est donné dans la Connaissance des Temps, est l'angle sous lequel, du centre de la Terre, on verrait le rayon horizontal de la Lune. L'angle ainsi défini dépend de la distance de la Lune à la Terre, et est lié à la parallaxe horizontal de la Lune par une relation bien facile à déterminer. En effet, si l'on désigne par R le rayon de la Lune, par D son demi-diamètre apparent et par S sa distance à la Terre, on a

R = 8sinD.

Mais, en appelant H la parallaxe horizontale de la Lune et r le rayon terrestre, on a aussi

sinli = Ts*

Par l'élimination de S, on a donc

sinD = — sinH,

on, parce que les arcs H et D sont très petits ( H atteint à peine

l66 DEUXIÈME PARTIE. — GHAPITEI lY.

fii'So" et D n'excède jamais i /),

Le rayon R de la Lune est à peu près les -^ de celui de la c'est-à-dire que Ton a

On peut donc écrire

D = 0,2729511, log- = 3,5i335i.

C'est la relation cherchée entre D et H. On peut voir dans le cléments d'Astronomie comment se calcule l'effet produit par 1 réfraction sur le deoii-diamètre, ainsi que la correction que l'o doit faire subir au demi-diamètre horizontal, pour obtenir celu qui se rapporte à un point quelconque de la surface du globe. existe d'ailleurs des Tables qui permettent d'apprécier facilemen ces sortes de corrections.

Comme application de la formule qui précède, proposon nous de calculer le demi-diamètre de la Lune qui se rapporte air: 27 juin 1877 à 4^, temps \Tai de Paris, sachant que pour celte dal IIr=54'2i^o. On a

log nombre const t~. 9,4^^8^ logH = i,5i335i

d'où

On trouvera à la fin de l'Ouvrage une Table qui dispense di calcul précédent.

VL — Lever et coucher du centre de la Lune.

Les instants de ces phénomènes sont donnés dans la Connaissance des Temps pour tous les jours de Tannée, et sont exprimés en temps moyen civil de Paris. On les obtient par un calcul semblable à celui que nous avons fait, au Chapitre II, pour leSoleil, en

SrHÉMÉRIDBS DE LA LUNE. I67

tenant compte toutefois de la parallaxe, élément que nous avons pu négliger jusqu'ici à cause de sa petitesse, mais auquel il est absolument nécessaire d^avoir égard dans le cas de la Lune, car sa valeur peut atteindre 6i'3o''. En désignant par L la latitude de Paris, par CD la déclinaison du Soleil à Tinstant du phénomène, CD a donc pour calculer Tare semi-diurne D ou le temps que la Lune met à aller de Fhorizon au méridien, et réciproquement.

. « T^ v^sin ( {Ji — Cik)) sin ( [X — L) smlD = ■ i -^ -,

en posant

Za-+-CD-4-L = 2[x et Za = 90**-+- (réfract. — parall.).

IVous prendrons pour la réfraction sa valeur moyenne qui est

égale à 33' 4^'^) ^^ quant à la parallaxe, il faudra employer celle

qui convient à la latitude Ldu lieu, ce qui se fera, comme on Ta

dit page 43 9 en retranchant de la parallaxe horizontale équato-

X'iale, calculée pour Theure vraie du phénomène, la quantité

jp — ap sin^hj que l'on trouve toute calculée pour Paris dans la

Connaissance des Temps, à la page 5 12, quantité qui est donnée

dans les trois hypothèses de l'aplatissement a, et pour les diCTé-

i^ntes valeurs de la parallaxe équatoriale. Soit alors D la valeur de

l'arc semi-diurne ainsi obtenu, et X^ l'ascension droite de la

Lune, on aura pour l'heure sidérale du coucher de cet astre

®^ pour l'heure de son lever

de là il sera facile de conclure l'heure moyenne du phénomène, ^^He que la donne la Connaissance des Temps, heure qu'il faudra ^^rriger ensuite, comme nous l'avons expliqué page gS, par des approximations successives, si l'on veut obtenir un plus grand d^gré de précision.

Vn. — Phases de la Lune.

Lorsqu'on a une Table des longitudes du Soleil et de la Lune pour des intervalles de temps assez rapprochés, de douze heures en

l68 DEUXIÈME PAETIB. — CBAPITBE lY.

douze heures par exemple, il est bien facile de déterminer les instants de ces phénomènes, qui sont ceux où la différence des longitudes du Soleil et de la Lune atteint les valeurs o**, 90°, 180®, 270®. En effet, soit ^ une quelconque de ces valeurs, désignons par ^q et ^ ^ les longitudes du Soleil et de la Lune à l'époque t qui précède immédiatement, dans les Tables, Tinstant t où la différence des longitudes -de ^^ -Co devient égale à J^, et soient d'ailleurs [ji et jji' les mouvements horaires en longitude de ces deux astres. Lorsque t sera devenu t, la différence 41 c — -Co ^""^ augmenté de (jjL — H^')('^ — ^)î ^^ comme à l'instant t cette différence devient égale à 2^, on a

d'où

[1- JX'

On peut prendre pour l'époque t le midi ou le minuit qui précède l'instant cherché t, instant déterminé par la condition ^î — 41o < ^f -Ce — -Co > î" En remplaçant dans cette formule Ç successivement par 0°, 90°, 180" et 270**, on obtiendra les valeurs de T correspondant respectivement à la néoménie, au premier quartier, à la pleine Lune et au dernier quartier.

La valeur de t ainsi déterminée n'est qu'approchée, car elle suppose que, dans l'intervalle t — t, le mouvement lunaire en ascension droite n'a pas varié, ce qui est inexact. Cette approximation est bien suffisante pour la prédiction des phases lunaires telles que les donnent la Connaissance des Temps et le Nantical Aima nac, qui s'en tiennent aux secondes rondes. Cependant, si l'on voulait une plus grande précision, comme cela est nécessaire, par exemple, dans le calcul des éclipses, voici comment on devrai opérer. On calculerait pour l'heure t, fournie par cette premier approximation, les longitudes du Soleil et de la Lune, en tenan^ compte des différences secondes, troisièmes, quatrièmes et cin quièmes. Soient alors 4^^ et 4l'o 'es longitudes du Soleil et de Lune ain?i calculées. S'il arrivait que la différence 4^^ — ^o f' précisément égale à Ç, on en conclurait que l'heure t. pour laque on a déterminé ces longitudes, est bien celle qui convient à la ph proposée, et le calcul ne serait pas susceptible d*une plus gran

iPHBMBRIDES DE LA LUNR. 169

rigueur. Maïs si ^^ — ^'o différait de Ç d'une quantité que nous représenterons par e, alors il faudrait déterminer le temps x capable de produire cet excès e, ce que Ton obtiendrait aisément, en admettant que si, dans une heure de temps , la différence en longitude des deux astres est |x — |x', en x temps elle est e ;

et il en résulterait la correction -, e, que l'on ajouterait à t.

En répétant les mêmes raisonnements et les mêmes calculs, on finirait par tomber sur une valeur de Theure, qui ne diflérerait pas de celle précédemment obtenue, laquelle serait alors l'heure exacte du phénomènci car la différence des longitudes serait précisément égale à la valeur de Ç que l'on aurait choisie.

TIII. — Des lieux lunaires.

Le lieu de la Lune, à un instant donné, s'obtient par un procédé analogue à celui que nous avons suivi lorsqu'il s'est agi du Soleil et des planètes. On suppose à la Lune un mouvement circulaire et uniforme, ce qui donne le mom^ement moyen, et détermine une position approchée de Tastre, que l'on corrige ensuite des inégalités désignées sous le nom adéquation du centre , de variation y d'évection, d'équation annuelle, de variation séculaire et de celles, beaucoup plus faibles, dont nous avons parlé au § I, et que nous comprendrons ici sous le nom de perturbalions. On a donc, pour l'expression de la longitude vraie de la

Lune,

longitude vraie ^ = longitude moyenne

-h équation séculaire -- équation du centre -- variation H- évection -f- équation annuelle perturbations.

Ces différents termes, ainsi que ceux qui conviennent à la latitude et à la parallaxe, se tirent tous des Tables lunaires de Hansen; mais, comme les calculs qui les donnent sont beaucoup trop étendus pour trouver place dans ce paragraphe, nous renverrons le lecteur désireux de les connaître à l'explication qui accompagne ces Tables.

■ 70 DEUXliMB PAETIB. — CBAPITftB IT.

QL — AsceiiAion droite et déclinaisoii de la Liuie.

Les ascensions droites et déclinaisons de la Lune sont donn< actuellement, dans la Connaissance des Temps, pour tous jours de Tannée, et pour chaque heure de temps moyen de Paar-S'a. Les ascensions droites sont toujours croissantes de o* à Sôo*" ^si positives. Quant aux déclinaisons, elles sont boréales ou austral «^^ c'est-à-dire positives ou négatives, selon que la Lune se troi^^vc située au-dessus ou au-dessous de Téquateur. Les ascensions droi sont toujours comptées de Féquinoxe apparent.

Après avoir déduit des longitudes et latitudes, détermina comme nous venons de le dire dans le précédent paragraphe, l'ascension droite et la déclinaison de la Lune pour midi et minuit moyen ou de douze heures en douze heures, on les a oblencies pour chaque heure moyenne du jour par interpolation, en tenaot. compte des différences secondes, troisièmes, quatrièmes, cîoquièmes et sixièmes. Avec les ascensions droites et les déclinaisons de la Lune ainsi calculées, et à Faide des variations pour une nainule que Ton trouve inscrites en regard de chaque heure, rmeii n'est plus facile que d'obtenir Tascension droite et la déclinai^oB pour une heure intermédiaire.

En effet, supposons, par exemple, qu'on demande l'ascensio» droile de la Lune, le 7 janvier 1876 à 6*'3j"a4% temps nioyeri <i* Paris.

En consultant la Connai^anre des Temps àe i8j6, on trou'*'* que rascension droile de la Lune le 7 janvier à 6** est ^^ v<**3t)"*i i',i3 et que sa variation pour une minute à cette niê»»"*^ heure est a', SOog. On a donc

Ascension droile C à 6* 3. 36. 11, H

Accroissement en 35*ji»^- 35, i x j\ Stk»») i.3o,66

Ce calcul n'est qu'appn>ché ; et pour avoir rigoureusement T^^* cension droile, il laut chercher la \ariation par minute qui c*^*"' respoud à rêjK>que intermcdiaire

f>^6M5ri ^^ 35. i

iPHÉVBEIDES DB LA LUNB. 171

on a

Variation pour une minute en 6** 3,5609

Variation ponr une minute en 7** 2,5701

Variation en i** -1-0,0092

La variation pour une minute en 6^ 35™, 4 6St alors

d'où

\scension droite C à 6** 3.36.ii,i3

Variation = 35,4 X 2,5636 i .30,75

Ascension droite C à 6*'35",24 3.37.41,88

Soit encore proposé de trouver la déclinaison de la Lune, le a8 mars 1876, à S** 25™ 35*, temps moyen de Paris. Le 28 mars à 8^, on a pour la déclinaison de la Lune

et pour sa variation en une minute H- 1 2*^, 346 ; on a donc

Déclinaison C À 8^ H-20.47. 7,9

Accroissement en 25" 3 1* = -+- 25™,5o2 x r2',346. -4-5. 14,8

Déclinaison C à 8'*25™3i" -1 20.52.22,7

Pour tenir compte des dilTérences secondes, on a ensuite

Variation pour une minute à S** —12,346

Variation pour une minute à 9** - 12,224

•B- . . 8** -4- 8** 95*" Si*

La variation moyenne correspondante à est donc

ir o/z» /0',I22 25",5o2\ ,

en sorte que

Déclinaison à 8^ -4-20.47. 7»9

Variations = -+- 25™,5o2 x i2",320o -4-5. 14,2

Déclinaison C à 8*'25'"3i" -1-20.52.227Î

17a DEUXiâMB PAETIB. — GBAPITRB IV.

La déclinaison de la Lune est utile pour obtenir la latitude géographique par Tobservation de la hauteur méridienne de cet astre. L'ascension droite peut servir à déterminer la différence de longitude entre deux lieux où Ton a observé un grand nombre de passages de la Lune au méridien, ou bien le passage de la LuDe et de quelques étoiles voisines.