I. — Équation fondamentale

La méthode des distances lunaires étant celle qui est généralement adoptée par les navigateurs pour la détermination des longitudes en mer, la Connaissance des Temps donne ces éléments pour tous les jours de l'année, et de trois heures en trois heures temps moyen de Paris. On les obtient facilement pour les heures intermédiaires au moyen de l'interpolation, comme il est dit aux pages 709 et ^10 de nos Ephémérides. Ces distances représentent les arcs qui >'ont du centre de la Lune au centre du Soleil, des planètes et des étoiles, et sont telles qu'on les verrait du centre de la Lune, s'il n'y avait pas d'atmosphère, c'est-à-dire exemptes de la réfraction et de la parallaxe. Les étoiles qu'on est convenu de faire servir à cette détermination sont: 1° Aldébaran: 2° a Bélier; 3° a Pégase; 4® Antarès ; 5" PoUux ; 6« Régulus ; 7° a Vierge; 8® Altaïr et 9** Fomalhaut. On a eu soin de les choisir parmi les plus brillantes et les plus près de l'écliptique, afin que Inobservation en fût plus facile. Mars, Vénus, Jupiter et Saturne sont les seules planètes employées. Les lettres E (Est), O (Ouest), que l'on voit placées en regard du nom de ces astres, servent à indiquer la position qu'ils occupent dans le ciel par rapport à la Lune. Voici comment s'obtiennent les arcs de distances vraies dont nous parlons.

Soient L' {fig* aS) le centre de la Lune ou son lieu vrai, E' celui d'un autre astre (Soleil, planète ou étoile), et P le pôle de Téquateur ou de l'écliptique, suivant que l'on convient de rapporter la position des astres à l'équateur ou à l'écliptique. Dans le triangle ainsi formé PL'E', on connaît, outre l'angle P, différence des ascensions droites ou des longitudes, les deux côtés adjacents

l8a DBUXlillB PAkTIB. — CHAPITBB TI.

PL'= CD, PE'= (D', qui sont les complémcDts des déclinaisoDs ou des latitudes et que les Tables déterminent. Il est donc bien facile d'en conclure le côté L'E'^ A, ou la distance vraie cherchée. En effet, l'équation fondamentale de la Trigonométrie sphérîque ap-

Fig. aï.

pliquée au triangle PL'E' donne

cosi = cos(D cosdJ' 4- siaCD sio©' coïP, c'est-à-dire

cofi = io*(Ofios(e'(i-(- tangtSungiS'cosr);

et si, pour mettre cette équation sous une forme plus commode

on pose

(i) langif = tanglBcosP,

on obtient

c'est la formule cherchée.

On peut avec son aide calculer les arcs de distances lunaires q~ l'on voit inâcriis aux pages ^85 et suivantes de la Connaissait i^ tles Tfinjtx ('). RolativemeiiL aux arcs qui se rapportent au Solet à la Lune, nous ferons remarquer qn'on ne les trouve da^ les liph^méridfs que pour des valeurs de l'angle P pins granc: que 3 (** cnvii-on et plus petites que i aô" : cela tient à ce que, pe3

(') Ci-« cali-ulx m: tniiivenl iiii peu abrr^rs par l'emploi de» Tables nnitiéric: (*i>Q*truilr!t pur Farlt'y en tS3( p«iir I'ila^i^c du \auticnl almanac. Ces Tat: ini|irjiiii'ra m iH'iti sinn re lilre: .Xntiiral itrsfd tines /rom o* to nJ", » nnt m iilTerten par l'adminislratioa du Naulieal aux diTenes Èphéméridet.

CALCUL DBS DISTANCES LUNAIRBS; l83

dant les trois jours qui précèdent ou qui suivent la néoménicy la Lune n*est pas visible, et que, pendant les troisjours qui précèdent ou qui suivent la pleine Lune, le Soleil se trouve à une trop grande distance de notre satellite pour qu'il soit possible d'en mesurer la distance.

Voici une application des formules (i) et (2) à la déterminalion de la distance vraie des centres du Soleil et de la Lune, le 2 juin 1878, à minuit moyen de Paris. La Connaissance des Temps donne pour cette époque

^c^ = 6»'a5'»46-,68, (0^^ = -i- 26'32'39',o, Xq = {'•43" o%95, (Dq = -i- 22''i6'35',5 ;

P = ,l,^ — <^^0 = i^42"»45«,73 = 25Mi'26'(enarc), CO = 63'»3i7'2i',o, (£)' = 67^3' 24', 5.

Par suite, on a

tangcD 0,3014259 cosOO 9,6501983

cosP 9»95i7963 cos((Ô'— ©).. 9i99700i7

tango 0,2562222 9,6472000

(D' 67.43.24,50 cos^ 9,6855910

? ^'^9'^\^1^ cosA 9,9616090

C'est le nombre donné dans la Connaissance des Temps, à la page 53o.

IL — Réduction des distances apparentes en distances vraies.

Les dislances lunaires, telles qu'on les observe, sont afTectées de la parallaxe et de la réfraction; il faut donc les en dépouiller, pour pouvoir les comparer aux distances vraies que donnent nos Ëphémérides et en conclure la longitude. La méthode que l'on emploie de préférence pour cet objet est celle de Borda. Comme Ce calcul emprunte ses principales données aux Ëphémérides, Qous croyons devoir rappeler ici, en peu de mots, en quoi il consiste.

Soient S, A, h! la distance et les hauteurs apparentes du centre

184 PBUXlàMB PAaTIE. — CHAPITaB VI.

des deux asireà et A, H/H' la distance et les hauteurs vraies de ces astres, c'est-à-dire corrigées de la réfraction et de la parallaxe. 11 s'agit d'obtenir la distance vraie A, d'après la connaissance de la distance observée 8. Or, en considérant le triangle sphériqae formé par le zénith z et les centres apparents des deux astres,

on à

cos8 — s'inh s'inh'

cosz = T} — ;

cos /* cos h

on a semblablement, en considérant les centres vrais de ces astres,

cos A — sinH sinH'

coss = -. ip •

cos H cos H

D'ailleurs,

sinA sinA' = cosAcosA' — cos(A ■+■ A'), sinH sinH' = cosH cosH' — cos(H -+- H'),

ce qui permet d'écrire

coso -T- cos(A -T- A') cosA — cos(H — H')

cos A cos A' ~ cos H cos H' *

ainsi

. cosHcosH' ^ ,, ,,^ /Il ur 1

cosA = j ,,- fcoso — cos(A -4- A ) — cos(H -^ H )].

cosAcosA "^ / X j

Maintenant, on a

coso -T- cos(A -^ A) = 2Cosi(A-i- A'-r- o) cos|(A -^ A' — o), cos ( H -^ H ' » = 2 cos* J ( H -^ ir >— I . cos A = I — '2sin*^ A, en sorle que

. ,,^ . , ti ,.. co^Uh -h' — o»rosl(A-^A' — ojcosUcn^l sin'J A = cos'id! — H » — *- *

co^ A co> A el si, pour abréger, Ton pose

« I ) im = h — A' — 0,

on obtient

sin;-A = cos«}.H~ir)-£!^l!*£!^eosmc^ ^).

cos A cos A ^

On rend celle équation calculable par logarithmes, en prenant

CALCUL DES DISTANCES LUNAIRES. l85

angle f tel que

^ /cosHcosIl' , ^,

1 / ; TT cos m cos (m — 0 )

. . .V cos ^ cos A

^ ' ^ cosJ(H-t-il')

car il vient alors

(3) siniA = cosA(H -h IF)cosç.

C'est sur ces formules que les calculs de Texemple rapporté dans la Connaissance des Temps ont été établis. Les équations (ï} et (a) déterminent les arcs auxiliaires m et cp; l'équation (3) fait connaître A.