IX. — Lignes de simple contact nord et sud

Les întersectîons du cône de pénombre avec la Terre, considérées à différents instants successifs, déterminent, sur la surface du globe, une série d'ovales embrassant une zone, dont les courbes, dites de simple contact au nord et au sud y forment l'enveloppe. Ceci a particulièrement lieu quand /i <C P' — A', c'est-à-dire lorsque toutes les génératrices du cône viennent à rencontrer la Terre. Quand n>V — A' ou lorsque le cône de pénombre ne rencontre pas entièrement la Terre, une seule de ces lignes se trouve tracée sur sa surface; elle est située du côté sud si la différence de déclinaison de la Lune et du Soleil est négative, et du côté nord si cette différence de déclinaison est positive. Dans ce cas, nous avons vu que la courbe des lieux qui voient la phase au lever et au coucher du Soleil avait la forme d'un 8 distordu.

Soient S {fig' 33) la position du Soleil à un instant donné.

L la position de la Lune sur son orbite relative, Z et Z' les zéniths des lieux respectivement situés sur les courbes limites nord et sud, et m, m' les positions apparentes correspondantes de la Lune. Menons les méridiens P m', Pm, PS, PZ, PZ' ainsi que les arcs mr, m!r^j \ahdh\ perpendiculaires à PS, et soient Srf = (j:), Ld= (y)j mh = x, LA =^, Sr= u,mr=^ c, Sm =A', Tjm=^Tjy PmZ = M, mPS = a'. Désignons en outre par D' la déclinaison du point m, par / la latitude du lien Z et par h l'angle horaire ZPS.

%%% TiroiSlÂMB PAETIB. — CHAPITRE II.

Nous allons chercher d^abord la condition qui doit exister e: les coordonnées a et (> du point m et le temps /, pour qu^ ce point puisse être la position apparente de la Lune au moment ^u milieu de Téclipse.

Il faut évidemment, pour cela, que la distance apparente A'' c^es deux centres, pour le lieu Z, soit la plus petite possible ou cqg; ue Ton ait

condition que Ton peut écrire de la manière suivante : . ^ du dv

en remarquant que A'- = u^ -\- if^.

Or, en considérant le triangle sphérique PZm (/ig' 3-3). on a

P/n = 90* — D', PZ = 90*» — /,

mPZ =h'-7!, mL = P'sinZ, X = mL cos M = P' sin Z cos M, y = mL sin M = P' sin Z sin M.

On a de plus

sin m PZ col M — cot PZ sin P /?i — cos P m cos m l*Z,

ou, en vertu de la relalion qui doit exister entre les sinus ^•*'^ angles et les sinus des côtés opposés,

sinZ cos M = cos PZ sin P//i — cosP//i cos//iPZ sin PZ — sin / cos D' — >in D' cos / cos( /i — 2' ).

On aurait de même

sinZ sin M = cos/sini /< — 2').

Ainsi,

ni/i — x - P'[ sin / cosD' — sinD' cos /cos (A — 2 ;|, Ui -y - P[co>/sin^/i - 2'.].

(^omme, d'après la figure.

du ^, . ,dD'

-, = — P sini — 7-cos dt dt

PRÉDICTION DB^ ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. i:i3

on en conclut

!a = Sr = P'[sin/cosD' — sinD'co8/cos(A— a')] — (a?), ç =M = (^) — P'cos/sin(A-a').

Maintenant, si Ton différentie ces valeurs de u et de \^ par rapport à ty et qu^on remarque que l'angle horaire h varie à raison de 1 5® par heure, on aura

--^ — — P'sini'-i-- [sin/sinD' -h cos/cosD' cos(h — a')] -4- Fsini'^i5<>- ^) cos/sin D' sin(yi - a') - î^\

ou bien

Z-t-P'siniYi5'»-^^sinD'sinZ8inM-î^, rfi; ^ f^ ^Psini'/^iS'»- ^VcosZcosD'-sinZsinD'cosM).

Mais les quantités P'sini"-^i P'sini"-^, étant très petites

par rapport à celles P'i5°sin i'^, -^ et -^^> on peut les supprimer et écrire en outre (D au lieu de D', ce qui donne

^ = P'i5°sini'sin(DsinZsinM- 5^, dt dt

^ dv d(v^ ^ = -^ — P'i5"sini'(cosZcos(î) — sinZsinCDcosM); dt dt

par conséquent,

al P'i5®sini'sin(£)sinZ sinM -j~

— -^ P'i5° sini'(cosZ cosOE) — sinZ sindE) cosM ) — o,

ou bien, en remplaçant P'sinZcos M par(j:) -j- w, P'sinZsinM par (y) — i^ et eiTectuant les réductions,

a i5°sini'(j')sin(D ^

[d( V n i5°sini''(x)siuC0-r- . - PViS^sini'cosZro^d) = o

ia4 TBOISIÂMB PAUTIB, — GHAPITBB II.

C'est la condition cherchée entre Uy v, P^ (D et Z. Nous all4 en déduire une relation entre Z et Pinclinaison H qae fait l'orl relative apparente avec le parallèle de déclinaison mené par point S.

On a, d'après ce qu'on a vu au § VIII,

(j') = (D)-CÔ, (j')=acos(D),

équations qui, étant diflférentiées par rapport à ty donnent, en i glîgoant les variations de (£) et de cos(D) et appelant D la déi naison de la Lune au moment de la conjonction \Taief ai son mo vement rolatil* en ascension droite, et D| son mouvement rela en déclinaison.

= 2|COsD.

On a« par suite.

Soient

lA>^ -T : 1 = to,>8ao4WiC05D,

A <in> —

• Ov'»<\

V = to.S8ao4 ^D|,

« B — V ^sin.O

î\\;,r.\i. o> o.:v.:v.i v\^:.^:,i:.:c > i-vni.::î t v.i:o \\ dun*e de IVclip^ l^n Aura

1 Vx; A :v^; - ^^c r^/^>x. ^r- :>:?-- e-lr^r Z et f

Puisque

LSrf= s, LSm = i8o*»— (S-t-i'), LS m' = S -4- *',

on en conclut parle triangle LSm, considéré comme plan,

Lm«= P'*sinîZ = A*-4- A'^ih 2 AA' cos(S -f- i'), d'où

A*-f- A'^ 2AA' (G) sin«Z= ^-^^ - dz ^cos(S-Hr),

le signe supérieur ayant lieu aux limites nord et le signe inférîc*ur aux limites sud. En élevant l'équation (5) au carré et Fajoutai:&t. à celle (6), on obtient

^^^ — su? — ±-p7rcos(s-i-*)+— p^=i.

îomme une petite erreur dans la valeur de Tangle H ne peut pas iï^fl 1.1er d'une manière sensible sur la valeur de Z, on peut consi- (l<Srer l'angle t comme étant égal à celui t', et dès lors on a, pour dë- *^«i*miner l'angle Z (fig. 33),

// = A' cos /, D' = CD q= M,

v' = A'sint, a' = il= ^1 (D) = D -f- (a — a') correct.,

(8^ i cosU' ^ ^

r = (a— a')cos(D), :r = (D) — D',

tangM = *-, sinZ= jr-, rj = sr'Wi»

^ X I* cos M P simM

*^ signe supérieur dans les valeurs de D' et de a' se rapportant *^"5c limites nord, et le signe inférieur aux limites sud.

C>n peut encore obtenir Z et M à l'aide des formules suivantes, P*^s simples que les précédentes, bien qu'un peu moins exactes.

Soient i l'intervalle de temps écoulé depuis le milieu de l'écUpsc S^n^i^le jusqu'au moment considéré et w' l'angle formé par l'arc Lm ^^ 1^ plus courte distance n des centres.

On a

L/nsina>'= n tancio =r /i - cl L m cos oj' = /j ± A'.

^T^^tions qui, en y remplaçant L/n par P'sinZ, peuvent s'écrire

P'sinZsinw'rr n -, P'sinZcosco'= n ±1 A'.

SoocHOS. — Jstr,prat^ i5

On déduit de là

, nt . „ /i±A'

tangto = 31-777» sinZ=ô7 ?>

^ c(/izhA) P coscu

ri, en posant

on obtient

(<i> lanîïai'= ^E, sinZ= ;> M = ( — «) :;i w',

le signe de E et de F étant le même que celui de /t di A'.

Une fois M et Z déterminés, on obtient la longitude / et la latitude h du lieu cherché par la considération du triangle sphéricfue Z//iP(/i>.33), dans lequel Z m = Z, Pm = 90«— D'et PmZ= M. On a, en effet, par ce triangle,

col Z co:» D' = <in D' cos M -\- sin M cot( A — a' >,

d'où

. , cosD' . -^,

tangZcosM tangM Soit

MO' lanirO = tanjrZ C05M,

;ilors on aura

, *inO ,

• II' tanc» /i — a »= r^lanî;M.

On a « n<uilo

vin / = 005 Z >in D — of>5D' 5inZ co>M.

ivlalion tni'on poul ôorirt* sous collo forme

,. -iinZ , >inD Ct^"^M *inZ :an^. ,.^0 0 >>M- -\

■vil vin ^ - 2 <in D >in h - 1

î'",;^! îa!i«Z ...<M uin;: M

t . îvnu.rxîuanl qv.e .: Par la substitution*'^

1.41,:^ ù la pKuc d*- laiu Zoo<M et eu épirxl à la relation « 1 \\ ^ "^

aura donc

(12) lang/ = lang(6-i- D')cos(A — a).

Comme moyen de vérification, on a

sin6 sinZcosM cos(6 -H D') "" cos( A — a')cos/'

formule bien aisée à démontrer.

Les valeurs de Z et de M déterminées par ce qui précède sont suffisamment approchées pour le but qu'on se propose. On pourrait cependant en obtenir de plus exactes en introduisant dans les équations (8), à la place de f, la valeur { de cet angle déterminée par la relation (5), qui devient

. ^ 1 cosZ ,, , ., tangv

(i3) coli = cotv — r— : — , d'ou tangi'-. ^-,

A sinv ° cos2îp

en posant

V^cosZ

sm© = — :^

* 2 À ces V

Dans le cas où Ton voudrait atteindre à toute Texactitude possible, ce qu'il y aurait de plus simple à faire, ce serait évidemment de déterminer, par un premier calcul, la position approchée des lieux et de calculer, pour Tinstant considéré, aetD. La parallaxe P' étant ensuite obtenue au moyen du rayon vecteur (Table IX), et Taugmentation du demi-diamètre de la Lune ayant été déterminée à Taide de la valeur approchée de Z (Table XI). on aurait suivant les cas A'= S'zt: rfou A'= rf — o', et de la résulteraient déjà |K)ur X et V des valeurs plus exactes. On calculerait ensuite Tangle V à l'aide des formules (i3), et alors M et Z seraient fournis par les équations (8) dans lesquelles on remplacerait i par V.

Occupons-nous actuellement de déterminer la position géographique des lieux correspondant aux points extrêmes des courbes de simple contact nord et sud, points qui appartiennent, comme nous l'avons déjà dit, aux courbes du lever et du coucher. Comme à ces points limites on a évidemment Z = 90", il en résulte, équation (6),

P'*= A*-i- A'*=T2AA'C0S(S-: ï).

Soit i'= I, on aura

S -h f = S H- / = to,

A cos(S -f i) — n,

vi par consév]uont

p'i:- A«- A'*±: >.A'/i = A«— /!«-}- (/l±:A')î=A*sin^to-^ (/ii± A'»^. (équation qui, t'tanl divisée par A'^cos^w = /j', donne

jNIaintenaut, si Ton pose, comme au § \ni,

n sin f

f = 36oo X — =- — y

on aura

demi- luréo t — r langco — - v^P*— i /i n A' »*? ou, sous une tonne plus appropriée aux applications.

C05CD = — —. — • ": = c — 5in to» . P n

On dtHluit de là

K|HHjuo do rentrée = lemp^^ du milieu — t. K|HH]uo do \â >ortio = lonip> du milieu - t.

QuanI au\ \aleur> do / et do /i rolatixos aux lieux de renl**^'*' ol do la sorlio, ollo> son^nl dolorminôos do la môme manière rj •'*" jHnir lo< Uou\ qui xoionl lo oomraoncoment et la lin de la pli^**' >ur la lom^: >ouloaionl, on do\ra omplovor ioi ^C> m » au lieu cî<* --*• \in>i, l\>n aura

If.

tîV

î»Pi:''

IXav'^ v^s* qv-i iNTxx-xNio r^ou< i\\>n> supjxvM» i =z i, ce qui ne

rcn

qu'approchés les résultats obtenus de cette manière. Si l'on voulait une plus grande exactitude, il faudrait employer la valeur même de i et prendre la parallaxe P, qui convient à la latitude du lieu obtenue par le premier calcul. Comme Z =90**, on en concldrait, soit par Téquation (i3), soit parcelle (5), que t' = v; avec les époques respectives de Tenlrée et de la sortie obtenues par la première approximation, on procéderait à une nouvelle détermination des quantités (A), (B), Xsinv, Xcosv; on emploierait vau lieu de i dans les équations (8) et le résultat final serait alors fourni parles dernières équations (i4)-

X. — Détermination du point d'intersection des courbes relatives aux lieux qui voient commencer ou finir Téclipse au lever ou au coucher du Soleil.

Lorsque la surface conique ne rencontre pas entièrement la surface de la Terre ou quand /? > P — A', nous avons dit que la courbe-limite des lieux qui voient la phase au lever et au coucher du Soleil avait la figure d'un 8 déformé. Le point d'intersection ou nœud est une position ou la phase donnée apparaît au lever et au coucher du Soleil, soit que cette phase commence au lever du Soleil et finisse au coucher, soit qu'au contraire elle commence au coucher et finisse au lever. Occupons-nous de le déterminer.

Soit Tla demi-durée de l'éclipsé, laquelle commence et finit avec

la phase donnée; t -^ exprimera évidemment l'arc semi-diurne du

Soleil dans l'intervalle de temps t, et, en considérant le triangle sphérique PZS {fig* 33) dans lequel ZS = 90**, ZP = 90° — /, et PS = 90® — (ô, on aura, par l'application du principe fondamental de la Trigonométrie sphérique,

— lang/iangCD = cos ^ t -5- j,

ou bien

— tang/ tangCD = cos(': i 5'),

valeur qu'on peut supposer égale à l'unité, à cause de la petitesse de Tare T. Or, comme dans cette supposition / ^ (ô = 90°, Z --=^ 90", on

/oit que, pour les valeurs de //, *'? "^ > -7; relatives à l'instant du

milieu de réclipse, instant qui arrivera à midi ou à minuit^ pourra prendre sinZ = i et M=:o® ou i8o°. Dès lors, oii av (équations a et 3 du § IX),

du dt

dix) dv d(y) , T^, -« . » . ^ dt dt dt

Appelons jjl le mouvement horaire de la Lune sur son orbite i iative apparente et i' Tinclinaison que fait le plan de cette orl> avec un parallèle de déclinaison mené par le point S; on aura

^ dv .

a cos i = —z-t |x sin * =

ou, d'après ce qui a été établi au § IX,

( |xsinr== D,,

\ acosi"— ai cosD=^(9,4i796)P'siii(D.

Maintenant on a pour la condition de la plus grande phast* pour celle du milieu de Téclipse,

c'est -à-dire

dt dt '

ti "iin i r cosi — o,

I — ur » Tl*'|sin/' (ïMCo-iT o.

On a d'ailleurs, / dési^rnanl rinlervalle de lemps écoulé dep»' '^ la conjonction vraie jusqu'au nionïcnl considéré.

ainsi

Mai:

|i — it V \ <in /' — /(^ r>i <in *"- - i| ro« F) cct«>i' )] - ■ c».

par conséqneni

-. .1^111/. ïiCOSp ( -.- . 1 (O*/,

*>L:r»>inr /

•«in I

PRÉDICTION DES ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. a3l

Posons

cos(t — *;

On aura

k sini'sin i

OU, parce que D| = jjLsin/',

/ = -sini,

c'est-à-dîre, t étant exprimé en secondes de temps, (5) / = (3.55630) -sine.

Quand la différence de déclinaison ô est négative, M= i8o** et c'est le signe inférieur que Ton doit adopter dans la valeur de k. En général, P doit être pris avec le même signe que d.

Comme / diffère peu de 90° ^^ (D, on peut aussi corriger préalablement la parallaxe horizontale en raison de la latitude.

La valeur de t étant ainsi obtenue, on a pour le temps apparent de la conjonction vraie relatif au lieu cherché, temps que nous désignerons par H,

( H = 12'* — /, si d et (0 ont le même signe,

I II ^ o''-- /, si d et (0 sont de signes contraires.

C'est cette heure H qui, comparée à celle de Paris au moment de la conjonction vraie, détermine la longitude du lieu intersection des courbes des levers et des couchers.

Quant à la latitude / du même lieu, elle est déterminée de la manière suivante. On a

i' = {y ) := tii cosD.

On a d'ailleurs

ainsi

■ôhV) -X-cos(t'^ 0,

M>i — A'sinf sini,

aiCosD - : — :— ;

sint

// - k cost'cosi,

• i* - A- sin t'cost.

Soil n! la plus courte dislance apparente des centres et t la demi-

.'jsr*: n* , icapêe. on aura

V n' A'sincosiDr

/l = — :;> COSlO = --7, T= — ,

• . ft&r ^Ce. il viendra

"" langcô

.^11 1 dussiy en employant la valeur ci-dessus de i^,

A'cosi A SI n CD

cosio = — -7— , T — ,

, . cos(ti5')

'» tanff/ = 7: ^^ — — -'.

^ tangCJO

oi f) sont toujours de même nom.

l\>ur que le milieu de Téclipse ait le Soleil à Thorizon, il faut ^uc/t'= A' ou que (0 soit nul. Alors t = cet /= (jo" — (£>. Lorsque o ditrère de zéro, le lieu G {Jig* Sa) ne se trouve pas sur la courbe Jcs lieux vojant le milieu de Véclipse au lester ou au coucher i/u Soleil; il est situé un peu au-dessus ou un peu au-dessous de ccHe ligne et forme, avec la courbe -limite des levers et des couchers, un très petit triangle représenté par aCO.

Nous allons nous proposer d'appliquer les formules qui précèdent

À lu détermination du lieu intersection des courbes du lever et du

coucher, dans Péclipse totale de Soleil du 16 avril i874«

On a

log p 9-99861

iog(n— /?) J. 56396

0 , logsinCt) 9-2i7.{o

' •-?. |.JD log nombre const 9'|i796

' Iog(9.îi796)P'sin(D .. 51.9.2793 -f- :^.i9

m' ^ 0 I '^i logaj 3.285II

JogcosD 9.99435

j .:. 5^[ij'^ logajCOsD 3.J1794O -+-3i.iJ

I»' — ()o.52 log|xcost' 3.3i639 |xcost'=-i- 3î.i^

log|xsini'= logDi ... 2.98330

log tangT <). 66691

logcost' 9-95757

log [X 3 . 35882

PRÉDICTION DES ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. a33

log(— <) — F) 2.33846

Jog cos(i' ^ i) 9 99976

logA: 2.33870

Jogsini 9.65i3i

log nombre consl 3 . 5563o

5T54937 logjx 3.35882

log/ 2. 19049 —

Temps moyen de qt i .26.25

Ëqu. du temps i4

Temps moyen de qt.. .... . 1.26.39 à Paris

Longitude en temps 22.35.56 Est

Longitude Ouest i.2|. 4 = 21° i'

JogX: 2.33870

log cos i 9 «95059