XIII. — Éclipse de Soleil pour on lieu particulier
Soient S et L| {fig* 37) les positions apparentes respectives du Soleil et de la Lune à un instant compris entre le commencement et la fin de T éclipse, et NL|N' un arc de grand cercle tan-
gent au point L| à Torbite relative, arc que nous supposerons se confondre avec cette orbite à Tins tant considéré. Menons sur le cercle de déclinaison PS l'arc de grand cercle perpendiculaire L|(/t et du point S abaissons Tare S/i perpendiculaire sur NV. SoienL en outre,
(D)la déclinaison apparente du point d;
D la déclinaison vraie de la Lune en Li ;
D' sa déclinaison apparente;
s la différence des ascensions droites vraies du Soleil et de la Lune;
2' la différence de leurs ascensions droites apparentes,
et posons
Sd=x, Lid=-.y. SLï = \V,
SL| = S, LL| d = dS n = 1,
S/i = /i, LS=rSL,= y,
LS/i = LjS/i = a>.
Par le triangle sphérique P</L, , rectangle en d, on a
tangvE) ' —
lanïîD
cos ai
ou
tang[i D • — D] =
tan<;D
— langD
lanff*D cos a
lan^Dû — C05I ) cos ai — tang'D *
PBéDICTION DBS ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. a43
OU bien encore, à cause que l'arc a est très petit,
lanff|(D) — D I = r-=r — = sinaDsin*-.
Supposons que a soit exprimé en minutes et (D) — D en secondes de degré ; alors
lang[(D)-D] = [(D)-D]sinI^
s et sin - = - sin i'^ (3o sin i')a,
et par conséquent
(D) — D = (goo'sin l'sin aD)»^ = a correct.
Maintenant, si Ton convient de représenter par Aa et AD les parallaxes d^ascension droite et de déclinaison, dont les expressions rigoureuses ont été données au § II du Chapitre III de la première Partie (éq. 6 bis et •;), et que, dans le cas actuel, on peut réduire à cette forme ( * )
P' cos / sin /i , ^ T^f / • , ^ I . ^
Aa = =r 9 AD = P (sint cosCD — cos/ sin(î) cosA),
il est clair qu^on aura
a — Aa = a', D — AD - D' ;
par suite, on pourra écrire
ir = [D'-f-(a — Aa) correct.] — (D, y — [a — Aa] cosD'.
Soient Xi ely^ les variations horaires des coordonnées x ely\
on aura aussi
ar, = D,-AD„
^1 = (a, — Aai)cosD'.
En différentiant les valeurs ci-dessus de Aa et de AD, on ob-
(■) En écrivant sin P' au lieu de sinP (égal, d'aprOs la notation du Chapitre III, à sinll), mettant (D au lieu de CD', et négligeant A^i*, ce qui donne {h) = A.
liont
TROISlàMB PARTIE. — CHAPITRB II.
</( —p j = / I*' — sini' j cos/sin(S)sin/i.
D'ailleurs P', Aa, AD étant de très petites quantités, il < mis de faire
eo qui donne
sinP'=(i,6856)F
Aa =1 i,3ii4)tangAs,
Ah =^~>,3i4i)tangAD.
Si donc Ton pose
m ^.y i,6856)P'cos/,
n z-.s i,6856»P'-î^^co5A,
«^1 aura
.. oo</
oos A = '» . 3 1 4 i * t
Y ixvi / = î.3i ii *#N,
d> Ax t
diAl?
ri, |Mr >uiu\ les \alours pn'cédenles de -^ — ei do —-=-
i it
: Aï
-r^ *::•. :' . '*î <\n ^^ ^in h.
considéré comme rectiligne donne
puis
langS = -2^, W=-r^ = -^, cotr = -2^; X sinh COSÎ5 X\
Mouvement horaire dans Torbile = -^.;
co>t
n = W cos( S -\- i), cos to = -7 , €^l suivant que
l'éclipsc est partielle, totale ou annulaire. Les triangles LSL|, L| SLo, L| Sn donnent ensuite
LLi = sinfo) -H (S 4- 01»
LïLi= sinfo) — (S-}-i)l>
cosw ^ ^^
L, n = W sin(S -h /).
Si donc ^1, t2y tz représentent les corrections que l'on doit appliquer à rinstant T pris comme origine, pour avoir celui du cointiiencement de la plus grande phase ou de la fin de Téclipse, il est
olair que, en posant
Wcosi ,
c = 36oo ,
yi cosw
«>n aura
/i = csin[ — (S -\- i) — w],
/j= c costo sin[ — (S -ht)]»
/i=csin[ — ( s -\- i) '\- t3i\y
«?t, par suite, il viendra :
Pour l'époque du comraenceraenl T -h f 1
Pour celle de la plus grande phase.. . . T -i- /j Pour celle de la fin T + /j
Pour que les résultats qui précèdent soient suffisamment exacts, il esi^ nécessaire que Tépoque prise pour origine soit voisine du nnilieu de l'éclipsé dans le lieu que Ton considère. Or le moyen le plus simple d'obtenir cette époque est de calculer d'une manière approchée le temps de la conjonction apparente.
Soient h l'angle horaire vrai du Soleil et de la Lune à l'instant
de la coijjoiiction vraie, h' l'angle horaire de ces deux astres au moment de la conjonction apparente, cl t le temps écoulé entre ces deux conjonctions. L'effet de la parallaxe n'ayant ici aucune influence sensible, on peut poser
et aussi
P' cos / . , , ., .
cosD
Alors, l'équation de condition a'= o, qui a lieu à la conjonction apparente, devient
co* / 3ti/ — I*' — ^:: (sin/*cosi5'/) -.- (cosAsin i5'/) = o, fOsD
et, en posant cos i5"= i , sin i^ t = i5^sini% on obtient
sin/t
ai rrT j — 1 5 suit COS/i
F cos l
Nous allons actuellement considérer les positions apparentes de la Lune par rapport au centre du Soleil.
D'après la/i^. 87, il est clair que l'angle L, SP = S est l'angle de position de la Lune au centre du Soleil à l'instant que nous avons choisi pour origine ; de même que l^SL^- w -i- 1 est l'angle de position apparente au temps du commencement, PSL2 —- lo — / l'angle de position au temps de la lin, et PS/i —~ /l'angle de position de la Lune à Tinstant de la plus i^rande phase. En convenant donc de compter tous ces angles du Xord vers YEst, on doit aNoir
Au conuueiiceiiionl S - 1 — i \ - to
A la j)lu> j;raii(lo phase S = \ — /)
A la fin ï^ r 1 — / > . co
Comme ran»;lo PSZ diflère peu de celui PL,Z=— M, on peut supposer que Z -- M ; et alors l'anglr de position du centre do la Lune au zénith, dans la direction deTEst, est représenté par S -^ M. Quant à cet angle .\L il est déterminé par les Tornuiles que nou> a\ons rapportées au Chapitre 111 de la P*" l\irtie, savoir :
SI
nO
lan:;0 - rol/co>/i. lan:; M -- — '—r ^ tan;;/i.
PRÉDICTION DES ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. a47
ZIV. — Calcul des circonstances d'une éclipse de Soleil pour des lieux avoisinant le lieu considéré.
Eu égard aux relations a — Aa = a', D — AD = D', les valeurs Jes coordonnées x, y données au paragraphe qui précède peuvent
s'écrire
( T = [(D -^ a' correct. ) — (D)] — AD,
( y = acosD' — AotcosD';
et en désignant, comme précédemment, par i Tinclinaison de l'orkîle relative apparente sur un parallèle de déclinaison et par n la plus courte distance des centres des deux astres, on a, d'après la
71 = a? cos i — y sin i, /iLj = arsin i-^-y cosi.
Soient L et L2 les positions de la Lune qui répondent aux temps du commencement et de la fin de Téclipse. A ces instants, on a évidemment L/i ou L| n = i:p A'sinw; et, par suite, pour les expressions des distances LL| etL2L,
qi A'sinto — (x sini -i-^ cost j.
Divisant ces expressions par -^.j mouvement horaire dans Tor-
^ ^ cos l
bîte, on en déduit pour les intervalles ^i, ^2 exprimés en unité d'heure, intervalles qui, appliqués au temps adopté T, donnent rinstant t où la phase a lieu,
A'cosi . cost, . .
/, ou tf=ziz sinw (xsini-\- y cosi).
En posant donc •
,. A'cosi -^ .
il) K= x36oo^
on devra avoir pour le temps t exprimé en secondes
( 3 ) f = T zp K sin (*> — -7 (ir sin e -'~y cos 1 ),
co étant déterminé par la relation
(4) COSd) =
__ 71 :r COS i — y sin i
248 TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE il.
Maintenant si, dans les équations (3) et (4); on met à la place de j? et de ^ leurs valeurs ci-dessus (i), puîsqu*on pose, pour abréger,
( D -+- a' correct.) — (D .a cos D' . .
cost -; — sini,
a' correct.) — (D] sin i -h -^ a cos D' cos « ;
AD AacosD' . .
A/? = --7- cos i -7 sin *,
f \g == --1 AD sin i -\- --> Aa cos D' cos 1,
il viendra
(7) cos (*>=/> — A/?, / = TqiKsin(o — (q — Iq),
Les quantités A/> et A^ qui entrent dans ces expressions dépendent de la position du lieu d'observation, et, transformées à Taitlt*
des relations (6 bis et 7) du Chapitre III de la I'* Partie, elles peii-
, , . . cos D'
vent s écrire, en remarquant que — -=- = i ,
P' cos* cos (D sin/ , / P' - - ^ . P' • • - , \
Al?" —, — cos/( -77 cost sin® cosA -h -77 sin 1 sin /i |,
ol \ a a /
P' K sine cos (D sin/ ,/V'K . . . ,^ , P'K . . , . Iq — -7 cosi ( — j- sin t sinCV) cos/i -7- cosi sm/4 ) .
Soient alors H Tanglc horaire vrai de la Lune pour le méridien <!♦'
Paris, )v la longitude du lieu, positive à TEsl et négative à TOuc^l.
<'t posons
P' cosi cosdt)
(8) ' Y'cos(<}/'— H) - -7 cos/ sin (D,
y' sin(<}/' - II ) : —7 sin/.
P'K sin /cos CD
(9) / Y'cos(4'''— H — — -7- sin /sin (D,
[ Y sin(<}/ — H - — 7-COS1,
il en résultera
Ay? = L'sin/ — y' cos/ cos(<j^'-i- h — H)
= L' sin/ — y' 008/008(4^'-^ X), ^q ~ I/sin/ — y'cos/cos(^*'-h h — H)
= L" sin / — y' ços / cos ( <j;' -{- X ),
ely par suite, on aura, pour déterminer le temps t de la phase dans le lieu dont la latitude est / et la longitude \
Secs (*>=/? — L' sin / -4- y' ces / cos( <j^' 4- X ), / = (T — 9) ip K sinto -^ L'sin/ — y'cos/ cos(<;.' -r X).
Cette détermination se fera d'autant plus exactement que ce lieu (/, \) sera plus voisin de celui primilivemMit considéré.
