II. — Appropriation des formules précédentes au calcul
logarithmique.
On rend les formules (i) et (2) calculables par logarithmes en leur faisant subir une transformation qui consiste à poser dans les premières
u) A'sincp = cosCD sinX, Arcoscp = sinCD, d'où tangcp = cotCO sin A., ri dans les secondes
1 •>. » A:coso = sinX, X: sincp = cosX sin^ , d'où tangcp = colÀ sin4^. Par ces substitutions, on obtient en effet
IsinX — A* cos(cp -i- w), sinCO = /•cos(^ -- oj;,
cosÀ sin4^ = k siii(cp -+■ 10), cosCD sinX = k sin(^ — 10 j, cosX cos4^ = k sin© cot-l., cosCO cosX = k cet 4^ sintp,
rt de là on tire
tangX — col(^ -f- 10) sin^^,
, sin(o — (o) ,^
tangX = .* ta"g-C»
tang(î)= col(cp — (D)sinX (*).
Comme vérification du calcul on peut adopter les relations sui-
(') On est conduit aux relations (4) et (5) par des considérations géométriques fort simples. Abaissons du point S, lieu de l'astre, l'arc SI perpendiculaire sur IIPE, et considérons les deux triangles SPn, SPI, triangles dans lesquels nP=-b>, PSrrgo» — cD, nS=9o« — X, SPI = 90'» — X, SOI r= go- — 41- On a d'abord
sinUl tangSPT
sinPl tangSUl
i PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE t,
vantes, qui se déduisent de celles qui précèdent :
(fi)
sin('o--w) cosXsin^^ si no cosCJfe) sin^.i,
cosCÔsinei. cosX sin4^
sin( C5 — (o)
J sim
sinc:>
III. — - Transformation des coordonnées sphériques en coordonnées
rectangles.
Il est souvonl utile, en Asironomie, d'ex primer les coordonnée> sphériques à Taide d'un svslème d'axes rectangulaires dans lequel le centre de la Terre est pris pour ori^^ine des coordonnées, la ligne des équinoxes pour Taxe des x, celle des solstices pour l'axe des^>'
Fifî. ».
et l'axe de Técliplique pour celui des z. Soient alors ( //^'. a) T le centre de la Terre etTX, TY, TZ les trois axes roordonnés donl
r'csl-à-<lire
on u cnsuilr
d'où
•^iii li I roi -i» l.in^ •'
coins rollM rosSllI, <-ol PS - roi PI rosSI'l laii^ A — «ollll sin-{^ , lanj:(i^ r<a PI >iii -V .
Maintcoant, «^i l'on sii|)|K)M' PI 'f, auquel ras III
(i>, nii a
laiiuA' -: - . - taiijî'.V', laiijiA nA ( z : ».»)mii'
^ Mil 9 . / V
Si III - ?, on a PI
(0, et \(*s in<^mcs équations lionnrnt
• *>in ( 3 — o> ) ft -y.
l^nii-X» : — J iiangi*, tangCO. mir-i m » sj» .v
sin 9 ^
DES COORDONNEES ASTRONOMIQUES. 5
nous parlons. S étant un point quelconque de Tespace, abaissons de ce point SP perpendiculaire sur le plan XTY de l'écliptique et PP' perpendiculaire sur TX. Les coordonnées de ce point par rapport aux axes TX, ÏY, TZ seront
X zzz TP', Y . PP', Z -= SP,
et, en appelant L la longitude du point S ou Tangle XÏP et A sa latitude ou Tangle STP, puis faisant TS = R, on aura, par les deux triangles rectangles STP etTPP',
SP=^RsinA, TP = RcosA
et
TP' :-- TP cosL - R cos A cosL,
PP' =. TP sinL = R cos A sinL.
Pour exprimer les coordonnées rectilignes X, Y, Z au moyen de celles sphériques L et A, on aura donc
/ X =: R cos A cosL, (I) l Y == R cos A sinL,
\ Z ~ R sinA.
Tout cela se rapporte au plan de Técliptique. Relativement au
plan de Téqualeur, il faudrait prendre pour axe des x la ligne des
équinoxes, pour axe des 5 la ligne des pôles et pour axe des^ une
perpendiculaire à ces lignes. On serait ainsi conduit à remplacer,
dans les formules (i), L et A respectivement par X et cJD, et Ton
aurait
Xj — R cos (0 cos al,,
il) { ^i = RcoscD sinX,
Zi .-rr R sinCt).
On déduit de ces formules les suivantes, qui permettent d'opérer la transformation de L et A en X, Y, Z ou celle de Jlo et (D en X|,
R* = X» ^ Y2 -f^ Z*, Rf = Xf -I- Yf -f^ Zf ,
; langL = ;^, langX=^,
sinA=— ^ sinCJt) =:
v/X* -i- Yî -f- Z* y/X] -f- Yf-f- Zf
PREMlàRB PARTIE. — CHAPITRE I.
IV. — Coordonnées héliocentriques. — Passage des coordonnées héliocentriques aux coordonnées géocentriques, et inversement.
Soient {fi g' 3)
T le cenire de la Terre ; S celui du Soleil;
A le lieu d'un astre rapporté au centre de la Terre, à l'aide de sr** coordonnées géocentriques L et \.
On peut supposer mené par le centre du Soleil le plan de Técliptique et rapporter la position de Taslre A à ce plan et à son intersection avec la sphère céleste. Les coordonnées qui en résultenl
portent le nom de coordonnées héliocentriques et sont représentées par la longitude r et par la latitude s. Or, le problème que Ton a à résoudre dans le calcul des éphémérides consiste précisément à déterminer L et \ lorsque v et s sont donnés; voici comment on V arrive.
Par le centre T de la Tcîrre concevons trois axes rcctanj»ulaires TX, T\, TZ, menés respectivement suivant la ligne <l«'s équinoxes, celle des solstices et Taxe de Técliplique, et par \v centre S du Soleil soient pareillement trois axes rectangulaires SX', S\', SZ' menés parallèlement aux premiers; il est clair qu'on aura
/ \ n rosLo»
(!► \ Y - H sinLo,
Z R sinXQ,
DES COORDONNEES ASTRONOMIQUES. 7
Lo représentant la longitude du Soleil ou Tangle STX, et Iq ^«* latitude.
Cela posé, abaissons du lieu A de Tastre AA! perpendiculaire sur le plan de Técliptique XTY, et A'P' perpendiculaire sur TX. En observant que
A'TX = L, ATA'=X, A'SX' = i^, ASA'=5,
et posant TzV == A et SA = /•, on aura, pour les coordonnées j?, K, 5 de A par rapport aux axes TX, T Y, TZ,
f X :^ AcosX cosF^,
(2) / ^ ~ A cosX sin L,
( -S ~ A sinX,
el, pour les coordonnées j*', y, z' du même astre relativement à
SX', S y, sz',
/ x' = rcoss cosv,
(3) ^ y = rcoss sinv,
[ z' — r sin 5.
On a d'ailleurs
ainsi
IA cosX cosL = rcos^cosi' i-RcosLq, A cosX sinL = rcoss sint^-i- U siûLq, A sinX - r sin5 -f- R sIdXq,
formules au moyen desquelles il sera aisé d^obtenir L, X et A lorsque /*, i^ eis seront donnés, ou inversement.
