I. — Équation différentielle de la réfraction

On peut regarder l'atmosphère comme composée d'une série do coucheti concentriques, homogènes, d'une épaisseur inlinimeiil petite, dont la densité et par sniie le pouvoir réfringenl vont en augmentant progressivement, depuis la couche la plus éloignée jusqu'à celle c|ui touche le sol. Il en résulte que, lorsqu'un rayon lumineux AR {fig. 4) vient à la traverser, ce rayon, en passant

d'une couche à l'autre, petites RQ, QP, PN, .

normales TR, TQ, TP, Q, P, ... aux différents couru par ce rayon

subit une série de déviations infiniment . . qui le rapprochent successivement des . .. menées par les points de contact R. milieux de séparation, et le chemin part à travers l'atmosphère est représenté

par le polygone infinitésimal RQP. . . , lequel, à la limite, se con-

l'A PREMIERE PARTIR. — CHAPITRE II.

fond avec la courbe RQP. . . qui Tenveloppe. La réfraction astronomique est alors Tangle formé par le dernier côlc MN du polygone infinitésimal avec la direction rectiligne AR que décrit le rayon lumineux avant d'arriver à l'atmosphère, ou, si Ton veut, c'est l'angle que forme la tangente à la trajectoire lumineuse en M avec cette même direction.

Nous allons, en supposant la Terre sphérique et considérant l'atmosphère comme composée de couches concentriques et homogènes, chercher l'expression de la déviation infiniment petite subie par le rayon AR ou l'équation différentielle de la trajectoire lumineuse.

Soient T le centre de la Terre et V, X, Y, Z les différentes couches qui composent l'atmosphère. Considérons deux quelconques de ces couches, celles Y, X par exemple, dont nous représenterons les densités par p et p|. Désignons en outre par i et il les angles d'incidence aux points P et N , par/ et fi les angles de réfraction correspondants, par n Tindice de réfraction de la première couche, et par /i| celui de la seconde couche; on aura

sini n sin/ "~ Ni'

et comme, en représentant par P le pouvoir réfringent de Tatmos[)hère,

n = \/i i l*p, , ni = ^i -+- l*p,

il viendra

sin / v^i I l*pi

On a d'ailleurs, en désignant par r et r^ les distances des points P et N au centre T de la Terre,

sin/ /',

sin/ Ti /i - l*p, sin/, ^ ^/ \ j |»p *

ini/' l*p = Ti sini'i /i-: Pp,.

en sorte que

par conséquent,

rsin

CALCUL DE LA RÉFRACTION ASTRONOMIQUE. l3

Ainsi, le produit rsiney/i -j- Pp reste constant quand on passe d'une couche à la suivante. Il en résulte que, si Ton désigne par r^ le rayon de la Terre, par p© la densité de la couche d'air qui touche le sol et par :; = ZMM la distance zénitUale apparente de Tétoile,

on aura, pour déterminer r sin/y/i -j- Pp, l'équation

Biot, par des expériences répétées, a trouvé

Supposons maintenant que la densité de Tatmosphère croisse par degrés insensibles, ce qui revient à considérer chaque couche comme inCniment mince et à remplacer le polygone RQPN... par la courbe qui l'enveloppe. En désignant par d^ l'angle -infiniment petit qui mesure la réfraction au point P, par JO l'angle PTN et enfin par di l'angle i — /|, on aura

^/; = t — TlVN ou, parce que TPN := /| — r/0,

Cela posé, rapportons la courbe RQP... à des coordonnées polaires r et 9, en prenant TZ pour l'axe polaire; on aura évidemment

d'où

r et la formule (i) deviendra

(3) iIi; = di-\ ^dr=

/* cos i r (OS i

Mais de Téquation (a) on tire

. . rosin;5 /i -^ Ppo rsini= 7 . — ^—

v/lH-Pp

l{ PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.

/• COS l = —

'•|/(i-^Pp) — 7f^i-^-Ppo)8in«^

on a d'ailleurs

,, . . IVn sinr ♦/i-i Von , a(/sini) = dp.

Donc enfin

P -^siii j /i -^ I*po

u(i-i- l*p) 4/1-4- Pp — —d-l- Ppo)5in*j

C'est Téqualion différentielle de la réfraclion. En Tintégranl entre les limites p = p© et p = o, on obtiendrait la valeur de la réfraction ou l'angle AMN, si la loi suivant laquelle la densité de Tair décroît avec la hauteur nous était connue. Cette loi étant inconnue, on est obligé d^avoir recours aux approximations. Laplace considère, dans ce cas, les deux limites de celte loi, qui sont une densité constante et une densité décroissante en progression géométrique quand la hauteur au-dessus du sol croît en progression arithmétique, ce qui suppose, comme nous le verrons bientôt, une température uniforme dans toute l'étendue de Tatmosphère. En ne considérant que ce dernier cas, soit

/•o Ppo

r v.( I -i- Ppo)

po(i — -Xi)

Téquation précédente (4) deviendra

-- - (\ — s ) ^\ï\ z —-^ -CIZ

V "*" Po i-ia/V '

i[ i-\- 1 / 1-4- -^^ sin« z

Po I — 2 a 1 — 22

— asM — -^ jl/cos*^ — 2an ~ i- j .+- (25 -- *«) sin'«

CALCL-L DE LA RÉFRACTION ASTRONOMIQIE. ]5

el, en développant le radical en série, on aura

^(i- 5)tan^5 II i-î a— V- [s- —)ians^z\

0 ' L cos*5 V 1 / J

-il a [s — ) lang»;: 1

bien, en négligeant les produits de trois dimensions de a et de s.

d\ - - a - - tang^

s / p ' 7. ros* 5 -+- I I

cos'^ ■ \ po/ cos»^ J

En intégrant cette expression depuis p =^ p© jusqu'à p =^ o, c'eslà-dire depuis la surface de la Terre jusqu'à la limite supérieure de latmosphére, et remarquant qu'à cetle dernière limite .ç=:o, on obtient

° L 2 tOS»^ COS*5,/ Po I

Occupons-nous de déterminer l'intégrale / — - qui figure au second membre de cette formule. On a

/srfo sp r ds "pô" ~ po J ^ Po

et, en prenant les intégrales entre les limites précitées,

car à la limite p=:o, 5 = i ou r = oo. Ainsi, il s'agit d'obtenir / ^ — • Or, si l'on désigne par p la pression de l'air au point où g

est la gravité, on aura, la pression diminuant à mesure que la hauteur augmente,

dp = —gpdr=—g--pds (ï).

(') Car la variation que subit/? lorsqu'on s'élève de la couche de rayon r k celle de rayoo r-^dr est évidemment égale au produit de la petite colonne d'air pdr par

l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.

D'ailleurs, gQ étant la pesanteur à la surface de la Terre, on a

on a donc

(5) jf ^ —fi^oroSpds.

Ainsi, rintégrale/prf^est égale à la pression entière/?© à la surface de la Terre, divisée par ^o^o« Cherchons la valeur de cette pression/?© en fonction de la hauteur / de l'atmosphère, dans Thvpothèse d'une température uniforme.

On a, p étant la pression de Tair qui correspond à la densité s et /?o celle qui répond à po,

— = — , Il ou n--j)Q±-, Po po ?o

et, d'après ce qui précède.

ainsi

Par l'intégration, on obtient

lo-p ^ -^ -(..

C étant une constante que nous déterminerons par la condition ce qui donne

et par suite

C = luj,'pu

sa gravilé ^, produit qui doil Aire affecté du signe —, puisque p diminue à mesure que r augmente. On lui donne la seconde forme indiquée dans le texte, en remarquant que l'on a

— — i — s. d ou - - ^ -^ .

r lit- r*

Nous aurons donc

1 /ToPo^o //'o \ ,

et. en passant aux nombres,

r esl ici la base des logarithmes népériens.

Si Ton remarque que, / élant la hauteur d'une colonne d'air de densité p et qui, animée de la pesanteur g^ fait équilibre à/^o, on a

il viendra, pour déterminer p,

(8' p = Po6'

équation qui montre que, dans le cas d'une température uniforme, la densité décroît en progression géométrique quand la hauteur iTOÎt en progression arithmétique, ce qui est le résultat que nous avons énoncé plus haut.

Maintenant, on déduit des équations (5) et (7)

' Po

<'l, par suite, l'équation (a) devient ,

(10) ; — a lanjç^

cos^*^

, ^ a i-f-5icos*5 / Idiïïaz

(II) c = alanff-5H — lang^ — a ; —

Celte formule ne suppose nullement, comme on voit, qu'on ait connaissance de la loi suivant laquelle varie la densité de l'atmosphère, ce qui la rend très précieuse; elle ne dépend simplement f|ue de Po et de /, qui sont donnés par les observations barométriques et thermométriques dans le lieu oti l'on observe. Laplace s'est assuré qu'elle ne cesse pas d'être exacte pour des distances /'énithales apparentes plus petites que 74"'

S0CCU0.X. — Astr. prat. 2

l8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 11.

En remplaçant dans cette expression cos^z par ,— > on peut

lui donner la forme suivante :

Pour les applications, il convient d'écrire (|3) Ç- . -;^(i -Ta -ilanj;;; -—A - -)lang'5.