III. — Cas des réfractions voisines de rhorizon

L'expression (i4); ^^^^ commode pour les applications, ne convient nullement aux réfractions voisines de Thorizon. Mais, pour ce cas particulier, il existe une formule très simple duc à Laplace et que nous allons faire connaître.

On a, par le § f ,

dp .

a — i- (i - - 5)sin^

\ po/V \ 9J

et, comme 5 et a sont de très petites fractions, on peut d'abord négliger s devant i et 25 cos-^^ devant cos^;3; on peut, de plus, remplacer le facteur i — 2a(i — -^j par la moyenne arithmétique de

ses deux valeurs extrêmes i et i — 2 a, c'est-à-dire par i — a, ce qui réduit l'équation précédente à la suivante

(i — a)l/ cos'-3 — 2a( I -\-^is

V \ Po/

Soient maintenant

(i) * — «n — ^j = « et p = po(i-^yj<5

ao PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 11.

feif étant deux constantes indéterminées; il en résultera

du l . fu\ -Y. '

(i — a)vcos*5^ '>,u

et, si Ton pose encore

COS*^ -+- 2tt = 2/'/*,

on aura

expression dont Tintégralc, prise depuis / == ^^Jl jusqu'à / = ^^ , est

Nous supposons ici

Dans le cas de la réfraction horixonlale, on a cosz = o, sin« = I, sin2C r= o et

Donc, dans ce cas,

Déterminons actuellement Texpression de p dans le cas qui nous occupe. On a, par ce qui précède,

et, en substituant pour s et p leurs valeurs (1), puis divisant les deux membres de Téquation résultante par/?o = ^oPo'> on trouve

^ - [\ ^ -. u\c J du ta ;. d^ ;

(*) Voyez pour la détermination de cette intégrale les Ouvrages qui trailcnl du Calcul intégral.

<Ie là résulte

/'o i \ / / -^ l ^ i Pi

Si Ton observe qu'à la surface de la Terre p =/>o> p = Po et u = Oy on réduira cette équation à celle-ci

et, si Ton tire de cette dernière la valeur de/ pour la porter dans celle(4)y on obtiendra

Maintenant, si Ton fait avec Laplace

Ç = 0,01021018, a — 0,000293876, ro = 6366 igS", / - 797r,

puis qu'on substitue ces valeurs dans Téquation (a), qui est du troisième degré et appartient au cas irréductible, on aura

/:^^0,i90'jl67.

Introduisant ces constantes dans les équations (2) et (3), on aura enfin

xsin^— =e''' I e-''t//-4-ioo2i',343 sin2^,

OÙ /'= 25,961924 cos^ ( * ).

Si Ton voulait adopter pour / la valeur 7993,10 telle qu'elle résulte des recherches de Regnault sur le rapport des densités de l'air et du mercure, il faudrait prendre

(*) K z = 60% la formule (1^1) du § II s'accorde avec la formule (6), À moins de o',oo5. C'est donc à partir de cette limite qu'il convient d'appliquer la formule (6).'

aa

Cl l'on aurait alors

xsinz—:€''* I e-'V/-f-988o',9iasinax,

avec /'= 25,89021 cos^c. Mais les réfractions ainsi calculées ne différeraient pas sensiblement de celles obtenues par la formule (6), comme on peut le reconnaître en consultant le Tableau suivant :