IV. — Natation solaire et lunaire en ascension droite

et en déclinaison.

En n'ayant éga'd qu'aux termes en ^, c'est-à-dire en posant

Aw = 9',223i cosQ, (i) \

A^= — if,^\o5 sinQ,

(') Voici du reste une démonstration directe de ces formules, fondée sur des considérations purement géométriques.

En conservant les mêmes dénominations que dans le texte, on a, par les principes <te la Trigonométrie sphérique,

(i) sin(Ô = sinw cosX sin4^H^ cosci) sinX,

, , . tancX sinco + sin-f cos(i> ( :i ) Ung Jlo = ^ — ^^=

Considérons d'abord la première de ces équations. L'effet de la nutation, nous l'avons dit, est de produire une petite augmentation dans la longitude de chaque étoile et de faire varier un peu l'obliquité &> de Técliptique. Comme ces variations sont supposées fort petites, nous pourrons les calculer séparément et les ajouter ensemble. Supposons donc, en premier lieu, que l'obliquité u ne change pas, et appelons 4^ ce que devient -Ç^ par l'effet de la nutation; soit, d'ailleurs, CD' la nouvelle valeur de (Q qui en résulte : nous aurons

sinCD' - sinco cosX sin-Ç' -f- cosw sinX,

équation cpii, étant combinée avec celle (i), donne

sinCD' — sinCD - sinu) cosX(sin4^ — sin.(^) ou

sini((D'-(D)cosi((D'-4-(E))^sino)CosX[sinK^'-Ocos|(-C-^4L)J-

U différence des longitudes, ou 41'— -Ci est ce que nous avons appelé la nutation en longitude et désigné par A.^; (D'— (Jd est la nutation en déclinaison, que nous avons représentée par d(Q ; ainsi

sm cos

( (le) 4- — ;— j — sinu) cosAsm — ^ cos (4^ H — ^^y

Gomme les arcs cfdd et A-Ç^ sont très petits, on peut substituer le rapport de ces arcs i celui de leurs sinus, et, en se bornant aux premières puissances de ces variations,

ce qui est bien suffisant lorsqu^on s'en tient aux centièmes de seconde, on obtient, pour la nutation lunaire en ascension droite et en déclinaison, (o ayant toujours la valeur que nous lui avons supposée,

Idf^he = — 9',223i cosiA9 tangCDcosQ — (i5',8i48-+-6%865osinXtang(D)sinQ.

diO =-+- 9', 223i sin«^co8Q — 6', 865o cos ..li sinQ.

Quant à la nutation solaire, qui dépend de la longitude du Soleil O, elle est déterminée en prenant simplement

( Aw = o',55o9COS2G' ( A4^= — i', 2692 sin2 0.

on aura

^ A^ sinto rosX cos^

Cette expression de dOd se simplifie encore par la considération du triangle spbé-

riquePnS {/ig. i), dans lequel nPS = 9o»-+- *l> et PUS = go»— 41- On en déduit en effet,

sin^PS sinPnS cos(D cos^l

sinHS ~ sinHPS cosX ~~ coS(A>

valeur qui, substituée dans l'expression de <f(D, donne

( a ) r/(ife) — A-Ç^ sin (0 cosa^i .

Occupons-nous actuellement de déterminer dfX» ou la nutation en ascension «Iroite, et pour cela considérons la seconde des formules (i), savoir

, tanpX sinw -I- sinX* rosw

langA> — ^^ ,

cos-^^

^ représentant toujours ce que devient 4il par l'effet de la nutation; on aura, en appelant « V la valeur de Jio correspondant à celle de 41' 1

tanp^V ^ -r—^ ,

cos-^

et par conséquent, en retranchant ces deux équations Tune de l'autre,

tangelo'— tang«Ao =1 — langX sin w(cos41 ros^^') cosa)sin(41' 4^).

c'est-à-dire, en mettant pour cos41 — cos4^ sa valeur trigonométriquc.

sin( A^- X) ^ atangX sinui sin î(4;' -4- 4.' ) sini(41' - < > -f- sinf^'- < ) c^^^ ^ ros Ji, cos tK» V* »s -\[^ rt »s 4^'

A.' — I.V. est la nutation en (Ascension droite que nous avons repn*scutée |>ar d- ^

bÊI»LACEMENT DES PLANS DE l'ÉQUATEUR ET DE l'eCLIPTIQUE. 5y

d'où résulte

idtX> = — o', 5509 cosal) langCD cosa© — (I',l6^2-!-o^5o54 sinAitang(D)sîn20'

\ ûftjt) = -h o', 55o9sin6^ cossiO ~" o'>5o54 cosX sina©.

Celle nulation esl très faible, et ce n'est que lorsqu'on veut obtenir une très grande précision qu'il esl nécessaire d'y avoir égard.

et, comme elle est extrêmement petite^ ainsi que 41'— -C> ^^ peut se borner aux. premières puissances de ces quantités et, par suite, substituer aux rapports des sinus celui des arcs; si, de plus, on pose ^1,= -C!» "-^ ~ *^^'» ^" Siura

- A^ cos'fl1>( — taneX sinco sin41+ cosu)) rf.V = —

cos'4^ ou, en mettant pour cos41 sa valeur ci-dessus,

- ^-C^ — *'"^ cosX sinw sin-Ç ■+■ ros'X cosco) a&%* = — •

cosHO

Mais, d'après la première des équations (i),

sino) cosX sin^= sin(Ô — cosw sinX; clone

,. A-Ç f— sinX sinCD -+- cosw) dtAt* = — ^ •

Maintenant, si pour éliminer X on remplace sinX par sa valeur

cos (i> sin (D — sin ci> cos (D sin JI0,

^^duite du triangle sphérique II PS, on aura enfin

, . A-Ç^ \ — sinCD(cosco sin(£) — sinco cosCO sinai>) -h cosco |

cos* Oc)

__ A-Ç (— cosw sin'CO + sinw sinCD cos® sin Jlo + cosco)

"" cos'Ub)

P fcoscod — sin'CÏ)) /T^ • I 1

= à-C ; h sin co lanc Ck) sm bAt) |

^1 cos'O) ^ J

'^) rfX = A-Ç( cosco + sinco tangCD sin ft'^).

J^ans ce qui précède, nous avons admis que Tobliquité co restait constante

^>"sque «Ç^ venait à varier par Teffet de la nutation. Nous allons maintenant faire

^ supposition inverse, c'est-à-dire regarder -^ comme constant lorsque co varie,

^^ chercher, dans ce cas, quelles sont les variations qui en résultent pour X et (£).

(Reprenons les formules (i), lesquelles, en posant

/N sin4;'

58 PREMlàRE PARTIE. — CHAPITRE V.

On rend les formules (2) calculables par logarithmes en les écrivant de cette manière,

dfXi = -- 9',2a3i coS(A> tangcD cosQ

r (i5%8i48-^6%865osinJlotanff(î))l . ^

X I I H 7:^^ I smk^,

L cos»^l«tang(Jt)cosQ J ^'

.- . • o • • r% r 6%865ocosal,sinQl rftD = -h 9 ,223i sinX cosy I / — , — -. — r ^ ,

peuvent s'écrire

sinCD — sinX cos (8 — w),

suit)

Si l'on suppose que ci» se change en &> + Aco par l'effet de la natation, 4^ et X restant les mêmes, l'angle 0 ne variera pas, mais X et (D se changeront respectivement en «A>' et (Q'f et, en ne considérant que la valeur de sin(D, on aura

. ,rv, sinX cos(6 - o> — Ad))

sm (W = ^ ;

coso '

cette valeur, combinée avec celle de sinCD, donne

. . sinX[cos(e — w - Aco) cos(e — «)] smCD -smCÔ = ^^^

. . sinAb) . A Aw\ sin A sm f 0 — fa> I

sini((D'-(©)cosi((£)'-+-(D)= ^ ^,

» ur. .A ..A A l((C)' -(©)., , ^ sin{((D'-(D)

et, substituant dans cette dernière r à la place de — ^ » puis

Au) '^ sin Ato '^

posant (D = CÔ', Au = çX>' et Ad» = o, on obtient

((©'— (D) ^ A<^sinXsin(e — <«))

cosOb) cos 6 c'est-à-dire

rû'— rD — ^*^ tang«l> sinX lang6

cosCJ^ tang^^

sin (8 - w) ayant été remplacé par sa valeur ^"8*^^^'"^.

lang^ Si l'on observe maintenant que

sinX tangO - sin -^^ cos X, on aura

(®' (0) = ^!?i?."8^co«Xcos4L,

cosCQ

DÉPLACEMENT DES PLANS DE L ÉCLIPTIQUE ET DE L EQUATEUR. Sc)

car, si Ton pose

1 5% 8 1 48 -^ 6', 865o sin X tan« (î)

col 9 = — - — ^ — -î : — =—

^ 9 , a2ii coseio tangcO

pour la première et

, 6', 865ocot.l.

colo = -

pour la seconde, on obtient

[ d.\o = — ^ ^^— sin(?p -4- Q),

1 sino XI ««

(»TN q', 223 1 sin «vl> . ,^^ ,.

SlIKp *

formules auxquelles le calcul logarithmique s'applique immédiatement.

Pour les applications, il faut toujours faire en sorte que les coefficients qui multiplient sin(cp -h Q) et sin(Q — cp') dans les valeurs de d»^ et dO^ soient positifs. Or, c'est à quoi il est aisé de parvenir en ajoutant aux arcs (ç -h Q ) et ( SJ — cp') une demi-

et comme dans le triangle sphériquc II PS on a

COSX COs4L= COSo,V) cos(0, il viendra

(a') (CD'— (JE)) = AwsinX.

Relativement à la variation ckK> de l'aseension droite, on a

I ' tang^ sin (6 — fa) — lu»)

tans^v^ = ^î : »

" sinv

d'où

j, ^ . tangX sin(0 — fa> — Au)) — sin (6 — fa*) tang^i»'— tang<vV> — — ^ . ^ ^ -,

et, par suite,

2 tangX cosft^l) cos<vV.' sin — cos(6 — fa) |

iin(X--X) = - . -— î ^^ î-^.

smt)

Par les mêmes raisons que précédemment, on peut écrire

., I ,j Afa) tang-C cos"«v\) ros(6 — fa*)

sinV '

mais

.- . sin(Dcos6

cos(6 — fa)) = : — r — :

sinX

6o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

circonférence ou i8o®; ainsi Ton a

-. 9*, 223i cos«l>tang(^ • / « « r\

sino '

I d(S> = ^-^ — ^ — -, sin(i8o«— o'-+-Q).

'^ et cp' sont ici supposés positifs; mais, s'ils étaient négatifs, il suffirait évidemment, pour conserver le signe positif à ces formules, d'ajouter aux arcs Ç -h JJ et Q — cp' une circonférence entière ou 36o°.

Les formules (4) sont susceptibles d'une transformation analogue à la précédente. Observons toutefois que l'on peut se dispenser d'y avoir recours, en remarquant que ces équations, dont la forme est la même que celle des équations (2), ont des coefScients qui sont à peu près les o, oy5 des premiers, en sorte qu'il suffit de multiplier par ce nombre les valeurs de la nutation lunaire en ascension et en déclinaison,, pour avoir immédiatement celles qui se rapportent à la nutation solaire.

ainsi

On a d'ailleurs en sorte que

,- Ato cos'Jt» sin(D tanc-l

aeV = : — r : ^ •

sin A tangU

sinX tangO = sin^cosX,

. . A(i> cos'JloSinCd

Mais

par conséquent,

{b') d'Xj — — Au) costJio tangCQ.

En réunissant maintenant les variations (a) et (a'), (b) et {b') que nous venons de considérer séparément, on aura, pour l'expression des variations complètes dX et dG^ qu'éprouvent les coordonnées X et (£) par Teffet de la nutation, c'est-à-dire lorsque u et 4^ varient simultanément,

dX = A4^(cos(i> -f- sinci) sin<A} tangCD) — Au) cos Ai tangCD, rfOO = A^sinco cos6V> + Au) sinci>,

formules qui sont bien celles données dans le texte.

CALCUL DE LABERRATION.