I. — Aberration des étoiles en ascension droite
et en déclinaison.
On sait que la lumière nous vient du Soleil en 497*^78, temps pendant lequel la Terre décrit, parallèlement à la direction de son mouvement, un petit arc dont la valeur, récemment déterminée par Struve, est de 20'', 44^1 (*)• ^^ ^" résulte que, lorsqu'un astre
^si observé en A (Jig- 1 1), cet astre, au lieu d'être perçu suivant '^ direction AT, Test réellement en AT', c'est-à-dire suivant la diagonale du parallélogramme formé par le côté AT et l'arc TT' que
(') StruvEt Sur le coefficient constant de l'aberration. Elle a été déduite par ^"^ grand astronome de Tobservation des lieux apparents d'un grand nombre d'é- *^*>iles. Voici un Tableau des valeurs de cette constante, qui ont été proposées à *iifférenlcs époques :
Delambre (par l'observation des satellites de 2^) . 20, 253
Bessel 20,000
De Lindenau . 20,610
Brinckley 20,870
Bailly 2o,36o
^ rftESICBE rASTlC — CHâriTSC T.
dédît la Terre en 497*- 78. L*ai^|e ATA\ OMBpris entre les cdtés TA et TA*, est ce qu'on nomme VoMçlr d'aberraiion, et Ton appelle consiant^c de V aberration ParcTT^ 2o'',443>9 parcouru par la Teire en 8" 18*. Le monrement de la Terre autour de son axe produit aussi une aberration sc^ilable à la précédente et que Ton appelle aberraiion diurne : mais, comme le mouTement de rotation de la Terre n*est que le ^ eniiroo de son mouTement de translation. Teflet de cette aberration n'excède pas 0% 32 pour des lieux situés sur Féquateur. où cet effet est le |Jns sensible, et par suite on peut, dans la plupart des cas. se dispenser dV avoir ^ard.
Soit p le rajon recteur de la Terre, que nous supposerons être aussi celui de la ^>lière céleste sur laquelle on projette les astres. Admettons <|ne la ritesse de la lumière soit représentée par ce rnon Tecteur, et soit ds Tare que décrit la Terre en 497*1789 en
sorte que — = 2o^.44^t-
En concerant le lieu de Fastre rapporté à trois coordonnées rectangulaires X. %'» z avant leur origine au centre de la Terre et dirigées. Taxe des x positifs vers Téquinoxe du printemps. Taxe des^t' positifs vers le solstice d*été et Taxe des z vers le pùle de Técliptique. on aura. «V et lid déâpiant les angles que forment respecti- Tcment la distance de Tastre à la Terre, et 5a projection avec le plan xy de Féquateur 1 c'est-à-dire Tascension droite et la déclinaison de rétotle'. on aura. di$OD5HDOu>.
r = p sia A o»J&.
d'où
et par suite
Soient maintenant ^^^. 12)
tTT^ Torbile de la Terre supposée circulaire :
T la position que cet a^tre occupe 5ur celte orbite
tR réqualeur:
CALCUL DE LABERRATION.
TP une taDgente à tTT'; ST' une parallèle à cette tangente;
X, Y, Z troîs axes rectangulaires menés par le centre du Soleil et parallèles à ceux x^y^ z.
On aura, pour les cosinus des angles a, 6, y que forme avec les axes des X, Y, Z ou des x^y^ z\di tangente à la courbe ou l'arc dsy
dx p dy dz
C0Sa=-7-> COSD = -f-> COSY=-y-,
ds
ds
ds
et par suite, pour la valeur ci-dessus de rfX,
ds dtX^ = — (cos6 — cosa tang Jlo) cos' Jlo,
équation qui, en y substituant pour x sa valeur (i), devient
dX = 2o', 445 1 ( cos 6 cos Jii) — cos a sin X ) séc (D.
Occupons-nous de la détermination de d(Q. La troisième des équations (i), différentiée, puis divisée par ds, donne
dz do sin (D -i- 0 cos (Ç) d(^
ds
ds
<i'oii Ton tire, en ayant égard aux équations (3),
( 4 ) d6^ = 2o',445i (cos Y — -r sinCt) j sécCD.
On a d'ailleurs
p*= a7*-f-j^*H- ^* et pdp = xdx-hydy -^ zdZf
^ïî sorte que
dp X dx y dy z dz
ds p ds p ds p ds
et, si dans celle expression de ~ on substitue pour -j- , -^, -7-
leurs valeurs (3), et pour x^y^ z leurs valeurs (1), puis qu'on porte la valeur qui en résulte dans Texpression ci-dessus de e/dd, on obtient
ds
(B) ûRO = — [cosY cos(î) — sin(Jfc)(cosJto cosa-i- cosê sin«vi>)].
Ces formules (A) et (B) expriment les variations survenues dans Tascension droite et la déclinaison par Teffet de l'aberration ; elles renferment les angles a, 6, y que nous y avons introduits par leurs cosinus, mais rien n'est plus facile que de les en éliminer.
En effet, considérons le triangle sphérique tRT' {fig* 12), dans lequel
on a, par ce triangle,
{a) cosê = sinacosw.
On a ensuite, en considérant le triangle que forment les points y , T' et celui où l'axe des z vient rencontrer la sphère céleste,
(6) COSY = sinacosco.
Maintenant, v désignant la longitude héliocentrique de la Terre ou l'angle PST, on a
et comme, en appelant Q 1^ longitude du Soleil,
Q = 180** -^ V, on en conclut
on a donc
(r) sina[= — cosQ» cos3t=sinO.
Ces valeurs (c), jointes à celles (a) et (6), permettent d'effectuer Télimination que nous avons en vue. En effet, par la substitution des valeurs (a) et (6) dans les équations ( A ) et (B>, el ea égard à celles (c K on trouve
d'X — — îM>', 445< (sin.VsinQ— coscocoSrV- cosQ)séCvi>, (x) \ </oD = — 20'. 445i (co5iV> sin3 — C05CI) sin-L cos3 ^*"n^^
— 20'. 443i sine» cos3 coSvC*,
CALCUL DE l'aberration. 65
formules qui ne renferment plus rien d'indéterminé. On les rend calculables par logarithmes, en les écrivant de la manière suivante
d-X> = — 20%445i sin<vlj sinO(i-+- coIrI, costo cotO) sccCÎ), rfOO = — 2o',44^i sin(£) costl>sinO[i — (costo tangX
— cotcD sinw séccô) cotQJî
car, en posant
tangt}/ =z cotfc*l> costo
pour la première et
tang^y = costo tang^lo — cotCD sin to sec (D
pour la seconde, on obtient
' dJo = — 20", 4 1 5^1 sifial, sinO(i-^ tang<j^ colO)sécCD
1 »,,--, sin(6 -+- O) , ^
, ., , J — - 20 ,44'>i sinrl. ; — -- sec(D
' ' ' ) . cos y
' = j sin(i8o"-i- «l^-T- O),
cos y T ^-^/^
/ d(î> = — 20', 445 1 sin Cocos ri. sinO(i — tang^ cotQ)
\ «r / - • ,^ • sin( 3 — <^')
( Il . ] = — 20 ,44^1 sinOt) coSf..l> '='^, ,-^—
■ ' * » cos y
20^4î5l sinrDcOS.t .,00 l' /-^^
cosu; T v«-//
Comme dans ces formules les coefficients de sin(i8o®4-'}H- ©) ^^ sin(i8o° — <j^' 4- 0) représentent respectivement les maxima ^ aberration en ascension droite et en déclinaison^ on voit, 0 étant *^ seul élément qui y varie d'une manière sensible d'un jour à * autre, que ces coefficients, ainsi que les arcs t[/ et ^', pourront être '^ ^gardés comme constants pour une même étoile, ce qui facilitera ^^trêmement la mise en Table de ces formules.
