OU SI
. ,• , /sînl(m-c)cosl(H — c)
V COSf cosd
d'où Ton peut déduire t, quand ^ est calculé.
Appelons Z' le point de la sphère céleste qui se trouve au zé'
GRÉPUSCULB ÀSTIONOMIQUE. 235
niih an moment du coucher du Soleil, Z celui qui s'y trouve à la fin du crépuscule; dans le triangle ayant pour sommets ces deux points et le pôle, Tanf^le au pôle est égal à r, et on a
cosZZ' = sin'f H- cos'f cosr.
Mais puisque dans le triangle formé par les points Z, Z\ et le Soleil S, on a ZS = 90® + c, Z'S = 90®; on a aussi, en désignant Tangle au Soleil par S,
cosZZ' = cosc cosS,
et on obtient
T I — cosccosS
sin* -
2COS*f
où, comme on le voit facilement, S est la différence des valeurs de Tangle parallactique au moment du coucher et à la fin du crépuscule. L'équation montre que r est minimum, lorsque l'angle S est nul, c'est-à-dire lorsque à la fin du crépuscule le point qui au coucher du Soleil était au zénith se trouve sur le cercle vertical du Soleil. Les deux angles parallactiques sont alors égaux entre eux.
La durée du plus petit crépuscule est donc donnée par Téquation
sm —
2 COSf
Et puisque
sincp , sino + sincsin^
cos/? = — I ^ cos/?' = — î- ^- — ,
coso "^ cosccoso
il résulte de l'égalité de p et de p'
8ind = — tang-sinf,
équation qui donne la déclinaison du Soleil pour laquelle a lieu le plus petit crépuscule.
Représentons par A et A' les azimuts du Soleil au moment de son coucher et au moment où sa distance zénithale est 90*^+ v\
236 ASTAOIfOMIE SPHÊRIQUE.
nous aurons
cosf sin A = cos^ sin/?,
cosf sinA' = cos^sin/?';
par conséquent, dans le cas du plus petit crépuscule, sin A = sin A'^ les deux azimuts sont donc supplémentaires. Des deux équations
— sinc = sin f sin ^ -f- cosy cos^cos(fo-l-T), o = siuf sïnS + cosf cos^ cos/o ,
il résulte encore
c . o cos - sm -
sm ( ^0+ - I sin - = r- ?
\ 2/ 2 COSO COSf
et par suite, dans le cas du plus petit crépuscule,
cos-
sinUo-t- - 1 =
cos^
Supposons c=:i8^y nous aurons pour la latitude 7^81%
sin - = I, et pour cette latitude, la durée du plus petit crépus*
ouïe est de 12 heures. Ceci a lieu quand la déclinaison du Soleif est — 9°; le Soleil est alors à Thorizonà midf, et à minuit à 18** au-dessous de Thorizon. Il n'y a pas, dans le sens que nous lui avons donné, d'autre crépuscule de durée minimum à cette latitude, car la. déclinaison — 9° du Soleil est la seule pour laquelle soient remplies les deux conditions nécessaires à Fexistence de ce phénomène : 1° le Soleil doit se lever et se coucher; 2^ il doit s'abaisser au-dessous de l'horizon d*un angle de 18^. En effet, quand le Soleil, restant toujours au-dessous de Téquateur, a une déclinaison qui surpasse 9^, il ne se lève pas, et s'il est au-dessus de ce grand cercle l'angle dont il s'abaisse au<»dessous de l'horison n'atteint jamais 18®.
Pour un lieu dont la latitude est supérieure à 81^, il ne se présentera jamais de cas oii l'on puisse parler de plus petit, cré-
ÀfiERRÀTlON. 287
puscule^ tel que nous l'entendons ici, car alors la valeur de sin est toujours impossible.
Remarque, — Consulter sur la réfraction : Laplacb. — Mécanique céleste, livre X.
BeSsbl. — Fundamenta Astronomiœ, p. 2l6 et suir. Itort. — Philosophical Transactions pour i8'i3 et i838. BncBNS. — Die Astronomische Strahlenhrechung. On y trouvera un exposé complet de toutes les théories.
