III. — De l'aberration

80. Expressions de l'aberration annuelle en ascension droite et, en déclinaison, — La vitesse delà Terre dans son orbite annuelle autour du Soleil ayant un rapport fini avec la vitesse de la lumière, les étoiles nous apparaissent de la surface de la Terre, non pas dans la direction où elles sont réellement, mais en avance d*un petit angle dans la direction du mouvement de la Terre. Regardons comme distincts les deux instants t et t'^ auxquels un rayon lumineux, venu d*un astre immobile (une étoile ^\e),

Fig. 6.

arrive successivement sur l'objectif et sur le réticule d'une lunette. Soient a ei b [fig*&) les positions de l'objectif et du réticule an

238 ASTRONOMIE 8PHËRIQUE.

temps f ; a! et V leurs positions au temps r'. La vraie direction du rayon lumineux dans Fespaee est h* a\ au contraire, la droite ha ou la droite h* a^ qu*on peut, à cause de la distance presque infinie des étoiles, considérer comme lui étant parallèle, est la direction observée du lieu apparent. La différence entre les directions h^ a et ha s'appelle aberration annuelle des étoiles fixes.

Soient maintenant x, y^ z les coordonnées rectangulaires du réticule h au temps /, Torigine étant un point fîxe quelconque de l'espace; les quantités

seront les coordonnées du réticule au temps r' , car, pendant le petit intervalle de temps t' — r, on peut considérer le mouvement de la Terre comme rectiligne et uniforme. De plus, soient Ç, t], ( les coordonnées de l'objectif par rapport au réticule, à l'époque / où la lumière pénètre dans la lunette, ces coordonnées rapportées aux axes primitifs auront pour expressions

Prenons maintenant pour plan des xy le plan de Téquateur, pour plans desxz et des j^z les plans perpendiculaires à Téquaieur menés par les points équinoxiaux et solstitiaux ; désignons par « et ^ l'ascension droite et la déclinaison du point où la vraie direction du rayon lumineux rencontre la sphère céleste, par ^ la vitesse de la lumière ; les projections sur les axes coordonnés du

chemin parcouru par cette dernière pendant le temps r' — / sont

pi(r' — r)cos^cosa, ;*(/' — r)cos^sina, fA(r' — /)sin^;

soient encore / la longueur de la lunette, a! et d' l'ascension droite et la déclinaison du point où la direction apparente du rayon lumineux rencontre la sphère céleste; nous aurons pour valeurs des coordonnées apparentes de Tobjectif, par rapport au réticule :

?:=:= /cos^' cosa', >î =r / cos<î' siua', Ç = /sin^'.

ABBBRATION. 289

La vraie direction du rayon lumineux passe par les positions de i*objectif au temps t et du réticule au temps /', dont les coordonnées sont respectivement :

X + /cos^' cosa', X -f- -7^ (/'— /),

jr4- /cos^'sina', jr H- ~-(^' — ')»

z-^ /sin^', z -\- — [t' ^ t).

Si donc on pose L = -7 » on a les équations

ucos^cosa = LcoS(l'cosa' r->

^ dt

dy lACOs^sina = Lcos^' sina' ^9

^ dt

p sin ^ = L sin 5' ;

d où Ton déduit facilement

- cosa cos fa' — a) = cosa H — ( -7- sm a H cosa ?

f* ' fA \dt at I

— cos

•/ . / f X I / ^(r dx , \

o'smfa' — cl)z=z-\ —-cosa sma]»

\L\dt dt I

taog(a' — a) =

I , /dx dx . \

- sectf ( -— cosa sina )

fA \/// dt /

iH — sec a -T- sm a H cosa

p \dt dt J

On obtiendrait uneéqnalion toute semblable pour tang(5' — S). Développons ces deux équations en séries, au moyen de la formule (i4) du n** 11, et dans la formule qui donne lang(o' — ^),

a' ~ a remplaçons tang par sa valeur développée suivant les puis-

sances de (a! — a), et dans laquelle on a négligé les termes d'ordre

24o ASTRONOMIE SPBÊRIQUE.

supérieur au second ; nous aurons

i [dx , dy

z=. ( -— sina cosa i sec»

u.\dt ' dt

I [dx , dy \ idx H — :( -7- sina ^-cosa) | -7- cos

'2 ^ dt dt \dt

dr , \ , , * a -f--V sma lsec*d,

^/ <v ï /^-^ ... dy , ^ , dz A

, , , <y' — tf = -7- sin tf cosa H — 7- sin 0 sm a cosd )

[a){ i*.\dt dt dt I

I (dx . dy Y

-( -r- sma cosa tang^

2li^\dt dt J ^

I /dx - ^r «. . d^ '

•^—A—r cosocosa H — ;- cososma -f- -r sm p2 y dt dt dt

(dx , ^ dy . ^ . dz A -— smo cosa H — r sma sina -coso )• dt dt dt J

Imaginons maintenant le lieu de la Terre rapporté à des coordonnées rectangulaires menées par le centre du Soleil, Taxe des apositifs dirigé vers Téquinoxe du printemps, Taxe des y positifs vers le solstice d'été, et Taxe des z positifs vers le pôle nord de Técliptique ; désignons par © la longitude géocentrique du Soleil, ou en d'autres termes par (180® H- ©) la longitude héliocentrique de la Terre, par R la distance du Soleil à la Terre; nous aurons

X = — R cos O , y =—Ks\nQy

Par rapport à un second système d'axes ayant aussi pour plan des xy Téquateur, et obtenu en faisant tourner le précédent autour de Taxe des x d*un angle f égal à Tobliquiié de Técliptique, ces coordonnées auront pour expressions

X = — R cos O ,

y =z — R sin O cos«,

z=: — R sin O sin« ;

et comme (n** 4-2) la longitude du Soleil est égale à v H- u, c'est-àdire à la somme de l'anomalie vraie et de la longitude du périhélie,

ABERRATION ANNUELLE. ^^l

on aura par difTérentiation

=eosO-+Rs,n0-,

-r- = — sin O C0S8 — R cos O cosfi -r y

dt ^ dt ^ dt

-7- = — sm O sin £ — R cos © sin s -— ;

dt de ^ dt

on a aussi, <p étant un angle tel que e = sin o (n° 42),

, /z cos«p ,„ ,„ n ,^,

donc

dv a^costp r/M

di "" ~~R^^ 57*

, , . 1,' . ,^ ^ cos'«p ,

De plus, en combinant lequation R = — avec la pre-

!-[-<? cosv

cédente, on a

dK . fiU

— — = a tangcp smv — — t

dt ^^ dt

et en remplaçant

dx a dM

dt cos cp dt d'ailleurs

a cos^ (0 .

En substituant et agissant de même pour les deux autres coor données, on a :

d,v n dM. , , ^ . . .

dt cosf dt ^ ^ '

[0] ; __ iziz C0S8 — 7- 1 cos Q H- sinçcoscy ,

' dt cosy dt ^ ^ ^

cos f dt

Si ron porte ces expressions dans les formules (a)^ les termes constants, ceux qui contiennent cr, donneront, dans les expressions de l'aberration en ascension droite et en déclinaison, des termes également constants dont on peut combiner la valeur avec celles des coordonnées de Ta position moyenne de Tétoile, e( qu'on n*â plus alors à considérer. Au lieu de pi, introduisons le nombre K de secondes de temps qu'emploie la lumière pour parcourir le demi grand axe de l'orbite terrestre, en sorte que

fi a

Nous trouverons, en ne conservant que les fermes du premier ordre,

a' — a= r- (cosQ cose cosa -t- sinQ sina)séc<î,

cosç dt -^ I

d' — 0=1-^ [cos O (sinasin^coss — cos^sins)

COSç dt ^ ^ ^

La constante est appelée constante de l'aberration y

coS(p dt

on en connaît la valeur. En effet, des deux facteurs dont elle se

compose, l'un -— est le moyen mouvement sidéral du Soleil en uno

seconde de temps moyen, unité choisie pour mesurer le nombre K; quant à ce nombre lui-même, Delambre, à l'aide de l'observatioD des éclipses des satellites de Jupiter, Pavait trouvé égal à 49^') d'où l'on déduit 20", 255 pour valeur de la constante de l'aberration. Depuis, Struve a obtenu, par l'observation des lieux apparents des étoiles fixes, la valeur 20", 44^' y ^^

It^ 86400 '^"^'^^ ^^ Jogcosç.= 1,999939;

on conclut donc de cette dernière valeur K = 497% 1^*

(*) Diaprés Hansen, la durée de Pannée sidérale est

365i 6*» 9"» 9», 35 = 365,^56 358 2 jours moyens;

le moyen mouvement sidéral du Soleil en un jour moyen est donc à% 59' 8^ 193.