ABERRATION ANNUELLE

Od a ainsi, pour l'aberration annuelle des étoiles fixes en aâcension droite et en déclinaison,

Ia' — a = — 20", 44^1 (cos© cosa cos« ■+- sinQ sina) séc(î, ^' — ^=:+ 20^^,44^^ cosQ (sinasin^coss — cos ^ sine) — 20''', 445^ ^^ O cosasin<î.

On obtiendrait les termes du second ordre, en tenant compte

dx dy dz de tous les termes dans le remplacement de -r-f-r^ -r par leuis

valeurs [b) ; mais ils sont en général assez petits pour pouvoir être négligés. En effet, effectuons ce calcul.

I® En ascension droite, abstraction faite des facteurs constants, le coefficient de séc'^ est

2sin2a(cos'0 cos^e — sin^0) — 2sin20 cos8(cos'a — sin'a),

d'où, en négligeant le petit terme qui contient en facteur sin2asin's, on déduit facilement pour Tensemble des termes du second ordre

— -7 — — 1 —r- ) sec^af cos2Qsin2a(i -t-cos^e) 4 cos^y \ dt I L w V ;

— 2sin2 O cos2acose], ou, avec les valeurs numériques et « i= 23*28',

( — o",ooog329séc'^sin2acos2 O ( ■»!- o ,ooo9295séc'^cos2asin2 O,

somme qui atteint à peine o%oi pour une étoile dont la déclinaison est 85**3o'.

2^ En déclinaison, nous négligerons les termes qui ne contiennent pas tang^; or, aux facteurs constants près, le coefficient (le tang^ a pour valeur

sin* O sin^a -\- cos* © cos^j cos* a -h | sin 2 © sin 2 a cose.

Exprimons les carrés des sinus et cosinus en fonction du cosinus deTangle double, négligeons le terme constant i + cos^s et le petit terme en cos 2 a sin'e, nous aurons pour l'ensemble des termes du

second ordre

X (cos2 0[cos2a(H-ccs'6) -^sin=e]-h 2sm2 0sin2acose)y

et, après substitution des valeurs numériques,

(o", 0000402 — o",ooo4665 cos2a) tang^cos2 0

( — o",ooo464o tang^ sin2asin2 0,

somme qui, pour des étoiles de déclinaison moindre que 87° 6',, est toujours inférieure à o'', 01, Pour toutes les étoiles dont la déclinaison ne surpasse pas 85% on peut donc négliger les ternies du second ordre.

Les formules (A) supposent que les grandeurs a, ^ et © sont rapportées à Téquinoxe apparent, et que s est l'inclinaison apparente de récliptique. Dans le calcul de l'aberration d'une étoile pour un long espace de temps, il est commode de négliger d'abord la nutation, c'est-à-dire de rapporter a, ^ et © à l'équinoxe moyen et de prendre pour e l'obliquité moyenne. Mais il faut ensuite calculer les erreurs ainsi introduites et corriger de ces quantités les valeurs obtenues pour l'aberration. On obtient ces corrections en différentiant les formules (A) par rapport à a, ^, © et e et en adoptant pour valeurs de doL, d$, dQ et de les nombres qui mesurent les changements que la nutation produit sur ces grandeurs. On ne prend évidemment ici que les termes les plus importants de la nutation; en outre^ si, dani la correction relative à l'ascension droite, on néglige tous les termes qui ne contiennent pas en facteur séc^ tang(î,et, dans la correction qui se rapporte à la déclinaison, tous ceux qui ne sont point multipliés par sin^tang^, les variations dQ et de ne donnent naissance^ comme il est facile de le voir, à aucun terme sensible; il suffit dont* de prendre pour expressions de da et de d$ les valeurs

doL=z— (6'', 867 sin Q sina •+- 9", 223 cosQ cosa) tang^, d$ =:— (6", 867 sin Q cosa H- 9^,223 cos Q sina).

Pour abréger, remplaçons 9'', 228 et 6'', 867 par a et b dans

ABERRATION ANNUELLE. l/{5

ics équations obtenues en différentiant les formules (A), nous ■aurons

a' — a = io",2225 tang(î sec 5

X [— {b -+-«coss)cos(© -H Çl) sin2a + (^coseH-«) sin(0 + Q)cos2a -h{b — a cose) cos(0 — JJ) sin2a

— (6cos8 — a) sin(0 — SÎ)co52«i»

. iî'— ^ = 5'Siii2tang^sin^

X[— (^ H- flCOSs)cos(0 -f- Q)cos2a

— (^cosj 4- a) sin(0 + Q) sin2a -h [b — a cose)cos(0 — Çl )cos2a -4- (ôcoss — «) sin(0 — Q) sin2x -h (b — rt cos g) cos ( 0 + Q)

— {b + flcoss)cos(0— Q)];

et avec les valeurs numériques :

/ a'--a = tang^séc^X[-— ©'',0007597 cos(0 -f- Q)sin2a

H- 0^,0007693 sin(0 -h Q)cos2a

— o",oooo79ocos(0 — JJ)sin2a o", 000 1449 sin(0 — Q)cos2a],

/ \ i^'— ^=:tang^sin(îx[-— 0^,0003798 cos(0 4- Q)cos2a

— o",ooo3847 sin(0 H- Q) sin2a

— o",ooo 0395 cos ( 0 — Q ) cos 2 a

— 0^,0000725 sin(0 — ^) sin2a ' — o",ooo 0395 cos ( 0 -H Çl)

— o",ooo 3798 cos (0— Q)].

Pour toute étoile de déclinaison inférieure h 85° 3o', la valeur de a' — a sera inférieure à o%oi ; d'ailleurs ^ — S n'atteindra o",oi que pour une déclinaison égale à 85^6'; ainsi que les termes donnés par (c) et (^), ceux-ci seront donc négligeables pour toutes les étoiles dont la déclinaison est inférieure à 85°,

Expressions de l'aberration annuelle en longitude et en latitude, — Les équations relatives à I*aberration seront beaucoup plus simples, si au lieu de Téquateur on prend Técliptique pour plan fondamental; en effet, en négligeant les termes constants, on a

dx a . ^^ é/M

sm O -T- 1

dt cos^ dt

dy ^ ^ ^M

-— z= cos O -— 9

dt cosf dt

Après avoir substitué ces expressions dans les formules [a) et remplacé a et ^ par \ et p, on obtiendra pour l'aberration annuelle des étoiles fixes en longitude et en latitude

^ j y — X = — 2o", 44^1 cos (X — 0)sécp,

^ I p'— p=z:+2o",445isin(X— 0)sinp,

formules qui ne changent point, si dans X et 0 on emploie l'équinoxe moyen au lieu deTéquinoxe apparent. On a de plus pour les termes du second ordre :

En longitude h- o",ooi oi33 sin2(0 — >)séc'p,

En latitude — o",ooo5o67 cos2{0 — >) tangp,

où le coefficient o,ooi oi33 est en décimales la valeur de la frac-

EXEMPLE. — En 1849, ^vJ^i' '» on a, pour Arcturus,

OL — i4^8™48' = 2i2°i2^o, ^ — -1-19° 58', I, et

On en déduit

a'—aL=i^ 18", 88, (î' - ^ = — 9", 65,

TABLES DE L* ABERRATION. 'i^']

et puisque

on a aussi

81. Tables de l'aberration. — On a construit des Tables destinées à simplifier le calcul de Taberration en ascension droite et en déclinaison, souvent pénible au moyen des formules que nous venons de donner. Les plus commodes sont celles de Gauss, dont la construction repose sur les transformations suivantes. Si Ton pose

ao'',445ï sin O = a sin ( O -h A),

2o",445* COS0 cose = «cos(0 + A), on a les expressions simples

a'— a = — aséc5cos(0 -h A — a),

^'— 0 = — ûsin^ sin{0 h- A — a) — 2o'',445ï cos© costîsini = — /7sîn^ sin(0 -4- A — a) — io",2225sinecos(0 -+-^) — I o^, 2225 sin t eos (0 — è).

Ce sont ces formules que Gauss a réduites en Tables. La première Table donne A et loga avec la longitude du Soleil pour argument, et on en déduit l'aberration en ascension droite et la première partie de l'aberration en déclinaison. La deuxième et la troisième parties sont ensuite données par la seconde Table où Ton entre avec les arguments 0 4-^ et 0 — 8. Ces Tables ont été publiées pour la première fois dans la Monatliche Correspondent (t. XVII, p. 3 12); la constante employée est celle de Delambre, 2o'\^S5. Plus tard,Nicolaï en a calculé d'autres avec la nouvelle constante 20^, 44^^ ' ^° ^^^ trouve dans la collection des Tables auxiliaires de Warnstorff.

Pour l'exemple précédent, la première des Tables de Nicolaï

donne

A=:i®i', logo = 1,2748,

d'où

La même Table donne — 2", 1 5 pour la première partie de l'aberration en déclinaison. En cherchant ensuite dans la deuxième Table les nombres correspondants aux arguments 3i® 35' et — 8° 21', on trouve — 3^^,47 ©t — ^'\o3 pour deuxième et troisième parties de Taberration en déclinaison ; on a donc

82. Expressions de la parallaxe annuelle des étoiles fixes, — Le maximum et le minimum de Taberration en longitude ont lieu, pour une étoile donnée, quand sa longitude égale celle du Soleil ou la surpasse de 180®; au contraire, le maximum et le minimum de l'aberration en latitude se produisent quand l'étoile précède ou suit le Soleil de 90®.

Les formules qui donnent la parallaxe annuelle des étoiles fixes, c'est-à-dire Tangle des directions menées de l'étoile au centre de la Terre et au centre du Soleil, sont entièrement analogues à celles de l'aberration annuelle ; seulement les maxîma et les minima n'ont pas lieu aux mêmes époques. Soir, en effet, Â la distance d'une étoile au Soleil, ^ et ^ sa longitude et sa latitude vues du Soleil, les coordonnées de l'étoile par rapport au Soleil seront

.r m Acosp cosX, j* = Acospsin^, z=Asinp;

mais, si Â' est la distance de l'étoile à la Terre, ses coordonnées rapportées à la Terre ont pour expressions

ar'=r A'cosp'cosV, /' = A' cos p' siu X', z'=:A'sinp';

d'ailleurs, en prenant pour unité le demi grand axe de la Terre, les coordonnées du Soleil par rapport à la Terre sont égales à

X==RcosO et YrnRsinO;

on a donc les équations

A' cos p' çosV ==: A cosp cos X -H R cos O , A' cos p' sinX' = A cos p sinX -I- R sin © , A'sinp'= Asinp;

PÀRALLÀILR ANNUELLE DES ÉTOILES. I^g

d'où Ton déditit facilement

X' — 1= ^ sin(X — 0) sécp. 206265,

P' — P = — ^ cos(X — O) sinp. 206265;

ou bien, en remarquant que le produit — 206265 est Texpression de la parallaxe annuelle tt,

I X'--X=— ttR sin(X — 0)sécp,

^ ' I p'— pnz— 7rRcos(>. --0)sinp.

Ces formules offrent une analogie parfaite avec celles qui sont relatives à l'aberration ; mais à Tinverse de ce qui se passe dans ce dernier phénomène^ la parallaxe en longitude est maximum ou minimum quand l'étoile précède ou suit le Soleil de 90°, et la parallaxe en latitude prend sa valeur maximum ou minimum quand la longitude de Tétoile surpasse de 180° celle du Soleil, ou lui est égale.

Pour l'ascension droite et la déclinaison, on a les équations

A' cos^' cosa' = A cos^ cosa -h R cos 0 , A' cos 5' sina' 1= A cos ^ sina -h R sin 0 cose, A' sin^' = A sin ^ -h R sin 0 sin£,

et on trouve ensuite, tout à fait comme pour l'aberration,

!</ — 0L= — ttR (cos0 sina — sin0 cosscosa) séc5, ^' — Sz=z — ttR ( coss sina sin S — sin« cos^ ) sin 0 — ttR cos 0 sin^ cosa.

83. Expressions de l'aberration diurne. — Le mouvement diurne de la Terre autour de son axe produit, comme son mouvement annuel autour du Soleil, une aberration que l'on appelle aberration diurne. Elle est d'ailleurs moins importante que l'aberration annuelle, puisque la vitesse du mouvement de la Terre au-

25o ASTRONOMIE SPHtRIQUB.

tour de son axe est bien plus petite que ceHe du mouvement annueK

Par rapport à trois axes rectangulaires dont l*un coïncide avec Taxe de rotation, et les deux autres sont dans le plan de Féquateur, de telle sorte que la partie positive de Taxe des x soit dirigée du centre de la Terre à Féqninoxe du printemps et la partie positive de Taxe des y vers le point dont l'ascension droite est égaie à 90*^, un lieu de la surface de la Terre, dont la latitude géocen trique est f', a pour coordonnées (n^ 66)

x = pcosç'cos0, y = p cosy' sin0,

Z =: p Slïïf' ',

on a donc

dx , , d&

dy 'de

dt r T ^^

dz dt='''^

substituons ces valeurs dans les formules [a) du n^ 80 et négligeons les secondes puissances, nous obtiendrons facilement

a — a = - —r- p cosy'cos(0 — a) seco,

5' — $ =z — û cos»' sini 0 — a) sin^.

IL dt ^ ^ ' '

Actuellement désignons par T le nombre de jours sidéraux d'une année sidérale, le mouvement angulaire d'un point de la Terre pendant la révolution de celle-ci sera T fois plus grand que le mouvement angulaire de la Terre dans son orbite^

d% dVi

'dt" mr'^

d'autre part, tt étant la parallaxe du Soleil et K le nombre de secondes de temps que met la lumière à parcourir le demi grand axe

abbrràtion diurnb. . ^5

de Torbite terrestre^ on a

ce qui donne

- û = K - = K SIHTT,

Il ' a

K -r-Tsin^ dt

pour expression de la constante de )*aberration diurne. En substituant aux lettres les nombres qu'elles représentent

on trouve

o",3ri

comme valeur numérique de cette constante.

Pour plus de simplicité, prenons la latitude f au lieu de la latitude corrigée f', les expressions de Taberration diurne en ascension droite et en déclinaison deviendront

I a' — a = o'',3i I cosçcos(0 — a)séc5,. (E) '.

( ^' — ^=:o'',3ii co87sin(6 — a)sind;

ainsi quand Tastre est au méridien l'aberration diurne en déclinaison est nulle, tandis que Taberration en ascension droite y atteint sa valeur maximum

o", 3ii cosf séc^.

84. Orbites apparentes des étoiles autour de leurs positions moyennes, — Pour l'aberration annuelle des fixes en longitude et latitude, nous avons précédemment trouvé

V — > =1— qcos[\ — 0)sécp, P'— P = 4- <7 sin (^ — O) sin p,

où q désigne la constante 2o'%44^i* ^^^ posé, imaginons le plan tangent à la sphère céleste mené par la position moyenne d'une étoile, et dans ce plan un système de coordonnées rectangulaires X et jr^ dont les axes soient les intersections de ce plan tangent

252 ASTRONOMIE SPHBRIQUE.

avec les plans du parallèle et du cercle de latitude; les cbordon* nées du Heu vrai affecté de l'aberration, par rapport au lieu moyen, seront

X =z {V — \) COSP et / rz: p' — p,

car pour d'aussi petites distances à l'origine, le plan tangent peut être considéré comme coïncidant avec la surface de la sphère céleste ; on en déduit facilement

G*est l'équation d'une ellipse dont les demi-axes sont ^ et ^ sin^. En raison de l'aberration annuelle les étoiles décriront donc autour de leurs lieux moyens une ellipse dont le demi grand axe a pour valeur 2o'\/^/^Si, et le demi petit axe le maximum de Taberration en latitude. Pour les étoiles situées dans le plan de récliptique, ce demi petit axe est nul puisque p=;o. Elles décrivent donc, dans le cours d'une année, une ligne droite, et parcourent sur récliptique 20'^, 44^ < ^^ chaque côté de leur position moyenne. Pour une étoile qui coïnciderait avec le pôle de l'écliptique, on aurait p = 90°, et par suite les deux axes seraient égaux ; dans l'espace d'un an, une pareille étoile décrirait donc autour de sa position moyenne un cercle de rayon égal à 20'', 44^ ' *

En général, c'est-à-dire pour une valeur de p autre que ces valeurs extrêmes, la position que l'étoile occupe à un instant quelconque sur l'ellipse d'aberration est donnée par la construction suivante. Dans le plan de cette ellipse imaginons un cercle qui lui soit concentrique, et dont le diamètre soit égal au grand axe; en outre, supposons qu'un rayon de ce cercle le décrive d'un mouvement uniforme et coïncide avec le côté ouest du grand axe quand la longitude du Soleil est égale à celle de l'étoile, et avec le côté sud du petit axe quand elle la surpasse de 90^. Traçons le rayon correspondant à la longitude actuelle du Soleil, et par l'extrémité de ce rayon, menons une perpendiculaire au grand axe, le point où cette droite coupera la circonférence de l'ellipse sera la position actuelle de l'étoile.

Si rétoile a une parallaxe tt, les expressions de ses deux coor-