ABERRATION PLANÉTAIRE
données rectangulaires seront, en supposant R constant et égal à l'unité,
a: = — ^cos(X — O) — îT sin(>. — 0), j=4- q sin(X — 0)sinp — 7rcos(^ —■ 0) sinp,
ou, en posant 9 = acosA et Tr = a8inA,
xz= — a cos {\ — 0 — A ),
7 = + a sin(> — 0 — Ajsinf.
L'étoile décrit encore une ellipse autour de son lieu moyen, mais
le demi grand axe est ^q^-hn' et le demi petit axe sJq^-^Tz^ sinp. Il en est entièrement de même pour l'aberration diurne. £n vertu de cette dernière, les étoiles décrivent dans un jour sidéral autour de leur position moyenne une ellipse dont les demi-axes sont o'^,3iicos7 et o'^,3ii cosf sin^. Pour les étoiles équatonales, cette ellipse se réduit à une ligne droite, tandis que pour une étoile qui coïpciderait avec le pôle elle devient un cercle.
85. Jberration planétaire, —r Si l'astre a un mouvement propre, comme le Soleil, la Lune, les planètes et les comètes, ce que nous avons dit de Paberration des fixes ne forme pas l'aberration complète. En effet, le lieuxle cet astre change pendant le temps que la lumière emploie pour arriver à la Terre, et par conséquent la direction observée du rayon lumineux ne correspond pas à la vraie position géocentrique de Fastre au moment de l'observation. Supposons que le rayon lumineux qui, au temps /, rencontre Fobjectif de la lunette soit parti de la planète au temps T. Soient [fig. 7 ) P et p les positions de la planète dans l'espace aux temps T et f, A la position de l'objectif au temps T, a et ^ les positions de l'objectif et du réticule au temps ^, a^ et b' leurs positions au temps /' quand le rayon lumineux rencontre le réticule. Dès lors
AP est la direction du lieu de la planète au temps T,
ap celle du lieu vrai au temps ty
ba^ Va* les directions des lieux apparents aux temps r et t\ dont la différence est infiniment petite ,
y a la direction de ce même lieu apparent débarrassé de l'aberration des fixes.
'254 ASTRONOMIE 8PHÉRIQUE.
Puisque P, a et b' sont en ligne droite, on a
Va t — T
De plus, on peut toujours supposer que pendant le petit inter> valle de temps t' — T le mouvement de la Terre est rectiligne et uniforme; par suite, A, a et a' sont aussi sur une même droite,
Fig. 7.
et, en outre, Aa et aa' sont proportionnels aux temps / — T et r' — t. Il en résulte encore que AP est parallèle à b' a' et que par conséquent le lieu apparent de la planète au temps t coïncide avec son lieu vrai au temps T. La différence t* — T est du reste le temps que la lumière emploie pour arriver de la planète jusqu'à rœil, ou le produit de la distance de la planète par 497^98, temps nécessaire à la lumière pour parcourir le demi grand axe de l'orbite terrestre.
De là dérivent trois méthodes qui permettent d'obtenir, à une époque quelconque /, le lieu vrai d'une planète au moyen de son lieu apparent :
I. On retranche de l'époque observée le temps employé par la lumière pour aller de la planète à la Terre; le lieu vrai correspondant au temps T ainsi obtenu est identique avec le lieu apparent au temps r.
ABERRATION PLAN^TAIRe. 255
n. Avec la distance deTastre, on calcule la réduction du temps» c'est-à-dire f — T, et à l'aide du mouvement diurne de Tastre en ascension droite et en déclinaison, la réduction au temps T du lieu apparent observé.
m. On considère le lieu donné débarrassé de Taberration des fixes comme le lieu vrai au temps T, mais vu de la position de la Terre au temps t. On emploie cette dernière méthode quand on ne connaît pas la distance de Tastre, par exemple dans le calcul de Torbite d'une planète ou d'une comète nouvellement découverte.
La lumière met 497% 8 pour venir du Soleil à la Terre, et le moyen mouvement du Soleil en un jour est de Sg' 8'^ ig. Par suite, d'après la règle II, l'aberration du Soleil en longitude, qui rend toujours trop petites les longitudes déduites de l'observation, est égale à 20'', 4^; il faut ajouter que les variations de la distance et de la vitesse du Soleil produisent sur cette valeur de petits changements, qui dans l'espace d'une année ne surpassent pas quelques dixièmes de seconde.
86. Démonstration analytique des lois précédentes. — Le problème que nous venons de résoudre, et qui est en fait le cas général, peut se traiter aussi facilement à l'aide des équations fondamentales du n° 80. Il est clair, en effet, que dans ce cas, au lieu de la vitesse absolue de la Terre, on ne doit employer que sa vitesse relative par rapport à l'astre mobile ; car cette vitesse relative combinée avec celle de la lumière déterminera l'angle que doit faire la lunette avec la vraie direction des rayons lumineux venant successivement de l'astre pour que celui-ci, malgré son mouvement propre et celui de la Terre, paraisse toujours dans Taxe de la lunette. Soient donc ^, n» ^ les coordonnées de l'astre par rapport au système d'axes considéré plus haut, il faudra, dans les équations (a) du n® 80, substituer
dx dl^ dy dn dz d^ ^ dx dy dz dt dt^ dt dt^ dt^ dt dt^ dt^ dt
Soit À la distance de l'astre à la Terre; ses coordonnées géoœntriques sont A cos^ cosa, . . . , et par conséquent ses coordon-
256 ASTRONOMIE SPHËRIQUE.
nées héliocen triques i, n, Ç, ont pour valeurs
l Ç = A cos^cosa -f- j:,
d'où Ton déduit facilement
(/) { rj = A cos5 sina H- j,
: A sin ^ + z ^
— -l!\si di de)
dy dn\ dst
sm a — ( — ) cosa = A coso -r- ?
dt dt J dt
Idx d\\ Idy dn\
— ri smocosa + 1 -7 r- 1 sino sina
\dt dt ) \dt dt )
dz d^\ ^ d$
— - ' 7- 1 coso = A
dt dt I dt
Les formules [a] se transforment donc dans les suivantes
, A doi
fx dt
l*. dt
mais — est le temps que la lumière emploie pour parcourir la distance A ; en désignant ce temps par t — T, on a les équations
elles expriment que le lieu apparent est égal au lieu vrai au temps T, et correspondent aux règles I et II du n" 85.
De ce qui précède, il résulte évidemment que, dans le cas actuel, Taberration peut encore s'obtenir en ajoutant, aux seconds membres des deux formules (/?), les termes
I /fi?Ç . fin \ . j. ,
- I — sma — — - cosa j sec 0 pour la première,
- ( -— sin^ cosa -t- -— sin(^sina + -— cos^ | pour la deuxième; l». \dl dt dt J
ABBBKATION PLANÉTAIRE. ^Sy
on a donc, en désignant par Da et D (^ l^aberration des fixes,
a' — a = Da -\ — -7- sina r cosa ) secd,
lfL\iit dt )
^' — 5=:DJ -h -( -- sin5cosa4- -^sin^sina -f- — coS(î|-
[»-\dt dt €U I
Différentions maintenant les équations (/), en considérant les
grandeurs géocen triques, A, a, $y comme variant seules, et en
traitant les coordonnées de la Terre comme des constantes; re-
(doiX /d$\ ., . ,
présentons par ( ~7- 1 ^M ;;r 1 '^s dérivées partielles de a et ^, et
remplaçons dans les seconds membres des équations précédentes
les coefficients de — par les valeurs ainsi obtenues, nous aurons
ou
«'Da = a-('-T)(^), S'-TiS = i-[t-T)(^^:
équations qui correspondent à la régie III du n*^ 85; en effet
— - I et ( -7- ) représentent les dérivées partielles de a et ^
quand on fait varier le lieu héliocentrique de l'astre, mais non celui de la Terre; ]es seconds membres des deux équations correspondent donc au lieu de Tastre au temps T, vu de la position que la Terre occupe au temps t.
Remartjfue I. — Le mouvement elliptique de la Terre autour du Soleil et son mouvement diurne de rotation ne constituent pas le mouvement entier dans I^espace d^un point de la Terre: le Soleil lui-même se meut et entruine avec lui la Terre et tout le système solaire. Comme nous le verrons plus tard, cet astre est animé d*un double mouvement, un mouvement de traublalion dans Tespace et un mouvement périodique causé par les attractions des planètes; en effet, celles-ci ne se meuvent pat réellement dans des ellipses autour du centre du Soleil; mais, soumis à leurs attractiohs réciproques, une planète et le Soleil décrivent autour de leur centre de gravité, qui reste immobile, deux ellipses dont les dimensions sont
258 ÀSTRONOUIE SPHÊRIQUE.
entre elles dans le rapport inverse des masses de ces deux corps. Le premier de ces deux mouvements peut actuellement être regarde comme rectiligne et restera tel un très-long espace de temps; il n^a donc d^autre effet que de changer les positions des astres d^une quantité constante, el par suite il est permis de n^en point tenir compte. Quant à Taberration due au second mouvement, elle est si petite, qu''on peut toujours la nrgliger. Soient, en effet, a et a' les rayons des orbites des deux planètes, orbites que nous supposerons circulaires, t et t' les temps de leur révolution'; les
vitesses angulaires de ces deux planètes seront proportionnelles à - et -jf
et par conséquent leurs vitesses linéaires k ar' et a'r, ou bien à /ô' et y/^j
car, diaprés la troisième loi de Kepler, les carrés des temps des révolutions
de deux planètes sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs
orbites.
Prenons pouc unités le rayon de Porbite terre£tre et la masse du Soleil :
soient m et a la masse et le demi grand axe de Torbitc d^une planète, la
constante de Taberration due au mouvement de la Terre sera pour cette
planète
et celle de Taberration provenant du mouvement du Soleil autour du centre de gravite commun à ces deux corps :
Ainsi, pour Jupiter, a = 5,qo, m= — r-) et les deux consianles ont
' io5o
pour valeurs
8", 97 et o^ooSGj
la seconde est donc bien, ainsi que nous Pavons dit, négligeable par rapport & la première.
Les perturbations, que tes actions des planètes produisent dans le mouvement de la Terre, changent encore Taberration^ mais ces variations sont aussi trop petites pour qu^il y ait lieu dVn tenir compte.
Remarque 11, — Consulter sur Taberration :
Bessel. — TahulcB Rfgiomontanœj p. xvii et sniv.
Bessel. — Zeilschrifijûr Astronomie, vol. VI, p. 222 el suiv.
WoLFER. — Tabulœ reductionum, p. xiii et suiv.
Delambre. — Traité d'Astronomie, vol. lll, cb. XXX.
F. Bailt. — Préface du Catalogue 0/ the British Association.
Gacss. — Theoria motus, p. 68 et suiv.
Le Verrier. — Annales de l'Observatoire impérial, vol. I, p. ai8 et suir.
POSITIONS MOYENNES DES ÉTOILES. ^Sg
