sin(0 — P) — A4siD(OH-P), et

^ — ^=:[t — isinQ -4-i,sin2Q — /,àin2 0

-f. /j sin(0 — P) — '4 sin(0 4- P)] n cos« -h [ 9", 223 1 COS Q — o", 0897 cos 2 Q

-+- o", 5509 cos 2 0 -+- 0*^,0093 C0S(0 + P)] Mn«

— 2o",44^< COS I COS 0 (tangf cos^ — sina sîn^)

— 2o'',445i sin 0 cosa sin5 •4- ryf.

Faisons maintenant les conventions suivantes :

A=T— /sîn Q -h/isin2Q — /asin2 0

-f- /,sin (0 — P) — /4 sin(0V P),

B = — 9", 223 1 cos Q -+-0", 0897 COS2 Q

— o",55o9cos2 0 — o",oo93cos(0 -+- P),

C == — 20^, 44^ ' ^®* * ^o* 0> D = — 20*, 4451 sin 0,

E = — ^sin Q -h /iisin2Q — //, sin2 0

H-^,sin(0 — P) — ^4sin(0 -+-P),

a= /If + /ssina tang^^ fl' = /icosa,

b = cos ge tang ^, b' = — sîn a,

c z=z cosa séc Jy c' = tàng t cos J — sîn a sin B^

<f =: sin a séc^, d' = cosa sin ^,

nous aurons simplement

j a'— a = Atf -4-Bft-4-Cc -h Drf 4-TfA-+-E,

^ ^ I ^'— ^ = Aû'4-Bè'-4-Cc'H-D^'H-Tfx';

les grandeurs «, ^, c, ^, a', Z*', cr', d^ dépendent uniquement de la position de Tétoile et de Tobliquité de récliptique, elles sont données par leurs logarithmes dans les Catalogues d'étoiles; a et a' sont les nombres désignés dans les Catalogues sous le nom de précession annuelle en ascension droite et en déclinaison ; les grandeurs A, B, C, D ne dépendent, au contraire, que de 0 et Q, et sont ainsi desimpies fonctions du temps, qui peuvent être réduites en TableSy avec le temps pour argument.

Les valeurs numériques donoées dans les formules précédentes conviennent pour 1 800^ et on a pour cette époque :

/ = o", 34223, h =z o",o572, /, = o,oo4io, /<i:3= o , 0016,

i2=z O , 025 19, /ia= O , 004l, /3=r: O ,00254, ^3=0,0005, /|= 0,000 42, ^4=0; 0000,

d'où il résulte que la quantité £ ne surpasse jamais quelques centièmes de seconde, et peut presque toujours être négligée» Quelques coefficients des formu Us précédentes relatives à a! — a et S' — 3 varient avec le temps (n*» 61), il en est de même des valeurs de m et de /i; on a pour 1900 :

= 0,00410, ^, = o,ooi4,

j=r 0,025 20, /i,=:o,oo35,

Bessel a donné dans les Tabulœ Rcgiomontance ^ les valeurs des constantes A, B, C, D, Ë, pour toutes les années de i';5o à i85o. Mais comme il a employé pour les constantes de la nutalion et de Taberration des valeurs différentes de celles que nous avons

RfiDUGTlON AU LIEU APPARENT. 265

adoptées, et que les termes en (© — P) et (© -H P) ont été omis, il faut, afin d^établir la concordance avec nos formules, faire subir aux valeurs des constantes de Bessel les corrections suivantes (l'unité est la seconde d^arc) :

Pour 1750,

dk=^ — OfOogosinQ + 0,0001 sîn2Q -h o,ooi3 sin2 0

-+-o,oo25sin(0—P)— 0,0004 sin(0 -H P)> d^=z — o,2456cosQ -l-o,ooigcos2 JJ

-hO,0290COS2 0 — 0,0093 COS(0 -I- P),

dJ^zzz — 0,1901 sin O,

^E= — 0,006 sin Çl + 0,001 sin2 Q.

Pour i85o, la valeur àe d^ devient

r/B = — 0,2465 cos Q -h 0,0019 C0S2 Çl

0,029 ' *^^ ^ O — 0,0098 cos (O -4- P) .

Ces constantes ont été calculées par Zech pour l'intervalle de i85o à 1860, diaprés les formules et les nombres de BessH, et pour rintervalle de 1860 à 1880, par Wolfer dans les Tabulée réduction um observaùionum astronomicarum à l'aide des valeurs plus récentes données plus haut. On trouve aussi ces constantes dans les Annuaires astronomiques.

88. Tables de Bessel, — Ces Tables contiennent les valeurs des quantités qui, dans les expressions de la réduction au jour, ne dépendent que du temps, c'est-k-dire A, B, C, D, r et E. Elles y sont données (A, B, C, D et r par leurs logarithmes, E en valeur absolue) de dix en dix jours sidéraux d*une année tropique fictive, dont le commencement aurait lieu au moment uù la longitude moyenne du Soleil est 280**, ou ce qui revient au même, au moment où son ascension droite moyenne est 18^ 4^'" > ^^^ Tables conviennent immédiatement au méridien pour le(|uel, au commencement de Tannée civile, le Soleil a cette longitude moyenne 280", c'est- à dire au méridien pour lequel X époque de la longitude moyenne du Soleil est 280"; et le jour désigné par janv. o est, en suivant l'usage astronomique de compter les jours à par-

a66 ASTRONOHIB SPHËRIQUB.

tir de midi, celui dont le temps sidéral i8^4^"*, marque le com* mencement de Tannée. Les Tables donnent donc les valeurs des quantités A, B, C, D, r et £, non point au commencement des jours sidéraux, mais à i8^4<)"' de chacun d^eux, et par suite au moment du passage au méridien de toute étoile dont Tascension droite est 18^4^"*.

Les éléments du calcul sont :

I® Le temps écoulé depuis le commencement de Tannée : il se trouve au moyen de la formule

lO/l

n prenant toutes les valeurs entières de o à 87, inclusivement.

2® La longitude vraie du Soleil : on la déduit de la longitude moyenne (n® 42), dont on obtient la valeur à un instant quelconque par la relation

3** La longitude du nœud de la Lune; Bessel l'obtenait au moyen de la formule

Çl = 33oI5'25^9 — i902o'29",53 (/— 1800)

360,242201 ^ Xf * ^

où 33° i5' 25^^,9 est, d*après les Tables de Burckardt, la valeur de cette longitude au commencement de Tannée 1800, et 1 9*^ 20^29^,53 le moyen mouvement du nœud de la Lune pendant une année tropique.

Ceci posé, parmi les quantités A, B, C, D, les unes G et D ne dépendent que de 0 : on les calcule à part ; A et B se composent de deux parties. Tune dépendant de 0, l'autre de Q : on les calcule séparément, leur somme donne A et B. Pour les Tables de Bessel, les quantités C et D ont été déterminées par Bessel de 1 760 à i85o; A et B ont été calculées par Steinheil et Knorre, pour Tintervalle de 1750 a 1800, et par Olufsen, de 1800 à i85o.

Les Tables des valeurs de A, B, C, D, t et £ étant construites, on prendra dans les Catalogues les quantités

fl, ô, c, rf, a' y h\ c', d\ \i. et p'.

TABLES DE BESSBL. 267

relatives h Tétoile, et on formera les quantités

a'— a = Afl -f- Bô -h Ce -f- Dfif -h Tfi 4- E,

S' — $ = A/i'-h B6'-h Cc'-h Dd'-h T^ ,

et on aura de dix en dix jours, au moment du passage au méridien, les réductions au jour en ascension droite et en déclinaison.

Lorsque l'ascension droite de l'étoile diffère de 18^4^*", les valeurs ainsi trouvées pour a' — a et 9' — d ne correspondent pas au moment de la culminalion.

I® L'ascension droite surpasse 18^4^*" : on devra pour obtenir le moment du passage au méridien ajouter à chacun des jours de la Table le temps

2® L'ascension droite est moindre que 18^4^"* ^^"^ ^ ^^' la culmination, quia lieu au jour où commence Tannée civile, ne tombe pas le jour indiqué dans les Tables par janv. o, mais bien le jour précédent; par conséquent, si partant du commencement du jour, janv. o, on veut retrouver le passage de cette étoile au méridien, il faut à chacune des dates de la Table ajouter

Ces deux expressions (i) et (2) se réduisent à une seule

si l'on convient de supprimer l'unité, lorsque a > 18^ 4®*"'

On trouve les valeurs de a', p. 16 des Tabulœ Regiomontanœ^ de centième en centième, c'est-à-dire pour des valeurs de a variant

de i4"">4-

En outre, puisque le jour oCi l'ascension droite moyenne du Soleil égale celle de l'étoile, celle-ci passe deux fois au méridien, il faut ce jour-là ajouter l'unité à la date de la Table ; l'argument

complet est donc

208 ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.

OÙ i = o depuis le commencement de l'année jusqu'au jour où Tascension droite moyenne du Soleil est égale à a, et / =-i- i, à partir de cette époque.

La durée de la révolution du Soleil ne comprenant pas un nombre enlier de jours, les Tables de Bessel conviennent chaque année à un méridien différent. En d'autres termes, les valeurs de a! — a et ^ — 9 déduites des Tables ne correspondent pas à 18^4^*" de chaque méridien, et pour obtenir ce résultat une petite correction est nécessaire. Soit K. la différence exprimée en temps des longitudes de Paris et du lieu pour lequel la longitude moyenne du Soleil est 280® au commencement de l'année, différence que nous supposerons positive si le lieu est à l'est de Paris; soit en outre d la différence, exprimée en temps, des longitudes de Paris et du méridien où se font les observations, et prise au contraire négativement si ce méridien est à l'est de Paris: il faudra, aux valeurs de a' — a et ^' — 9 déduites des Tables pour la date donnée, ajouter les quantités dont varient les différences pour l'intervalle de K + ^. Si à la date donnée on ajoute ce nombre R + </, exprimé en parties du jour, on la réduit à l'année fictive; aussi Bessel a-t-il appelé your réduit la date ainsi corrigée.

La quantité d se déduit des longitudes géographiques déterminées directement, et que l'on trouve dans tous les Annuaires astronomiques.

•Les valeurs de K s'obtiennent au moyen de la formule

OÙ ft est le moyen mouvement tropique du Soleil en un jour, c*està-dire 5g'S"y 33, et L la longitude moyenne du Soleil au commencement de l'année pour le méridien de Paris. On a pris dans les Tables du Soleil les différentes valeurs de L, ou la formule qui donne L en fonction du temps( *), eton a réduit en Tables les valeurs

(*) La formule adopi(^e par Bessel, déduite des observations de Bradioy el de Besscl| «si la suivante

L = 2790 Sy 1", 86 -h a/, 6o5844./ -h o",ooo iQQ i8o5.« * - i4' 47'',o83. p, I est coniptc en années juliennes à partir de 1800, f représente pour les

TABLES DE BBSSEL. 269

de K (voir Tabulœ Regiomontanœ ^ p. i, pour toutes les années de i^So à i85o, et le Supplément de fVol/er^ pour les années comprises entre 1860 et 1880; les valeurs de K y sont données en parties décimales du jour et en heures, minutes et secondes). £n résumé, le problème que nous avons à résoudre étant le suivant : « Trouver les positions d'une étoile pour un certain nombre de jours successifs, tous ceux d'un mois, par exemple, » on trouvera dans les Tables les valeurs de A, B, C, D, t et E pour tout le mois, et à Taide des quantités <ar, 6, r, d et /*, a' , b'y c', d' et fx' prises dans les Catalo(;ues, on forutera les sommes

( a'— a — A« -f-BA H-Cc + Dfl^ -l-Tfx -t- E,

/ tî'— ^=rA«'-|-B^»' + Cc'-+-D^'-f-Ta',

en y ajoutant ensuite les produits des différences successives de a' — a et ^' — ^, par Targument

on aura, de dix en dix jours sidéraux, la réduction au jour pour IVpoquedu passage de Tétoile au méridien.

Ou encore, comme Ta proposé Bessel, on regardera les quantités (3) comme se rapportant à des dates précédant celles des Tables d'un nombre de jours marqué par le nombre entier contenu dans la valeur de K, et on interpolera pour la fraction de jour restante. On aura ainsi, pour ces dates nouvelles, et de dix en dix jours sidéraux, la réduction au jour pour Tépoque du passage de rétoile au méridien.

Bemarque. — Quand Tannée est bissextile il faut, dans les mois de janvier el février, ajouter 1 à rar|;iiment que nous venons d*: donner.

Exemple. — On cherche la correction delà position moyenne

annoes du xix* siècle, le reste r de la division par 4 du nombre l d^années; P'iur les années du xvni* siècle ç> = r — 4- — On trouvera dans les An-' nahs de VOhservatoire, vol. IV, p. io2 et suîv. la formule donnée par M. Le Verrier pour la longitude moyenne du Soleil, et les Tables qui en résultent pour cette longitude.

de Véga (a Lyre), pour avril 1861 et pour le temps de culminalion à Berlin. On a pour le commencement de Tannée

m=:46",o62, log/ï = I,302 20,

et on obtient ainsi

logû = 1 ,4797^ » loga'= 0,44889, log6 = 7,04973, log^'= 1,99569,

loge =7, 25409, logc'=: I ,98106,

l0g£/ = 0, 10309/1, log<i'=r 2,94233;

en outre

logfA = 7 , 44^5 , logfx' = 1 , 4564 .

De plus, on a, d'après les Tabulée reductwnum de Wolfer :

logA logB logC logD logT E

Mars 3 1 7,7494 0,5497 /î 1,2660/2 o,5668/ï i,39o5 -f-o,o5

Avril 10 7,7653 0,5279/2 1,2456/2 0,8488/2 1,4362 -f-o,o5

et on obtient ensuite, d'après les formules précédentes (A),

» ir