COS

cosD

serait la déclinaison corrigée de rinfliience de la latitude du Soleil, c*est-à-dire la déclinaison qu'on aurait obtenue si, au moment de l'observation, le centre de cet astre eut été dans l'écliptique. Soit X la distance du Soleil au point solsticial exprimée en ascension droite et par conséquent égale a 90° — A, on aura

coso: tangs = tangD.

Puisque, par hypothèse, x est très-petit, on peut, à l'aide de cette équation, développer «en une série rapidement convergente, qu'on obtient au moyen de la formule (18) du n° 11,

(A) « = D -f- tang' I a: sin 2 D -h tang* |xsiu4D -f . . . .

Cette formule permet de trouver l'obliquité de l'écliptique à l'aide d'une observation de la déclinaison du Soleil faite au voisinage du solstice. L'aberration, n'ayant d'autre effet que de changer la position apparente du Soleil dans récliplique, est évidem-

OBLIQUITÉ DB l'ÉCLIPTIQDB. ^85

ment sans influence sur le résultat. De même, la valeur de f variera peu quand on réduira A et D à un autre équinoxe en tenant compte de la précession. Mais si A et D sont afTectés de la notation, la valeur Irauvée pour s sera celle de Tobliquité apparente de récliplique afTectéc de la notation.

Exemple. — Au 19 juin i843, on a observé à Kœnigsberg la déclinaison du Soleil ; corrigée de la réfraction et de la parallaxe, cette déclinaison était + 23^26' 8'', 57; on a trouvé à la même époque, pour Tascension droite, 5**4^"'5o%54* Ainsi, dans ce cas,

x^=i o'»ii™9%46 = 2*»47'2i",9o,

et, puisque la latitude du Soleil était + o^, 70, on avait

Déclinaison =4- iS^^ô' 7", 87

Premier terme de la séi ie. . . = -h i • ^9 > ^3

Deuxième terme de la série. =4- o ,04.

Cette valeur est Tobliquité apparente pour i843 juin 19, telle qne l'aurait donnée cette observation. Calculons maintenant la nutation de l'obliquité d'après les formules du n® 61 ; à cete date

Qr:r272«>37',4, ©= 87» o', O,

nous avons donc

Ae=: -f-o",o5,

et, par conséquent, cette observation donnera, pour l'obliquité moyenne en ce jour,

On serait arrivé au même résultat^ mais par une voie plus longue, en corrigeant A et D de la notation, comme on Ta montré aux n®*61 et 63, et en faisant avec ces valeurs corrigées les calculs indiqués par la formule (A). La nutation en Idngitude est égale à

286 ASTRONOMIIS SPHÉRIQUE.

' on a, par conséquent,

et, par suite,

Déclinaison corrigée. . . = -f- 23** 26' 7", 48

Premier terme = H- i . 29 , 67

Deuxième terme = -I- o , o4

Obliquité moyenne. ... = H- 23^27' 37'', 09

Élimination des erreurs, — Pour obtenir un résultat indépendant des erreurs accidentelles d'observation , on observera aussi souvent que possible la déclinaison du Soleil dans les jours voisins du solstice, et on prendra pour valeur de l'obliquité, la moyenne des valeurs déduites de chacune de ces observations.

Mais de cette manière les erreurs constantes dont peuvent être afléctés 07 et D né sont point éliminées. Désignons par t' l'obliquité calculée avec les valeurs précédentes de x et D, par e la valeur exacte de l'obliquité, par dr et dD les erreurs de x et de D. Chaque observation donne une équation de la forme

# • 1^ . > sin2e ,

« = 8 •+■ V^ tanc;jrsin2eajr -+- -: ;r«D,

^ ° sm2D

qu'on obtient facilement au moyen de l'équation différentielle précédente, en y supposant dx exprimé en temps; ainsi, pour l'exemple précédent, on a

g= 23°27'37'', 09-t- o'\i\2,.dx H- i",ooi .<fD,

de telle sorte qu'une erreur d'une seconde de temps, commise sur jc, produit une erreur de o",2i2 sur l'obliquité. Prenons ensuite une valeur eo de g, telle que e = s© -4- r/e, et posons So — «' = n, on déduit de chaque observation une équation de la forme

o=:/H-//s — —tawv'xsMï'izdx : dv.

^ ^ sm 2 D

En traitant ces équations par la méthode des moindres carrés, nous obtiendrons les trois équations du minimum à l'aide des-

OBLIQUITÉ DE l'ÉCUPTIQUE. 287

quelles nous pourrons considérer ei& comme fonction âedxetdD; en d*autres termes, ces équations permettraient de trouver la variation dt correspondante à des variations dA= — dx, et dD des ascensions droites et des déclinaisons du Soleil : la valeur la plus probable de Tobliquité, déduite des observations d^un solstice, aura donc la forme

f' -4- adU -h bdxj

où la valeur du coefficient de dJ) est toujours très- voisine de Tunité.

S'il n'existe pas d'erreurs constantes dans D et x, ou, ce qui revient au même, si dD et dx sont nuls, on devrait, avec les observations faites à deux solstices consécutifs, trouver des valeurs de 6 ne différant entre elles que de o^\ 23, partie de la variation séculaire qui correspond à Tinter valle des deux observations- Mais les erreurs accidentelles commises sur chaque observation de la distance zénithale ou les erreurs accidentelles de la réfraction, ne disparaissent pas complètement de la moyenne des observations faites aux environs d'un même solstice; nous ne pourrons donc espérer obtenir une valeur exacte de Tobliquité pour une époque déterminée, qu'en réduisant à cette époque tous les résultats obtenus, comme nous venons do l'indiquer, pour un grand nombre de solstices différents et en prenant leur moyenne : de plus, en déterminant ainsi l'obliquité moyenne pour deux époques différentes, on aura en même temps la variation séculaire de cette quantité.

Cela posé, soit So -I- ds la vraie valeur de l'obliquité moyenne à l'époque /o> Af +^ sa diminution annuelle, et supposons que Tobservation ait donné le nombre c pour valeur de l'obliquité moyenne au temps t; si cette valeur était exacte, on aurait l'équation

Ainsi, en faisant

So — As(r — /„) — 8 =: /î,

chaque observation de l'obliquité moyenne, faite à Tépoque d'un

288 ASTRONOMIE SPHÊRIQUB.

solslice, doilnera une équation de la forme

o =z n -h de -h X (t — ^o)»

et, avec un grand nombre d'observations analogues, on pourra, par la méthode des moindres carrés, trouver les valeurs les plus probables de de et de x. Bessel a obtenu ainsi, par la comparaison de ses observations propres avec celles de Bradley, la valeur 23° 27' 54'^, 80 pour Tobliquité moyenne de l'écliplique en 1800, et 0^,457 pour sa diminution annuelle. Peters, en comparant les observations de Struve avec celles de Bradley, a trouvé, pour l'obliquité moyenne au temps t^

valeur que Ton regarde généralement aujourd'hui comme plus exacte.

Examinons maintenant le cas oi!i il y a dans les données des observations des erreurs constantes. Supposons en particulier que les observations des déclinaisons soient affectées d'une erreur constante comme, par exemple, si la latitude du lieu n'est connue qu'approxîmativement : dans ce cas, les valeurs de Tobliquité, déterminées aux solstices d'hiver et aux solstices d'été, présentent entre elles une différence constante. Or, soit ^^ la correction de la valeur adoptée pour la latitude, e et s' la valeur vraie de l'obliquité et la valeur déduite des observations. Comme (n** 51] D = z -4- ^, on aura, pour déterminer d(f, les équations

observations du solstice d'été. .... e = s' -^adf, observations du solstice d'hiver, ... s, = e', — a'df^y

dff

où s — 6| représente la variation séculaire. Telle est la correction de la latitude, en supposant que la détermination de s ne soit affectée d'aucune erreur constante. Mais on peut en outre trouver ainsi, par les observations des distances zénithales du Soleil faites aux jours des solstices d'été et d'hiver, une valeur déjà ap-