ASCENSIONS DROITES ABSOLUES

prochée de la latitude du lieu. Soient, en effet, z' et z" les distances zénithales observées et corrigées de la réfraction, de la parallaxe et de la nutation, et regardées comme négatives quand le Soleil passe au méridien au sud du zénith; on a évidemment

94-. Détermination des ascensions droites absolues des étoiles, — L'obh'quité de l'écliptique étant connue, on peut déterminer l'ascension droite absolue d*une étoile, et, à Taide des différences d'ascension droite, les ascensions droites de toutes les étoiles. On choisit toujours, dans ce but, une belle étoile que Ton puisse observer même dans le jour et qui soit située au voisinage de Féquateur, comme Procyon (a Petit Chien) ou Altaïr (a Aigle). Supposons actuellement que Ton ait observé au méridien Tétoiie et le Soleil aux temps f et T de la pendule; la quantité f — T, corrigée de la marche de la pendule, est égale à la différence de Tascension droite de Tétoile et de celle du Soleil à Tépoque de la ciilmination de ce dernier astre. Supposons de plus qu'on ait aussi observé la déclinaison du Soleil au moment de son passage au méridien, et soit D cette déclinaison corrigée de la parallaxe et de la latitude du Soleil, on aura Téquation

et, par suite,

sin A tangc = tangD ,

. tanc D „

a r= arc sin — ^^ h ^ — T.

tangt

En toute rigueur, le temps T doit en outre être corrigé de Tin • fluence de la latitude du Soleil par l'addition du petit terme

H — p cos A SPC 0 sm « .

Si la valeur c adoptée pour l'obliquité et la déclinaison D donnée par l'observation sont erronées, la valt^ur obtenue pfour a le sera également, même en faisant abstraction des erreurs d'observation qui peuvent avoir été commises sur l'intervalle t —T. I. 19

290 ASTRONOMIE SPHÊRIQUE.

Pour apprécier l*infliience de ces erreui^s, on se sert encore de l'équation différentielle trouvée au n° 93

SIQ 2 S sin 2 D

d'après laquelle chaque observation donne

,^, . tancD ^ atan£;A , 2 tan^A ,^

A amrarcsin — ^ \-t — t ^-2— rfsH--^ — %^ dJ).

tange •sin2c sin2D-

Cette équation montre que les meilleures observations sont celles qui sont faites au voisinage des ^quinoxes« En effet, les coefficients de ^s et r/D ont alors les plus- petites valeurs possi|>les j celui de dt est nul et celui de d\> égal à cot s, c'est-à-dire à 2, 3« De plus, il est facile de combiner les observations de manière à annuler les effets des erreurs constantes qui altéreraient les valeurs de s et de D. En effet, prenons toujours pour Tangle A celle des

valeurs données par l'équation sin A=r — ^-^ qui est inférieure

tangg ^

à 90^, et appliquons la formule précédente à Tascension droite du Soleil, 180° — A', A' ^tant un angle aigu; nous aurons, en désignant par /' et T' les époques de culmination de l'étoile et du Soleil»

. tangD' '■ , ^, atangA' , 2tangA' ,^ tang z sm 2 e sin 2 \y

équation qui, combinée avec la précédente, donne

, / . tangD * . tangD' « \

-f- ^ arc sin — î- arc sm — ^ 1- 180» I

' \ tange tange /

/tang A tangA^X ^^ \sin2D sin 2 D'y

tang A — tang A'

Sin2 6

Supposons maintenant que A' =: A, nous aurons aussi D'=rD. Ainsi, en observant les différences en ascension droite du Soleil et d'une étoile à des époques oCi les ascensions droites du Soleil sont supplémentaires, les coefficients de â?D et de dz dans l'équation (B)

ASCENSIONS DROITES ABSOLUES. . sgt

seront nuls^ et par conséquent les erreurs constantes commises sur la déclinaison et sur Tobliquité n'auront aucune influence sur Fascension droite de Tétoile. A la vérité on n^atteindra jamais rigoureusement ce résultat , car jamais il n'arrivera que le Soleil, ayant Pascension droite A à Tun de ses passages au méridien, ait exactement à un antre passage l'ascension droite i8o^^ A. Mais Af étant seulement voisin de i8o° — A, l'erreur résiduelle dépendant de dD et de de sera encore excessivement petite.

Ainsi, pour déterminer l'ascension droite absolue d'une étoile, il faut observer les différences d'ascension droite du Soleil et de l'étoile au voisinage des deux équinoxes. Si là première observation a été faite après l'équinoxe du printemps; on fera la seconde à la même distance avant l'équinoxe d'automne; réciproquement, si la première observation a été faite avant l'équinoxe du printemps, on devra faire la seconde après l'équinoxe d'automne et à la même distance. Par la combinaison de deux pareilles observations, les erreurs constantes de D et dé e disparaissent, et il ne reste dabs le résultat que les erreurs accidentelles commises dans l'observation du passage et de la déclinaison. Ces dernières erreurs ne peuvent être éliminées que par la multiplicité des observations; il faudra donc combiner non pas seulement deux, mais un nombre aussi grand que possible d'observations faites avant et après l'équinoxe du printemps, et pareillement avant et après l'équinoxe d'automne; dans ce cas il ne sera même pas nécessaire de se limiter au voisinage immédiat de l'équinoxe. Supposons que tto soit une valeur approchée dé a, de sorte que a = a^ -h rfa, et posons

. tanc^D , ,

a« — arc sin — [t — T) = n,

tangg ^ ^ '

chaque observation donnera une équation de la forme

2tangA , 2 tans A ,^ sin28 sm2D

à la condition que dD puisse être regardée comme constante pendant tout l'intervalle des observations. Traitant toutes ces équations

292 ASTRONOMIE SPBfiRIQUB.

par la méthode des moindres carrés, nous trouverons les valeurs les plus probables de doiy dt et dD; en d'autres termes» à l'aide des équations du minimum nous déterminerons «f a en fonction de dt etdD; en les substituant dans l'expression de doL^ nous trouverons la correction da. quf, combinée avec les valeurs de di et dD, rend minimum la somme des carrés des erreurs résiduelles. D'ailleurs, si les observations sont assez nombreuses et convenable^ ment réparties entre les deux équinoxes, les coefficients de d€ et dD, dans l'équation finale relative à da, seront toujours trèspetits.

Si les observations s'étendent à une grande distance des équinoxes, il peut arriver que dD ne puisse pas être regardée comme ayant une valeur constante pour toutes les déclinaisons observées; ce fait se présente quand, par exemple, les erreurs de division du cercle qui sert aux observations dépendent de la distance zénithale, ou bien encore quand la constante de réfraction employée a besoin d'une correction. Bien que, dans cette hypothèse, avec des observations faites symétriquement par rapport aux équinoxes, une pareille erreur n'ait aucune influence sur le résultat, néanmoins la valeur trouvée pour dD, ou le terme dépendant de dD dans l'expression finale de da, n'aurait aucun sens, ou du moins ne se rapporterait qu'à une valeur moyenne. Aussi, dans ce cas, on partage, d'après leurs distances zénithales, les observations en différents groupes dans chacun desquels on puisse regarder l'erreur ^D comme à peu près constante, et on traite chacun de ces groupes par la méthode des moindres carrés. Si la distance zénithale eut comptée au sud du zénith, on aura

on pourra donc remplacer, dans l'équation précédente, dD par df — dA'ASLUgz — p/(z), où dk représente la correction de la constante de la réfraction, et p/{z) la correction de lecture. Pour la détermination de ces inconnues elles-mêmes, on possède, en général, d'excellentes méthodes.

Exemple. — Au 24 mars 1843) Bessel a trouvé à Kœnigsberg, pour la déclinaison du centre du Soleil, corrigée de la réfraction

ASCENSIONS DROITES ABSOLUES^. SgS

et delà parallaxe ,

et pour différence des temps des passages au méridien du Soleil

et de Procyon (a Petit Chien), corrigée de la marche de la pen«

dule,

La latitude du Soleil était alors + o'\ 21 ; par conséquent^ la correction de la déclinaison était — o", 19, et celle du temps T était nulle. Il n'est pas nécessaire de corriger de Taber ration les quantités D et T relatives au Soleil^ puisque celle-ci n^a d'autre résultat que de déplacer le Soleil dans i*écliptique; pour Tétoile, au contraire, on emploiera la formule (A) du n° 80; et comme la longitude du Soleil est 3^ 10' et le lieu approché de Tétoile a=: 1 12" 46', ^= + 5*37', l'aberration en ascension droite pour rétoile est o*,42, quantité qu'il faut retrancher du temps ^; on obtient ainsi

Ces deux valeurs sont rapportées à i'équinoxe apparent au temps de l'observation. Si l'on prend pour obliquité moyenne à cette date 23** 27' 35", o5, il faudra y ajouter la nutation pour trouver l'obliquité apparente au temps de l'observation; mais ce jour-là

on a donc, d'après la formule ( A| ) du n° 61 ,

Aî = 4- i",72,

et, par suite,

. tancD , .

et comme A == arc sm — 2 — , on obtient

tangs

L'ascension droite rapportée à Téquinoxe apparent sera donc

Il faut ajouter +1", lo pour la nutation en ascension droite^ et en retrancher o'^yi pour la précession et le mouvement propre depuis le commencement de Tannée jusqu'au 24 mars ( la variation annuelle est 3', 14^)9 cela fait, si Ton calcule les coefficients de dD et de d$, cette observation donnera, comme ascension droite moyenne deProcyon pour 1843,0,

a= 7^3i""3%46"*~ 0,1539/fD — 0,0092 £fe,

où //D et ds sont exprimés en secondes d'arc.

Le 20 septembre de la même année, Bessel a trouvé par l'observation

or, en ce jour la latitude du Soleil était B = — 0^,56, et, par suite, la correction de la déclinaison D', — 0^^,51, et celle du temps T', 4- o*,oi ; pour l'éloile, l'aberration en ascension droite était — o", 56. On avait donc

D'=-f- !• 16' 29", 73, £' — r= — 4*»i7»5%27; en outre, ce jour-là, Qzr=267°42', 0=:i78«39S C = ï35o4i', Pr=28o''i4';

d'où l'on conclut

Tobliquité moyenne en ce jour était 23^27' 34"> 82, d'où

on ep déduit

ce qui donne pour ascension droite du Soleil, rapportée à Téqui-

EMPLOI DBS FONDAMENTALES. ^295

Doxe apparent^

ii^48"i4%5ï,

et, par conséquent

de plas, la nutation. étant égale â + i%ii, la précession et le mouvement propre à + 2% 27, cette observation donne, pour l'ascension droite moyenne de Procybn à T.époque i843, o^

a = 7'»3i*"5%86 — o, i539c?D -1-0,0094 dt,

et, de la moyenne arithmétique des deux déterminations, on

déduit

résultat débarrassé des erreurs constantes de D et de e ( *).

Nous aurions pu obtenir Tascension droite moyenne en retranchant de-D/T et t les réductions au lieu apparent, et négligeant pour le Soleil les termes dépendants de Taberration. En se servant de l'obliquité moyenne pour chaque jour, on aurait immédiatement trouvé l'ascension droite rapportée à l'équinoxe moyen du commencement de Tannée.

95. Déterminations relatives. Emploi des fondamentales. Observation des zones, — Dès que l'ascension droite absolue d'une étoile est parfaitement déterminée, on connaît les ascensions droites de toutes les étoiles dont on a observé les différences d'ascension droite avec la première ; on peut alors, en y ajoutant les déclinaisons, construire un catalogue de toutes les étoiles. Mais les as<eensioDS droites données dans les catalogues des différents observateurs peuvent présenter entre elles une difTérence constante

C*) Dans les Tabula Regiomontanw, on trouve a = 7^3i™ 4')^'* Comme la moyenne arithmétique s^approche de cette valeur, les erreurs accidentelles commises dans les deux [ours étaient presque égales. Aussi en comparant les déclinaisons observées avec les Tables du Soleil, on trouve pour erreurs de ces déclinaisons + 7">67 et + 8",a4*

29^ ASTRONOMIE SPHfiRIQUE.

causée par les erreurs commises dans la détermination de l*équinoxe. Quant à cette différence, on la détermine en comparant un grand nombre de positions d'étoiles données dans les différents catalogues y après les avoir toutes réduites à la même époque. Des différences analogues peuvent se présenter dans les déclinaisons; on les trouvera de la même manière. Mais les causes que nous avons indiquées précédemment peuvent rendre ces erreurs variables; il sera donc avantageux de comparer ensemble les étoiles comprises dans des zones d'un certain nombre de degrés, et de déterminer séparément la différence propre à chacune de ces zones.

Afin de faciliter la recherche des positions relatives des étoiles ainsi que celle des planètes et dçs comètes, on a fixé avec une grande exactitude les positions apparentes d'un certain nombre d*étoiles appelées fondamentales ; les Ephémérides astronomiques contiennent ces positions de dix jours en dix jours pour l'instant de leur passage au méridien. Pour trouver ensuite l'ascension droite et la déclinaison d*un astre inconnu , on le Comparera à une ou plusieurs étoiles fondamentales, et on déterminera, en suivant les méthodes indiquées plus haut, leurs différences en ascension droite et en déclinaison. Si la déclinaison de Tastre inconnu diffère peu de celle de l'étoile, les erreurs instrumentales auront à peu près la même influence sur les deux observations et disparaîtront presque entièrement dans la différence.

Lorsque Tastre dont on veut déterminer la position est trèsvoisin de l'étoile, on peut, pour observer les différences en ascension droite et en déclinaison, employer, au lieu d*un instrument méridien^ une lunette munie d'un micromètre (instrument qui sera décrit dans le second volume). Cette méthode est trèsavantageuse, car elle permet de répéter l'observation aussi souvent qu'on le veut, et dispense d'attendre le passage de l'astre au méridien; il faut remarquer, de plus, que, dans le cas où il s'agirait d*un astre faible, Tobservation méridienne en serait impossible si ce passage avait lieu dans le jour. C'est pourquoi l'on emploie toujours la dernière méthode quand on veut obtenir les positions relatives d*étoiles très- voisines, ou les positions des planètes et des comètes nouvelles. Il faut donc connaître un grand

OBSERYATIONS DES ZONES. 297

nombre de positions d'étoiles, afin d*en avoir en toutes circonstances qui puissent servir à des comparaisons micrométriques avec l'astre inconnu. Dans ce but, et en même temps dans le but plus général d'arriver à une connaissance plus approfondie du ciely on a construit et on construit encore chaque jour de nombreux recueils d'observations de petites étoiles jusqu'à la g* et 10* grandeur. Afin de pouvoir observer le plus grand nombre possible d'étoiles, et aussi pour faciliter la réduction à leur position moyenne,, l'astronome ne prend chaque jour que les étoiles comprises dans une zone peu étendue en déclinaison, et noie pour chacune d'elles l'instant de son passage et la lecture du cercle. Les observations de ce genre sont appelées observations des zones. On construit ensuite des Tables spéciales à chaque zone, qui permettent de déduire, de la position observée d'une étoile , sa position moyenne à une époque déterminée; il sera d'ailleurs très-facile de calculer ces Tables de nouveau, si l'on vient à posséder des éléments de calcul plus exacts, par exemple dçs positions d'étoiles plus précises. Cette méthode d'observation par zones offre donc (le grands avantages.

I.e temps observé t du passage de Tétoile au fil de l'instrument et la lecture z du cercle doivent subir certaines corrections avant de servir au calcul de Tascension droite et de la déclinaison moyennes de l'étoile. A la valeur de / il faut ajouter l'état de la pendule, la déviation du fil hors du méridien, la réduction au lieu apparent avec un signe contraire, et la précession pour l'intervalle compris entre l'observation et l'époque. Dans la valeur de z on doit introduire l'erreur de collimation du cercle, les erreurs de flexion et de division, la réfraction, et, comme plus haut, la réduction au lieu apparent avec un signe contraire et la précession. On peut, en adoptant la marche suivie par Bessel, effecUier trèscommodément ces corrections. On construit :

I® Une Table qui donne les valeurs k et d de ces corrections pour une déclinaison D correspondant au milieu de la zone et de dix en dix minutes de temps pour toute l'étendue de la zone ;

1^ Une Table qui contient les variations k' eid' de ces corrections pour une variation de 100 minutes dans la déclinaison.

L'ascension droite et la déclinaison moyennes d'une étoile pour

^9^ ASTRONOtflE SPHtBIQUE.

répoque assignée s^obtiendront alors par les formules

loo

où Z désigne la lecture du cercle pour la déclinaison D correspondante au milieu de la zone.

Comment déterminer les quantités /, r/, A-', d'}

Soient :

u et «' rétat de la pendule et sa marche horaire ,

e ete' la déviation du fil en dehors du méridien correspondant

à la lecture Z, et sa variation pour ipo minutes, P la lecture correspondante au pôle, p et ^ la réfraction et les erreurs de division et de -flexion, p' et s' leurs variations pour loo minutes, A a et CkSles réductions au lieu apparent;

supposons de plus que les divisions aillent en croissant dans le même sehs que les déclinaisons, et prenons pour époque le commencement* de Tannée, nous aurons

ai=r + tt4-<?-*-a'(r — T) -t-<?' ^^ A.a,

lOO

S =zz — V -h Q0° zizp-nzû' hs-j-s

^ ^^^^^^ loo ioo

D^ailleurs, les foirmules du n® 89 donnent *

Aa = -— 4- -^ sin (G -4- a) tangD + —= sin (H -h a) séc D

-^ i— — — ^ioo'-+--=sin(H+a)-^^iOo' —

i5 cos^D i5 ^ ' cosD J n

==g'cos(G-f- a) -f- Acos(H -4- a) sinD -f icosD

-4- [Acos(H4-a)cosD.ioo'— isinD. lOo']

IOO '

nous trouvons donc

i =:u -f-tf-f-a'(^ — T)— -^ — ^sin{G-t-a)tangD,

psin {H -t- a)sécD,

., , g' sin(G + a) , à , ,„ . tangD ,

^' =<?' — -% ^ ^ loo' -f- -^ sija H -f- a — s— loo',

10 cos^D i5 ^ / cosD

d z= — P -^go^'zpp-hs — gcos{G -ha)

— Acos (H -+-a)sinD — /cosD, d'=:zjpp' -+- j' — [Agos(H -f- a)cosD.ioo' + «sinD.ioo'j.

On détermine l'état de la pendule et la collimation du cercle a Taide d'étoiles connues de la zone, ou au nioyen d'étoiles fondamentales observées avant et après la zone. On considère les erreurs instrumentales, la collimation et la marche de la pendule coname constantes pendant toute la durée de l'observation dç la zone. De plus, on construit des Tables contenant pour toute l'étendue de la zone les valeurs de A-, A\ d, d\ correspondantes à des valeurs de / distantes de lo minutes, et on obtient, par interpolation , les valeurs intermédiaires.

m. — Des méthodes employées pour déterminer les valeurs les

PLUS PROBABLES DES CONSTANTES QUI SERVENT A LA RÉDUCTION DES POSITIONS DES ÉTOILES.

96. Détermination de la latitude et de la constante de la réfraction par la combinaison des culminations inférieure et supérieure des circumpolaires. — Détermination du coefficient de dilatation de l'air atmosphérique, -^ Nous avons montré au n* 92 comnient l'observation permet de trouver les distances zénithales apparentes des étoiles ; on les corrigera ensuite de la réfraction si l'on veut avoir les dislances zénithales vraies. Supposons qu'on ait observé la distance zénithale d'une circompolaire à son passage supérieur et à son passage inférieur, et corrigé le résultat de la réfraction et des petites variations de l'aberration, de la nutation et de la précession pendant l'intervalle de temps qui sépare les

3oO ASTBÛMOHIE SPHfiBIQUB.

deux observations, la moyenne arithmétique des distances zénithales corrigées sera égale au complément de la latitude, ou colatitude du lieu d'observation.

Une série d'observations de ce genre faites sur les étoiles devrait, si les valeurs adoptées pour les constantes de la formule de la réfraction étaient exactes, donner pour la colatitude des valeurs égales, ou des valeurs dont les différences resteraient comprises dans les limites dés erreurs possibles d'observation et des erreurs accidentelles de réfraction (n® 77). En réalité les latitudes trouvées à Taide d'étoiles diverses présentent toujours entre elles des différences bien plus considérables, et par cela même ces observations permettront de corriger les constantes qui servent de base au calcul des Tables de réfraction.

Désignons par z et Ç les distances zénithales observées à la culmination supérieure et à la culmination inférieure; par /-et p les réfractions correspondantes; et soit ^ la latitude du lieu, supposée boréale, nous aurons les équations

oh les distances zénithales sont regardées comme négatives lorsque rétoile est au sud du zénith, et où nous prendrons le signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que l'étoile, à sa culmination supérieure, est au nord ou au sud du zénith. Ces deux équations donnent

Les distances zénithales ^ et s' d'une autre étoile, observée aussi aux époques de ses deux culminations, fournissent une équation

analogue

Ces deux équations nous permettent de trouver la valeur de f et celle de la constante qui entre comme facteur dans p, p', r et r ; mais, à cause des erreurs d'observation, ces valeurs ne seront qu'approchées. De plus, ainsi que le vontre Téquation (/) du n° 73, la réfraction n^est pas rigoureusement proportionnelle à la

CONSTANTE DE LA RÉFRACTION. 3oi

coDStante a; et, outre la constante a^ les formules de la réfraction en renferment d'autres, dont il serait désirable de déterminer les valeurs par Tobservation. La formule dlvory contient, en même temps que a, la constante/* qui dépend de la loi du décroissement de la température avec Télévatiou au-dessus de la surface de la Terre, et qui, n*ayant d^ailleurs d'influence sensible qu'au voisinage de l'horizon, peut être négligée ici. Comme toutes les autres formules, elle renferme encore le coefficient de dilatation de Tair, qu'il sera avantageux de déterminer aussi par les observations astronomiques. En effet, ce coefficient dépend de l'état hygrométrique de Pair, sa valeur obtenue à l'aide d'un grand nombre de réfractions observées, conviendra donc à un état hygrométrique moyen de l'atmosphère, et par suite les réfractions calculées avec ce coefficient auront des valeurs aussi voisines que possible de la moyenne d'un grand nombre d'observations, c'està-dire les valeurs que Ton aurait obtenues en supposant à l'atmosphère un état hygrométrique moyen. Soient R la réfraction moyenne, R' la réfraction vraie, on a (n" 76)

siA = i-l-9, ^^i-H-/?, « = — ^et T, = 5o" F. On obtient donc

dct, I -+- i(t — 00 )

ou

da l-l-e(T — 5o)

eo posant

a-f-rfa=:a(i + A'), t-\- di=i f(l, -+-/). Mais la forgnule (/) du n® 73 donne

L'influence du dernier terme du second membre de cette équation

3o2 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.

ne commence à se faire sentir que pour des distances zénithales supérieures à 80®. Soit encore

réquation devient

quant aux valeurs de j elles se tirent de la Table suivante :

Supposons maintenant que les réfractions employées dans le calcul de Téquation (a) doivent être corrigées de dp et dr^ et

désignons par m. et fx les deux valeurs de — ^— qui correspondent à la culmination supérieure et à la culmination inférieure; nous aurons

Soit fo une valeur approchée de ç, de sorte que ^ =: ^o + ^f î soit de plus

en combinant les deux passages d^une même étoile nous obtiendrons une équation de condition qui aura la forme

(b) o=:/î-|-flfç+ iL(i4-lj ±r \k — \{p^p±mr)L

GOEFFIGIBNT DE DILATATION DE l'aIR. 3o3

Les observations des différentes étoiles n*ont pas le même poids, car les erreurs accidentelles d'observation sont de plus en plus grandes à mesure que l'étoile traverse le méridien plus près de l'horizon. L'erreur probable d'une observation augmente donc 'en général avec la distance zénithale méridienne de l'étoile. Si les valeurs de ^^ , A et i étaient déjà connues et substituées dans les équations, les quantités n représenteraient les erreurs réelles d'observation, et Ton pourrait, pour chaque étoile, déterminer Terreur probable d'une observation. Mais puisque ces valeurs sont inconnues, la différence entre le résultat de l'observation d'une étoile et la bfioyenne, permettra seule de déterminer cette erreur probable. Soient w et t^ les erreurs probables dé l'observation d'un passage supérieur et d'un passage inférieur d'une

étoile, en divisant par y/wc» h- w'^ toutes les équations relatives à cette étoile, on donnera le même poids aux équations relatives aux différentes étoiles. On résoudra alors toutes ces équations, et dans le cas où leur résolution donnerait, pour les erreurs probables, des valeurs sensiblement différentes, on recommencerait le calcul. Les étoiles qui passent au méridien ^u sud du zénitji» peuvent aussi servir à déterminer la correction i du coefficient de dilatation de l'air. En effet, en conservant les notations déjà» employées, et en considérant les distances zénithales comme positives, on a

cpe — B^-^ d[ff — ^)r=rz-t-rH-r(iH — J k — /wn,

ou

mri^

SI

Multiplions encore les équations relatives à chaque étoile par les poids correspondants, et, de toutes les équations relatives à une seule étoile, tirons les équations du minimum, nous pourrons ensuite éliminer les inconnues d[$ — ^ ) et A-, de telle sorte que chaque étoile donnera en définitive une équation de la forme

3o4 ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.

Toute circonipolaire observée à ses deux culminations fournira aussi une équation de ce genre, que l*on obtiendra en traitant de la même manière les équations (b) relatives à cette étoile. On a donc ainsi autant d'équations de la forme (d) qu'il y a d'étoiles observées; il est facile d'en déduire la valeur la plus probable de i (*)* Telle est la méthode suivie par Bessel pour déterminer la quantité /, et avec elle le coefficient de dilatation de Tair pour un état hygrométrique. moyen de l'atmosphère. Il a déduit de ses observations faites à Kœnigsberg (voir Bessel, Jstronomisvhe Beobachtungen, septième Partie, p. x) la valeur 0,0020243 pour un degré Fahrenheit. Actuellement substituons à / sa valeur la plus probable, dans les équations (é), ou plutôt dans les équations du minimum trouvées pour chaque étoile; par la combinaison de toutes les équations, nous obtiendrons ensuite les valeurs les plus probables de d<f et de Â- (**).

Pour avoir égard aussi à la correction de la constante/, il

aurait fallu ajouter dans ^R' le terme --TTr d/, ou, en posant

dK' Ti' h

/ 4- <(/'=/( I -4- ^), le terme /— rv^ = » dans lequel les

df X

valeurs de x se tirent de la Table suivante :

(*) Les variations de la tempéra ttire ayant une influence d^autant plus grande que les étoiles sont plus basses, i) convienrlra de n^employer dans ce calcul que des étoiles dont la hauteur méridienne est inférieure à 60°.

(**) Les équations de condition employées dans Tesemple du n<^ 25, sont celles que Ton aurait obtenues en supposant le même poids à toutes les observations et en prenant la moyenne arithmétique de toutes les équations relatives à une étoile. Si la valeur de 1 est déjà corrigée, la forme des équations sera o = it + «'f + «A. Bessel ayant rapporté toutes ces observations au point poluire du cercle, et non pas comme on Pa supposé tel à son point zénithal, la valeur qn^il a donnée pour le coefficient a est différente de celle que nous avons employée.

G0NSTAI4TES DE l'abBRRATION ET DE LA NUTATION. 3o5

97. Constantes de l'aberration et de la natation; leur détermination par l'observation de la Polaire; parallaxe annuelle, — L'aberration, la nutation et la parallaxe annuelle forment l'ensemble des termes périodiques contenus dans l'expression des positions apparentes des étoiles, ternies dont il faudra déterminer les constantes par l'observation des positions apparentes des étoiles à différentes époques. L'aberration et la parallaxe ont une période d'une année, et par conséquent peuvent être déterminées par la comparaison des lieux apparents observés pendant le cours d'une année. Le terme principal de la nutation a une période de i8 ans et 219 jours, temps de la révolution complète des nœuds de l'orbite lunaire sur l'écliplique; on ne pourra donc trouver la constante de la nutation que par la comparaison d'un grand nombre d'observations de positions apparentes faites pendant une longue suite d'années.

Les observations les plus convenables pour la détermination des constantes de l'aberration et de la nutation sont celles des ascensions droites de Tétoile polaire, dont les positions apparentes éprouvent de grandes variations, comme le prouve la présence des facteurs séc ^ et taDg<^. Pour la même raison, il y aura un grand avantage à appliquer la même méthode à la détermination de la parallaxe de l'étoile polaire. Posons

• fl sin A =: — cos a cos e,

a cos A = — sin a,

et désignons par k la constante de l'aberration, par tt la parallaxe, et par y(^*) les termes du second ordre; les formules des n*** 80 et 82, relatives à l'aberration et à la parallaxe en ascension droite, donnent

a! — a =: H- ^rt sin (O -h A) séc à

7racos(0 -4- A) séc^ + ç{X-2).

Si l'on a fait un grand nombre d'observations aux épo(|ues oii sin(Q + A) =: di I , pour lesquelles l'aberration atteint son maximum, la comparaison des ascensions droites, observées à ces I 20

3o6 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.

deux époques et réduites à un même équînoxe moyen, donne une valeur approchée de /-; on en obtiendra ensuite une valeur plus exacte en déterminant la valeur la plus probable qui résulte d'un grand nombre d'observations. Appelons Aa et Lk les erreurs de l'ascension droite moyenne a et de la valeur adoptée pour la constante l-, en sorte que a -f- Aa et X* -h AA- soient les valeurs exactes de ces quantités. Appelons encore a, l'ascension droite apparente déduite de a au moyen de la précession et de la nutation supposées exactes, et du nombre k adopté pour constante de l'aberration, ascension droite dans laquelle on a conservé les termes qui dépendent de k^ et du produit de l'aberration et de la nutation ; car ces termes, très-petits par eux-mêmes, varient fort peu pour une petite correction apportée à la valeur de k. Désignons enûn par o! Tascension droite apparente observée, nous aurons

a' = ao -i- Aa-4-AA-.«sin(0 -h A) séc5-f- 7r<a cos (© -Ir A.) séc^;

et si Ton pose

ao — a' = /i,

toute observation de l'ascension droite de la Polaire fournira une équation de la forme

o=:/i -f- Aa 4- AA.«sin(0 -h A) séc^ -t-izacos[Q -f- A) séc^.

La combinaison de toutes ces équations permettra de trouver, par la méthode des moindres carrés, les valeurs les plus probables de Aa, AX- et cr.

Si les observations sont réparties dans une longue période d'années, on pourra déterminer en même temps la constante de la nutation, c'est-à-dire le coefficient de cos Çl dans l'expression de la nutation de l'obliquité. Désignons par Av la correction de ce aoefficient j il faudra ajouter aux équations de condition* précédentes le terme -\ ^^ Av (la valeur de -— -^a été donnée au

n® 62). L'équation complète qui permet de déterminer, par des observations d'ascensions droites apparentes^ les constantes de

PARALLAXE AimU£LLE BE LA POLAIRE. 807

l'aberration et de la nutation, ainsi que la parallaxe annuelle de la Polaire, est donc

o = /i -f- A a -h AA- . a sin (O 4- A) séc ^

-f- ira cos(0 -♦- A) sec ^ -h — r— Av.

On peut faire servir à cette détermination les observations de différents observatoires; maîs'il faut alors attribuer à chaque série d'équations le poids qui lui correspond, en déterminant les erreurs probables des observations faites en chaque observatoire» La correction A a peut n*avoir pas non plus la même valeur pour des observations faites en deut observatoires différents, puisque entre les ascensions droites observées il peut y avoir une différence constante. Après avoir déterminé cette différence, on l'ajoutera aux observations de chaque observatoire, ou bien on éliminera les quantités inconnues A a, Aa', . . . entre les équations données par les observations de chaque observatoire.

Cette méthode a été appliquée par Lindenau (*) aux ascensions droites de la Polaire observées dans un intervalle de 60 ans par Bradley, Maskelyne, Pond, Bessel et Lindenau lui-même; il a trouvé

avec 6o3 observations faites par Struve et Preuss à Dorpat, de 1822 à i838, Peters a obtenu (**)

Am2o",425 5, v = 9'^,236l, 7r = 0^,172 4.

Quand on veut faire servir la déclinaison à la détermination dé ces constantes, les observations de la Polaire sont encore trèsayantageuses ; car eâ faisant à chaque culmination un grand* nombre de pointés sur cette étoile, on peut pour ainsi dire rendre ces observations aussi exactes qu'on le veut.

(*) LisiDERAU. — Comparaison de 810 observations de la Polaire, faites par Bradldy, Maskelyne, Pond, Bessel et Lindenau. «- lahrbuch de Bodcj pour 1820, p. a 10.

{**) Peters. — Tfumerus constans nutationis,

3o8 ASTRONOMIE SPHËRIQUE.

Posons

^ sin B =: 4- sin a sîn S cos s — cos (î sin s ,

^cosBm — cos a sin ^.

L'aberration en déclinaison aura pour expression Ab sin (0 + Bj, et la parallaxe 7r^cos(0 + B). Appelons ^o la déclinaison apparente déduite de la déclinaison moyenne à Taide de la précession supposée exacte, des constantes A et v de Taberration tt de la nutation, et en tenant compte des petits termes qui dépendent de X^ et du produit de l'aberration et de la nutation; appelons encore d' la déclinaison apparente observée, et posons S^ — S' = 77, chaque observation de la déclinaison fournira une équation de la forme

o = /ï-4-A(Î4- AA-.ôsinO-hBj-hTT^^cosO -h B) +-7-^av,

et si les observations embrassent une période de temps suffisamment longue, on pourra, par la méthode des moindres carrés, déterminer les valeurs de A^, A^, tt et Av (*). C'est en faisant des observations de ce genre, et en particulier en observant les distances zénithales méridiennes que Bradley découvrit Taberration. A partir de l'année 1725, il suivit à Kew l'étoile 7 Dragon et 22 autres étoiles passant près du zénith de ce lieu, et remarqua une variation périodique de leur distance zénithale, qui ne pouvait s'expliquer par l'effet de la parallaxe, dont la découverte était le but réel de ses observations. Il reconnut plus tard que cette variation résultait de la combinaison du mouvement de la lumière et de celui de la Terre. L'instrument dont il se servait pour ces obs.ervations était un secteur zénithal, c'est-à-dire un secteur circulaire d'un très-grand rayon, avec lequel il pouvait observer les distances zénithales des étoiles dans un intervalle

{*) Dans le cas où Pétoile possède un mouvement propre, on doit ajoaler aux équations qui donnent Pascension droite et la déclinaison des tjermes de la forme p (i — i^) et q (i — f,), où p ei q &oni les mouvemenls propres en ascension droite et en déclinaison; a et ^ repre'SL* nient alors les positions moyennes à Tépoque t^.

MÉTHODE DE STRUYE. Sog

de 12** de part et diantre du zénith. L'étoile 7 Dragon, étant située près da pôle de Técliptique, était particulièrement propre à la détermination de la parallaxe, et par conséquent aussi de Taberration. En effet, pour le pôle de Técliptique : a =270°, S = po® — e, donc b =: 1 et B = — 90°; par conséquent aussi le maximum et le minimum de l'aberration et de la parallaxe en déclinaison ont pour valeurs =ti /- et dz tt.

C'est encore par des observations analogues faites à Kew et à Wanstead que Bradley fut conduit à la découverte de la nutation. Ces observations s'étendent du 19 août l'j^'j au 3 septembre 1747 : elles comprennent donc une période complète de la nutation. Busch (*) par la discussion de 1949 d'entre elles a obtenu

Lundahl a déduit de plus de i 200 observations de la déclinaison de la Polaire faites à Dorpat par Struve et Preuss,

La valeur de la constante de la nutation donnée au n° 61 est celle qu'a publiée Peters dans son Mémoire [Numerus constans nutationis) : elle est déduite des trois déterminations précédentes faites par Peters, Busch et Lundahl^ en tenant compte de l'erreur probable de chaque résultat.

Méthode de Struve par l 'observation des étoiUs dans le premier vertical, — La valeur de la constante de l'aberration donnée au D° 80 ne résulte pas des valeurs précédentes, mais elle a été obtenue par Struve à Paide des observations de passage de certaines étoiles dans le premier vertical.

Si avec un instrument exactement installé dans le premier vertical on observe le temps du passage d'une étoile dans ce plan, rétoile étant d'abord à Test, puis à l'ouest (vo/r au n" 26 du second volume], la demi-différence des temps observés sera égale à Tangle horaire dé Pétoile au moment de son passage dans le pre-

(*) Réduction qfthe ohstrvations madc hy Bradley j to détermine thé quant ities qf aberration and nutation, by D** Bcsca (Oxford, i838).

3lO ASTRONOMIE SPHÊRIQUE.

mier verlical. Soit t cet angle horaire, le triangle rectangle formé par le zénith, le pôle et l'étoile donnera l'équation

tang § = tang tf cos t^

d'où résulte la possibilité de déterminer les déclinaisons des étoiles par des observations de ce genre. Prenons les logarithmes des deux membres et différentîons, nous obtiendrons

, ^ sin 2 (î , . * ,

^0 = —. — — d(f — -j smt2o tang^.ar.

sin 1 cp

Ainsi une erreur commise dans l'observation de t a une influence d'autant moindre que t est plus petit, c'est-à-dire qu^au moment de son passage dans le premier vertical, l'étoile est plus voisine du zénith. Si la distance zénithale est très-petite, cette méthode donnera donc avec une grande exactitude la déclinaison d'une pareille étoile. Chaque étoile fournit une équation de condition analogue à celle que nous avons donnée, et les étoiles qui permettront la meilleure détermination de la constante sont évidemment celles qui sont situées près du pôle de Técliptique. Telle a été la marche adoptée par Struve (*)• Ses observations s'étendent à un grand nombre d'étoiles, offrent la plus grande concordance, et la valeur 20'^, 44^1 qu'elles donnent pour la constante de Taberration est certainement fort approchée de la vérité. Mais elles embrassent un intervalle de temps trop restreint pour pouvoir servir à la détermination de la constante de la notation; cependant la même méthode donnerait avec un grand degré d'approximation la valeur de cette constante ainsi que la parallaxe de ces étoiles.

Détermination de la constante de l* aberration à Vaidc des éclipses des satellites de Jupiter, — Comme on l'a vu au n** 80, la constante de l'aberration sç déduit immédiatement de la vitesse de la lumière et de la vitesse du mouvement de, translation de la Terre. Le moyen mouvement sidéral de la Terre en un jour est connu avec la plus grande exactitude, il est égal à 59' 8^193.

(*) Struve. — Obsetvationes astronomicœ, vol. 3, p. LXiv (Dorpat).