ÉCLIPSES BBS SATELLITES DE JUPITER. 3 II
Reste donc à trouver la vitesse de la lumière. La première détermination de ce nombre a été faite en 16^5 h TObservatoire de Paris, par Pastronome danois Olaf Rœmer, à l'aide des éclipses dbs satellites de Jupiter. En observant avec assiduité ces éclipses, et en particulier celles du premier satellite, il reconnut que le phénomène était irrégulier : l'intervalle qui sépare deux immersions ou deux émersions consécutives n'est pas constant; à partir d'une opposition de Jupiter jusqu'à la conjonction suivante, cet intervalle est plus grand que sa valeur moyenne calculée à Taide d'un grand nombre d'éclipsés; de la conjonction à l'opposition^ il est au contraire moindre que cette valeur moyenne. Rœmer expliqua cette différence en supposant qu'il existe un rapport fini entre la vitesse de la lumière et la vitesse de translation de la Terre. Dans cette hypothèse, le temps qui, pour l'observateur, sépare deux immersions consécutives doit en effet augmenter, si la distance de la Terre à Jupiter augmente. La somme de tous les retards constatés depuis une opposition jusqu'à la conjonction suivante est égale au temps nécessaire à la lumière pour parcourir le diamètre de l'orbite terrestre. Soit K ce temps exprimé en secondes, A la distance du satellite de Jupiter à la Terre exprimée avec le demi grand axe de l'orbite terrestre pour unité et T l'époque du commencement ou de la fin d'une éclipse donnée par les Tables; pour faire concorder ce temps avec le temps observé, il faudra lui ajouter le terme + KA qu'on appelle équation de la lumière.
Soit donc To l'époque ainsi corrigée de l'immersion ou de l'émersion du satellite dans le cône d'ombre portée par Jupiter, T' l'époque observée. Chaque observation d'éclipsé donnera une équation de la forme
o=:T.— T'4-Ae/K.
Un grand nombre d'observations de ce genre permettront de trouver la valeur la plus probable de dK, Mais l'observation d'une immersion ou d'une émersion est toujours incertaine, car le satellite ne perd que graduellement son éclat, et Terreur d'observation dépend de la puissance de la lunette. II conviendra donc non-seulement de ne combiner que les observations faites avec
3l2 ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.
un même instrument, mais aussi de traiter à part les observations d'immersion et les observations dVmersion.,
D'une première série d'observations Rœmer avait conclu 22"" pour valeur de K; une seconde série lui avait donné la valeur 14™. Beaucoup plus tard Delambre, en discutant, comme nous Tavoos indiqué, un grand nombre d'observations des satellites de Jupiter faites pendant le xyiii® siècle, surtout par Bradley, en tenant compte en outre des perturbations du mouvement de ces satellites, a trouvé que la lumière met 8" i3' pour venir du Soleil à la Terre. Cette valeur donne 20", 255 comme constante de l'aberration, nombre trop faible, comme cela résulte des observations de Struve.
Remarque, — Noos croyons utile de donner ici un tableau des valeurs trouvées par les différents observateurs pour la constante de Paberraiion, c'*est-&-dire pour Parc dont le sinus est égal au rapport de la vitesse de translation de la Terre et de la vitesse de la lumière.
Observations anciennes.
Observations des satellites de Jupiter, calculées par Delambre. . . ao'^jaSS Observations de Bradley, calculées par Buscb 20", 212
Observations modernes.
Observations de la Polaire, calculées par Lindenau 20'', 449
Observations de Struve et Preuss, sur les variations de la Polaire
«n ascension droite, calculées par Peters 30^,4^
Observations do Struve sur les variations de la Polaire en déclinaison, calculées par Lundahl 2o'',55i
Observations de Peters à Pobservatoire de Puikowa ao",5o3
Ainsi en prenant ao%5 pour valeur de la constante de l'aberration, Terreur sera moindre que 37 de seconde. Le rapport de la vitesse de la Terre à celle de la lumière est donc connu à j— près de sa valeur, et si la vitesse de la lumière peut être déterminée avec uno grande approximation, on eo déduira une valeur fort approchée des dimensions de Torbite terrestre {voir no 140).
98. Détermination des parallaxes annuelles des étoiles, — La parallaxe annuelle d'une étoile peut être obtenue par une.méthode différente de celle que nous avons déjà donnée, et qui consiste à mesurer les variations de sa position par rapport à une étoile voisine dont la parallaxe est nulle. Cette méthode a sur la précé-
PARALLAXE ANNUELLE. 3l3
dente cet avantage que les positions relatives de deux étoiles voisines peuvent être déterminées avec une grande exactitude* au moyen de mesures micrométriques, et que de petites corrections apportées aux positions de ces deux étoiles produisant sur chacqne d'elles des effets égaux, de petites erreurs commises sur les valeurs des constantes employées ne peuvent occasionner d'erreurs sensibles sur les positions moyennes qui s'en déduisent (*). En réalité, cette méthode ne donne que la différence des parallaxes des deux étoiles considérées. Mais, en général, il est permis de supposer que des étoiles très-petites sont très-éloignées, et que, par suite, leurs parallaxes sont insensibles; on peut donc toujours espérer que, si Ton a pris pour étoiles de comparaison des étoiles faibles, la valeur trouvée pour la parallaxe s'approchera beaucoup de la vérité (**)•
Chaque comparaison de deux étoiles, dont les résultats auront été corrigés comme il est nécessaire, donnera deux équations de la forme
o= /2 -t- ûa -f- 7rflCos(0 -f- A)séc^-4-/? (r — /o), 0 = /î'-4- A^-t- 7r^cos(OH-B)H-^(r— /.),
où a'^ — ao, ^j — ^0 étant les différences de leurs coordonnées au temps ^0, OL — a, ^' — ^ les différences au temps r, on a posé
et représenté par À a et Â^ les erreurs des valeurs adoptées. Ordinairement, au lieu des différences en ascension droite et
(*) Quand les étoiles sont^très-voisines, il esl préférable de ne pas calculer séparément la position moyenne de chacune d^ellesymais d^appliquer à la différence seule des lieux apparents, les corrections dues aux effets de la réfraction, de Paberration, de la précession et de la nulation. Les for- * mules qn^on emploie dans ce but seront données aux paragraphes VIII et IX dtf second volume.
C^'*) Au lieu de n^observer qu^une seule étoile de comparaison il sera bon d*en obserTcr deux dans des directions rectangulaires par rapport à Tétoile, ainsi que Bessel Pa fait dans la recherche de la parallaxe de la 61® du Cygne (^Astronomischê Untersuchungeriy vol. i, p. I25, et Astronomische Nachrichten, nO401).
en déclinaison de deux étoiles, on observe leur distance et leur angle de position, angle formé par le cercle de déclinaison de Tune des étoiles avec le grand cercle sur lequel elles sont situées. Soient :
a et 0 l'ascension droite et la déclinaison vraies de Tune des
étoiles , a' et ^' ses coordonnées affectées de la parallaxe, r/i' et ^" Fascension droite et la déclinaison de l'étoile de comparaison.
Les variations apportées par la parallaxe dans les différences en ascension droite et en déclinaison seront données par les équations
die/." — a) = a — a' = ir R (cos © sin a — sin © cos e cosa) séc J,
d[^" — ^) = ^ — ^' =7rR (cosi sinasin^ — sinscos^) sin©
TrRsin j cosa cos©.
Soient a et P la distance et l'angle de position vrais, on a
AsinP=: (a" — a)cos<î, AcosP=5''— ^;
d'où
£/A = sinPcos^ rf(a" — a) + cosP rf(r — ^) ,
A^/P=cosPcos^^(a"— a) — sinPÉ?(r— ^).
Portons, dans ces équations, les valeurs qui précèdent, et posons :
m cos M = sin a sin P 4- sin ^ cos a cosP,
/wsin M =( — cosasinP + sin^sinacosP)cos8 — cos^cosPsine;
/ii'cosM'= - (sinacosP — sin^cosasinP), A
/n'sinM'=: -[ — (cosacosP -I- sin^sinasinP) cose A
cos ^ sin P sin f].
PRÉG£S8I0N LUNI90LAIRB. 3l5
Nous rrouverons facilement
d\ = nKm cos(0 — M), rfP=: irRm'cos (© — M').
Par conséquent, sid^^ représente la correction de la distance admise pour l'époque f«, dq la correction de la valeur adoptée pour le mouvement propre dans la direction de ^, les distances et les angles de position mesurés donneront les équations
0=:.v -^d^9-h{t — to)dq -4- 7rR/liC0s(0 — M),
O = v' 4- ^Po -f- ( / — ^o) ^^' H- ^R 'W' COS ( O — M') ,
qu^on résoudra par la méthode des moindres carrés. C'est ainsi que Bessel a déterminé la première parallaxe connue, celle de la 6i* du Cygne, et l'a trouvée égale à o", 87.
Remarque. — Outre les ouvrages déjà indiqués, consulter : Strotb, Âstronomische Nachrichten, n^ 486.
HcBBARD, CoFFiN et Kbith, Tables de natation ( Washington^ Observations, ▼ol. III).
99. Détermination de la précession lunisàlaire à l'aide des positions moyennes des étoiles à deux époques éloignées, — Nous avons vu, au n® 58, que les variations annuelles de l'ascension droite a et de la déclinaison $ d'une étoile, dues à la précession, ont pour expressions
doi dly da dit , . . « .
-y = -j- cose, T" "•" ~r singgtangtfsina = /w -+-« tangtfsma,
dt dt dt dt
de dit .
-— = -7- sm CoCOSa = n cosa,
dt dt
et qu'en outre on obtient les variations de ces mêmes coordonnées relatives à l'intervalle /' — t, en multipliant par /' — t les
valeurs de — et — correspondantes à Tépoque • Mais la
valeur numérique de — étant donnée par la théorie des inéga-
- 3l6 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
lités séculaires des planètes^ la comparaison avec les formules précédentes des différences des ascensions droites ou des déclinaisons d^une étoile observée aux époques tet t' permettra de déterminer
la valeur de la précession lunisoiaire -^t ou constante de la précession. Si les étoiles conservaient dans l'espace des positions invariables, elles donneraient toutes pour —^ la même valeur, valeur qui serait d'autant plus exacte que les observations seraient plus distantes Tune de l'autre; il est bien évident, en effet, que l'influence des erreurs accidentelles d'observation deviendrait alors de moins en moins considérable. Or, il arrive que Ton
trouve ainsi pour --^ des valeurs différentes, et cela non-seule*
ment avec des étoiles différentes, mais aussi avec les ascensions droites et les déclinaisons d\ine même étoile; ces différences doivent être attribuées aux mouvements propres des étoiles ; ils sont, comme la précession, proportionnels au temps, et par suite on ne peut, dans le calcul, les en séparer : la difficulté est encore ac> crue par ce fait, que les mouvements propres, en partie du moins, suivent une certaine loi dépendante de la position de Tétoile. On ne peut donc éliminer ces mouvements propres que par la comparaison d*un très-grand nombre d'étoiles distribuées dans toutes les parties du ciel, comparaison d'où Ton devra exclure toutes celles qui, par suite d'un mouvement propre très-considérable, donneraient une valeur de la précession fort différente de la moyenne. Par ce grand nombre d'observations on aura éliminé autant que possible l'influence des mouvements propres et complètement celle des erreurs accidentelles d'observation. Puisque les mouvements propres sont proportionnels au temps, l'incertitude que cause leur existence sur la valeur de la précession reste la même, quelque grand que soit l'intervalle de temps compris entre les époques des deux catalogues sei*vant de base à la comparaison : on choisira donc des catalogues ayant le plus grand nombre possible d'étoiles communes, et dont les époques soient d'ailleurs assez distantes pour que l'incertitude due aux erreurs . d'observation soit rendue suffisamment petite.
PRfiGBSSION LUNISOLÀIRB. 817
Désignons par :
/Wo et /7o les valeurs de m et de /2 employées dans la comparaison des deux catalogues;
a, ^ et a', B' les positions moyennes qu'ils donnent respectivement pour une étoile aux temps / et /';
A a, et A^ les différences constantes des deux catalogues en ascension droite et en déclinaison ,
et posons
V (/' — t)z=zoL — a' -+- (r' — /) (woH- /?otang(î«sinao),
chaque étoile donne deux équations de la forme
o = V -f- — h a/Wo -h cin^ tang Oo sm «o >
o 1= v' -h -; h f//?o cos ao ;
en considérant donc les mouvements propres qui sont contenus dans V et v' comme de même nature que les erreurs accidentelles d'observation, il sera possible, avec un grand nombre d'équations semblables^ de trouver, par la méthode des moindres carrés, les valeurs les plus probables des inconnues. Cette hypothèse serait conforme à la vérité, si les mouvements propres des étoiles ne suivaient pas en partie, comme on Ta dit plus haut, une loi dépendant de la position de Tétoile ; mais comme, en réalité, il est très-dinîcile, sinon impossible, d'introduire dans les équations précédentes un terme exprimant cette loi (sur laquelle nous reviendrons plus tard), il fautse contenter de l'hypothèse précédente, en ayant soin toutefois d'employer un très-grand nombre d'étoiles distribuées aussi également que possible dans toutes les parties du ciel. On déduira ainsi des ascensions droites une détermination de m et de /i, des déclinaisons une détermination de n ; mais Terreur commise sur les ascensions droites absolues, constante pour chaque catalogue, se combinera avec dm^^ et, de plus, les valeurs
da adoptées pour les masses des planètes étant inexactes, — ne sera
3l8 ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.
connu qu*approximativenient, d'où résulte une nouvelle erreur sur la valeur de m.
La détermina ri on de n ou --r^ sîn i^, au moyen des ascensions
at
droites, est indépendante d'une pareille erreur constante, et, d'un autre côté, les déclinaisons donnent tout aussi bien n que Terreur constante de déclinaison. Mais comme on ne peut admettre que, dans les deux catalogues, cette erreur soit la même pour toutes les déclinaisons, il vaut mieux grouper les étoiles en zones d'un certain nombre de degrés, de lo® en déclinaison par exemple, et résoudre séparément les équations relatives à chacune d'elles, de manière à déterminer la différence moyenne Ai pour chaque zone considérée. Telle est la méthode suivie par Bessel dans les Fundamenta Astronomiœ. Il a déterminée la valeur de la
dit , constante — à l'aide de plus de 2000 étoiles observées soit par
Bradley, soit par Piazzi, et réduites, les premières à l'année 1^55, et les dernières à i8oo. Il a trouvé ainsi pour i^So la valeur 50^,340499; pins tard, à Taide des observations faites par lui à Kœuigsberg, il fut conduit à adopter la valeur un peu différente 5o", 87572 [Astronomische Nachrichten, n**92).
100. Mouvements propres des étoiles. Détermination du point vers lequel est dirigé le mouvement dii Soleil. — Si les positions des étoiles observées à des époques différentes et réduites à la même époque à l'aide de la constante de la précession que nous venons de trouver présentent entre elles des différences, celles-ci doivent être attribuées aux mouvements propres des étoiles. En général , en restant dans les limites des erreurs possibles d'observation, on peut supposer que les mouvements s'effectuent suivant un grand cercle et avec une vitesse constante. Halley, en 1718, découvrit le premier les mouvements propres de Sirius, Aldébaran et Arcturus {*), Depuis on s'est assuré qu'un grand nombre d'étoiles ont aussi un mouvement propre, et on doit supposer que
{*) Cette dernière étoile a un mouvement propre de a secondes en déclinaison; depuis Hipparque sa déclinaison avait donc varié de plus de i®.
MOUVEMENTS PROPRES. 3ig
c*esl le cas général, quoique pour beaucoup d'étoiles ces mouvements propres soient, en raison de leur extrême petitesse, compris dans les erreurs d'observation et ne soient pas encore déter-
minés.
Voici quelques-uns de ces mouvements propres les plus considérables :
VARIATIONS ANNCELLES
en asceasion droite. en déclinaison.
6i Cygne 5,i 3, a
a Centaure 7,0 0,8
1 83o ( Groombridge ) . . . 5,2 5,7
W. Herschel découvrit le premier une loi dans la direction des mouvements propres des étoiles. La comparaison d*un grand nombre d'entre eux lui prouva qu'en général les étoiles s'éloignent d'un point du ciel voisin de l'étoile \ Hercule. Pour expliquer ce fait, il supposa que les mouvements propres des étoiles ne sont, en partie du moins^ qu'une apparence produite par un mouvement du système solaire tout entier vers ce point du ciel, hypothèse qui fut confirmée par les recherches postérieures. Le mouvement propre d'une étoile résulte donc et de son mouvement propre particulier en vertu duquel elle se meut dans l'espace suivant une loi qui nous est inconnue, et d'un mouvement apparent ou parallactique résultant du déplacement du système solaire. Le premier de ces deux mouvements, ne s'effectuant suivant aucune loi déterminée, déplacera les étoiles situées dans différentes portions du ciel suivant les directions les plus diverses ; le second, au contraire, le mouvement apparent, sera complètement déterminé si l'on connaît l'ascension droite A et la déclinaison D du point vers lequel notre système solaire est entraîné; il sera dès lors facile, en effet, de calculer la direction dans laquelle chaque étoile parait emportée par suite du déplacement du Soleil. La comparaison de la direction ainsi calculée avec la direction réellement observée nous donnera pour chaque étoile une équation de condition entre la différence de ces deux directions et les variations de l'ascension droite A et de la déclinaison D; la partie de cette différence qui tient au mouvement particulier de l'étoile, ne suivant point une loi
320 ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.
déterminée, peut être traitée comme une erreur accidentelle d'observation, et par suite, au moyen d*un grand nombre de ces équations de condition , on déterminera par la méthode des moindres carrés les valeurs les plus probables des corrections dk et r/D.
Pour nous, ce mouvement parallactique se fait évidemment suivant le grand cercle mené par Tétoile et le point vers lequel le système solaire est emporté; car, en supposant rectiligne le mouvement du Soleil^ rétoile est toujours vue dans le plan que déterminent sa position et deux positions quelconques du Soleil.
Soient :
a le rapport qui existe entre le déplacement, supposé rectiligne, du Soleil pendant le temps t' — tel la distance de Tétoile au Soleif;
a et ^, (x! et $' les ascensions droites et les déclinaisons de Tetoile aux temps r et /',
p le rapport des distances de Fétoile au Soleil à ces deux époques ;
on a les équations
p cos $' cosa' = cos^ cosa — a cosD cos A , p cos $' sin a' = cos^ sin a — a cosD sin A , p sin ^' = sin (î — a sin D ;
multiplions la première de ces équations par cos a', la seconde par sin a', et ajoutons les résultats; de même, du produit de la première par sin a, retranchons le produit de la seconde par cosa, et négligeons dans les deux cas les infiniment petits du second ordre, nous obtenons
cos^' — cos^ = âcosDsin (a — A), (a' — a) cos^' = acosDsin(a — A);
en combinant d'une façon analogue la troisième des équations primitives avec la dernière de celles que nous venons de trouver, nous mettons en évidence la différence 5' — ^, et le système définitif
MOUVEMENT DU SOLEIL DANS l' ESPACE. 321
que nous conserverons sera
!cos^'(a' — a) = acosDsin fa — A), S' — $= a [cos^sin D — sin^cosDcos(a — A)].
Ces formules nous permettent de calculer a, ou, si i7 est connu, les différences a! — a et ^' — S, D'autre part, dans le triangle formé par le pôle de Téquateur, Tétoile et le point dont les coordonnées sont A et D, on a, en désignant par A la distance de ce point à rétoile et par P Tangle à l'étoile,
( sin A sin P = cosD sin ( a — A ), (B) .
( sin A cos P = sin D cos^ — cos D sin $ cos (a — A ) .
De plus, p représentant Tangle de la direction du mouvement de rétoile avec son cercle de déclinaison, on a
on voit donc que
c'est-à-dire que Tétoîle se meut sur le grand cercle qui joint sa position actuelle au point dont l'ascension droite et la déclinaison sont A et D, en s'éloignant de ce dernier.
D*autre part, de la troisième des formules [i i) du n® 9 appliquée au cas qui pous occupe, on déduit
sin'A
cos D .
-f- -: Fsin S cos D — cos^ sin D cos (a — A)l elA ,
sin'A^ '^
ou bien
cos^sin (a — A) ,^ dpz=-\ r-7T dD
cos Dp.- ^ *.^/* ..-1.»
^— — fsinacosD — cososinDcosfa — A)laA; -
322 ASTRONOMIE SPH^RIQUB.
par conséquent, si/?' est la valeur que donne robservation (*) pour l'angle de la direction du mouvement propre et du cercle de déclinaison, si p est la valeur obtenue par le calcul à l'aide des valeurs approchées A et D, chaque étoile donnera une équation de la forme
, cos^sin (a — A) ,^ o = p—p'-\ H ^D
cos D :-— rsin^cosD — cos^sinDcosfa — A)lriA,
ou bien
, ,x . , cos^sin(a — A) ^
W ^^ f ' sin A
cosD
: rsin^cosD — cos^sinDcos (a — A)lrfA;
sinA *■ ^ ^-'
et, en traitant par la méthode des moindres carrés les équations fournies par un grand nombre d'étoiles, on trouvera les valeurs les plus probables de dk ei dï>.
Telle est la méthode suivie par Argelander pour déterminer la direction du mouvement du système solaire [Astronornische Nachrichtcn^ n" 363), Bessel avait, dans ses Fundamenta JstronomicSy trouvé les mouvements propres d'un grand nombre d'étoiles par la comparaison des observations de Bradley et de Piazzi. Argelander choisit dans toutes ces étoiles celles qui, dans l'intervalle de 4S ans, de 1765 à 1800, avaient un mouvement propre plus grand que 5'^ et détermina leurs mouvements propres d'une manière plus précise en comparant les anciennes observations de Bradley avec celles qu'il fit lui-même à l'observatoire d'Abo (**).
("*} Les quantités données par Inobservation directe sont les différences a' — a et S' — S; Pangle p' s'en déduit par la formule
^^n^P =J^zr}^^^^' \ (** ) Ar^elauderff>LXstellarumJixafttmpositionesmediœ ineunteanno i83o. Helsingrorsiœ, i835.
