SEULE OBSERVATION DE HAUTEUR

106. Détermination du temps par Vohsen*ation de la hauteur d'une étoile. — L'observation de ia hauteur d'une étoile connue, en un lieu dont la latitude est connue, donne immédiatement l'angle horaire au moyen de l'équation

smh — sin^sin^

cos/

COS(p cos^

Le procédé dont nous nous sommes servis dans le numéro précédent peut encore être employé pour rendre cette équation calculable par logarithmes*, en introduisant les distances zénithales au lieu des hauteurs, et posant

on obtiendra

,, sin(S — <p)sin(S — 5)

(^) ^"°g'^^- casScIs(S-.) '

comme cette équation ne détermine pas le signe de /, il faut savoir de quel côté du méridien l'observation a été faite et prendre t positif ou négatif, suivant qu'elle a eu lieu à l'ouest ou à Test.

Si a est l'ascension droite de l'astre observé, le temps sidéral 6 de l'observation est toujours égal à / + a; dans le cas où l'on a observé le Soleil, Tangle horaire calculé représente le temps so« laire vrai.

EXEMPLE. — Le 29 octobre 1822, le D*" Westphal a observé, à Abutidsch, en Egypte, pour hauteur du bord inféjrieur du Soleil,'

au moment où le chronomètre marquait 20^ 16*" 20". Quel était le temps correspondant? On doit d'abord corriger cette hauteur de

la réfraction et de la parallaxe; mais, puisque les instruments météorologiques n*ont pas été observés, on ne peut se servir que de la réfraction moyenne, dont la valeur, donnée par les Tables, est i'26'^,4. On la retranchera de la hauteur observée, on y ajoutera la parallaxe de hauteur 6^,9 et le demi«diamèlre da Soleil 16' 8'', 7, et on aura, pour la hauteur réduite du centre de cet astre,

La latitude d'Abutidsch est 3.7'*5'o'', et la déclinaison du Soleil était ce jour-là

â=-- i3»38'ii",i; le calcul est donc le suivant :

séc S

sin(S — ^)...

sin^S — y). . .

séc (S — z). . .

tang^ï^

tangjf

Le temps solaire vrai à Tinstant de Tobservation était donc égal à 2i^2i"i4'>99 ^t, puisque Péq^uation du temps était — 16" 8*, 7, on avait pour le temps moyen 2i'»5°'6*,2-. Le chronomètre retardait donc de 48" 4^*»^ s"** '® temps moyen; en d'autres termes, il fallait, pour avoir le temps moyen, ajouter

48"* 4^% ^ ^ ^'^^^""'^ H"'^^ marquait.

Remarque L — La déclinaison du Soleil et l'équation du temps, varient à chaque instant; il faudrait donc, en toute rigueur, con? naître déjà le temps pour pouvoir employer dans le calcul de t

la déclinaison et Téquation du temps qui correspondent réellement à rinstnnt de l'observation; mais, dans la pratique, on prendra d'abord une valeur approchée de la déclinaison du Soleil, qui permettra une' détermination approchée du temps; à Tai^e des Éphémérides et par interpolation, on obtiendra une nouvelle valeur de la déclinaison plus approchée que la première, avec laquelle on recommencera le calcul.

Remarque II. — Le nombre qu'il faut ajouter à Theure donnée par la pendule à un instant, pour obtenir Theure exacte au même instant, s'appelle V état de la pendule. L'état est positif ou négatif, suivant que la pendule est en relard ou en avance sur le temps exact. Si la pendule était parfaitement réglée, Tétat serait le même à deux époques différentes i et t -{- & : en d'autres termes, l'heure donnée par la pendule au temps /-t-0, augmentée de l'état au temps t, serait égale à l'heure exacte. Mais, pour avoir cette dernière, il faut en général à l'heure corrigée comme nous venons de le dire, ajouter encore un nouveau nombre qui représente la quantité dont la pendule a marché par rapport au temps exact, et qu'on appelle la marche de la pendule. Elle est égale à la différence des états à ces deux époques, différence qu'il faut affecter du signe -4si la pendule retarde, et du signe — si elle avance. Pendant un court intervalle de temps, on pourra d'ailleurs supposer que cette marche varie d'une manière uniforme; ainsi, si deux observations sont distantes de 24^ — tf et si A« est la marche de la pendule pendant cet intervalle, la marche en 1^^ sera donnée par

l'expression

2^ lu Su

Equations différentielles relatives au problème précédent, — Fin différcntiant l'équation primitive

sin/i = sin-j) sin^ -h cos^ cos^ cos/, on obtient, comme on l'a vu au n° 36,

dh = — cosArf<p — cos<î sin/7 dt^

d'où

dt= ^-^-rdh î -do,

cosipsinA coscptangA

puisque

cos ^ sin /7 = cos (|p siu A .

Les coefficients de dh et de di^ seront d'autant plus petits que la valeur de A se rapprochera davantage de ±90°. Dans ce cas limite, la valeur de la tangente est infinie, et par conséquent une erreur commise sur la latitude n*a aucune influence sur la détermination du temps. De plus, sin A étant alors maximum, le coefficient àedh est minimum, et, par suite, une erreur commise sur la hauteur aura sur la détermination du temps la plus petite influence possible. Ainsi, pour déterminer le temps par des observations de hauteurs, il sera toujours bon de les faire aussi près que possible du premier vertical.

Puisque le coefficient de dh peut encore être exprimé par

r— : — » on voit que, pour déterminer le temps par des

cososin/?

observations de hauteurs, on devra se garder de prendre des étoiles dont la déclinaison soit grande, et qu'il y aura tout avantage à observer des étoiles équatoriales.

Calculons les valeurs numériques des dérivées dans Tcxemple précédent; tout d*abord la formule

cos^sinf

smA = ; —

cos A

donne

nous en concluons

diz= -h i ,5oi3 dh -h o ,9966 d<f , ou, en exprimant dt en secondes de temps,

dt = '-f- 0,1001 dh -+- 0,0664^/7-

Ainsi une erreur d'une seconde d^arc commise sur la hauteur donne une erreur de o', 10 sur le temps; la même erreur commise sur la latitude ne produit sur le temps qu'aune erreur de oSoy.

L'équation différentielle montre encore que la détermination du temps par Tobservation des hauteurs devient de plus en plus incertaine à mesure que cos^ diminue, c'est-à-dire à mesure que la latitude augmente. Près du pôle, celle méthode serait tout à fait inapplicable. '

107. Méthode de calcul dans le cas oit Von a observé plusieurs hauteurs d* une même étoile [*), — Si Ton a observé successivement plusieurs hauteurs ou plusieurs distances zénithales, il n'est pas nécessaire de calculer l'état de la pendule pour chaque observation, à moins que l'on ne veuille s'assurer de la concordance des diverses observations j mais on peut, pour obtenir cet état, employer la moyenne de toutes les distances zénithales observées. Comme les distances zénithales ne croissent point proportionnellement au temps^ il faut à leur moyenne arithmétique appliquer une correction (comme on l'a fait au n" 104 pour les azimuts), afin d'obtenir ensuite, à l'aide de cette distance zénithale corrigée, l'angle horaire correspondant à la moyenne arithmétique des temps; ou, plus simplement, appliquer une correction à l'angle horaire calculé à l'aide de la moyenne arithmétique des dislances zénithales, pour le faire correspondre à la moyenne arithmétique des temps.

Soient T, t', x^\ ... les temps des n observations, T leur moyenne arithmétique, et Z la distance zénithale correspondante ;

on n

..:Z-.f,;.-T)-..^(.-Tr.

OÙ t est l'angle horaire correspondant au temps T; comme

T — T + t' — T + r" — TH-...=:o,

{*) Cette méthode, due à Soldneb, Jahrbuch de Berlin pour i8i8, a été souvent appliquée par Pcissant, Nouvelle description géométrique de la France, vol. I, p. 96 et suiv.

346 ASTRONOMIE SPHfiRIQUK.

on obtient, en ajoutant les cqualions précédentes ,

n 'fit' n

__ z-f-z'-hz"-!-. . . r/^Z 2 2sin'-^yT — T) n dt'^ n

fi- 7 En remplaçant ■— - par Tcxpression trouvée au n® 53, on obtient enfin

z -f- z'-h z'' + . . . cos(?co$o . 2 2 sin2-5^{T-— ï)

Z = . „ cos A cos/> •

n > smZ . n

Avec celte moyenne arithmétique des distances zénithales corrigée, on calculera l'angle horaire, et par suite le temps qui, comparé au temps T, donne Tétat de la pendule. Si, au contraire, on a calculé Tangle horaire avec la moyenne arithmétique des distances zénithales non corrigée, on ajoutera à Tangle horaire trouvé la correction

r/r cos^cos® , 22sin'|(T-~T)

: ♦ ., cos A cos/? -^

dz sinZ n

valeur qui, si on l'exprime en secondes de temps, et si Ton y

remplace — par sa valeur (n** 53 ), deviendra

, . cospcosA 2 2sin'j(T — T)

losin/ n

Actp étant donnés piar les formules

. . sin / ' . sin ^

sinA = -7— ;- coso, sin /? = -:—- cos (p. smZ sinZ •

Ces équations ne déterminent ni le signe de cos A, ni celui de cos/?; mais les considérations suivantes permettent de décider facilement quel est le signe de la correction [a).

Si l'on compte les angles horaires non plus à la façon habituelle, mais de &* à i8o^ de chaque côté du méridien , il faut toujours ajouter la correction ù la valeur absolue de t; celte correction est d'ailleurs de signe contraire à celui du produit cosA cos/7. Or on a

sin f ( 1

s«no\ . ^/sin« cos z —. — 1 sm 0 ( - — î — cos z sm^/ \sin

cosp = H- ]S = ' ; ^: ï

sm z cos o sm z cos o

[ sinJ\ . -./coszsin©

sm» C0S3 : — smol — . ^ — i

,. ^\ smy/ \ sm^

roSA=: : = -; ,

smzcosf smscosf

par conséquent, si ^<C?> cos/? est toujours > o, et on a

^ sin^ cos A 2> o, SI cosz ^ -: — »

smy

cos A <: o, si cosz << -: — ;

smy

si, au contraire, ^> y, cos A est toujours <[ o, et on a

. ^ sin ?

cos/? <r o, -SI cosz "> -: — Jtï

^ sma

COS/?">0, SI COSZ<r-r— i-

'^ -^ sm ^

Ainsi, Ton cherchera la valeur de la fraction

-T— SI <p>^, ou -T-j SI ^<(î,

smy smo

et les deux cosinus auront le même signe, et par suite la correction [a) sera négative, lorsque cosz sera plus grand que cette fraction; ils auront au contraire des signes différents, et la correction sera positive, lorsque cosz sera moindre que cette fraction. Pour les étoiles de déclinaison australe, cos A et cosp sont toujours positifs; la correction est donc toujours négative. (Voir Warnstor/f'sHùlfstafelny p. 122.)

348 ASTRONOMIE 9PHÉRIQUE.

ËXEMPLt. — Le 29 octobre (voir n° 106), le D** Wesiphal a observé non-seulement une distance zénithale du Soleil, mais les huit distances zénithales suivantes :

Vraie distance

Temps

, zénithale

du chronoroètro.

du ceolre du Soleil.

•jsin«KT-T).

L*angle iioraire qui correspond à la moyenne arithmétique des distances zénithales 55°2'j'5o", 2 et à la déclinaison du Soleil

— i3°38'i4",7, est égal à — 2'»35°> i3S 18, valeur qu'il faut corriger. Or on a

log sin/? = 1 ,83079, log^in A = r ,86881 ;

et comme la déclinaison est australe, la correction a pour valeur

— 8", 32 ou — o%55.

Avec l'angle horaire corrigé — 2^35" 12% 63, on obtient pour valeur du temps moyen 21^8'" 38% 70; rétat de la pendule était donc +48'" 46*, 8.

108. Détermination de la latitude à l'aide d*une seule observation de hauteur. — Une seule observation de la hauteur dVne étoile^ faite dans un lieu où le temps est connu, permet de calculer la latitude du lieu d'observation. En effet, revenons à l'équation

\a) sin// = sin^ sin^ + cosf cos^cosf,

et posons

MsinN = sin^,

M cosN = cos^ cosf ,

nous trouvons

sin^ = Mcos(f — N),

et par suite

M sino

Il y «1 ici ambiguïté, pnistjue <p — N n'est déterminé que |>ar son cosinus; mais il est toujours facile de lever la difficulté par des considérations géométriques. En effet (fig* 8), abaisscms

Fig. 8.

du lieu S de Téloile une perpendiculaire SQ sur le méridien, nous voyons aisément que N = 90" — PQ, qu'ainsi, N représente la distance du point Q à Téquateur, d'où ZQ = ^ — N, et que, d'un autre côté, M est le. cosinus de Parc SQ. Il faut donc prendre (p — N ou N — ^ pour valeur de Tangle donné par la formule (B), suivant que SQ rencontre le méridien au sud ou au nord du zénith, c'est-à-dire suivant que l'astre observé est au sud ou au nord du premier vertical.

Si l'on a observé la hauteur méridienne de l'étoile, on obtient f à l'aide de l'équation simple

où l'on prend le signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que l'étoile passe au méridien au sud ou au nord du zénith. Pouri une culmination inférieure, ré<]uation deviendrait I

z=i iSo*» — ^ — z.

35<l ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.

Exemple. — -'Le 19 octobre 1822, à Bénisuef en Egypte, le D'" Weslphal observant la hauteur du centre du Soleil à 23^ i" 10* de temps moyen, Ta trouvée égale à 49° 1 7' 22", 8 ; à cette époque,, la déclinaison du Soleil était — 10° 12/ 16'', i, et Téquation du temps — iS^oSo; l'angle horaire du Soleil avait donc pour valeur

23'> 16™ 10» = — io«57' 3o",o.

On a donc

tang^... 1,2552942/1 sinN...t... i,256io63/i cos t,. .. 1 , 992 0078 sin (î 1 , 248 3695// •

tangN . . 1 , 263 2864» M o, 007 7368

JN'=:— io"23'23",67 sin// 7,8796788

cos (y — N ) . 1,871 94*^0

Équations différtrUiellcs, — Pour estimer Tinfluence que peut . avoir sur ç une erreur commise dans la détertnination de h et de /, différentions Téquation {«), il viendra, diaprés le n" 36,

rf(p = — sécAd/i — cosytangAc^^

Les coefficients contenus dans cette formule auront leur valeur, minimum lorsque A est égal à o" ou à 180®; dans ce cas, en effet, soc A atteint son maximum ± i ; toute erreur. commise sur, la hauteur produira alors sur la latitude une erreur.égale en valeur absolue; et, puisque tanjjA est nulle, les erreurs commises, sur le temps seront sans influence sur la détermination de la latitude. Par conséquent, les observations les plus favorables à Tappliçation de cette méthode seront celles qui auropt été faites le plus, près possible du méridien.

Dans l'exemple précédent, A ==: — i6**4o'> ' ? o^ï a donc

ou * en exprimant //; en secondes de temps,

drf = — I ,o44^/' H- 3,924^'.

Si Ton a observé plusieurs hauteurs, la hauteur correspondante à la moyenne arithmétique des temps est, comme nous l'avons vu au n° 107, donnée par la formule

// -+-/i'-f-//'-f-. . . cos^costp , 2!ïsîn'^(T — T)

H := ! -— î- cosA cosy^ — -*

Il cosH n

109. Détermination de la latitude par les hauteurs circummé» ridiennes, — Si Tobservation de la hauteur a été faite le plus près possible du méridien, on peut déterminer la latitude en €uivant une marche plus commode que la précédente. Eh effet, les hauteurs des étoiles atteignent leur maximum au méridien, et paf conséquent, au voisinage de celui-ci, elles varient très-lentementj il suffira donc, pour déduire la hauteur méridienne d'une hauteur observée près du méridien, d'ajouter à celle-ci une correction toujours petite, et dont le calcul par logarithmes n'exigera

qu'un petit nombre de décimales. A l'aide de la hauteur méridienne et de la déclinaison de l'étoile, op trouvera immédiatement la latitude. Ce procédé de détermination de la latitude est connu sous le nom de Méthode des hauteurs circumméridicnnes , Formule de Delambrc, — L'équation

cos z = sin <j> sin ^ -^- cos (j) cos^ cos/ |)eut s'écrire

cosz = cos (y — ^j — 2 cosflp coS(î sin^ j^,

ou, d'après la formule [ 19) du n° 11,