cos 9 cos S . ^, 2 cos- cp cos' S , ' n • . I
z = ff^e-^-r—^ — -sw'^t __Jl__cot <p--(îjsm4^
^ sin(<p — (î^ * sm^(<p — ^j ^
vOU
(A) tf = z-^S— b .usinât ^ b^col{<f — 5).2sin'|^
... , , . . , COScpCOS^
en désignant par 0 la quantité -: — ^*
Au moyen de cette formule, due à Delambre, la réduction au méridien se fera de la manière suivante. On calculera (p — $ ei b avec une valeur approchée de ^, et l'on prendra dans des Tables
ayanl pour argument t les valeurs de asin'y^ et de 2sin*yr; de cette façon, le calcul de la latitude sera très-simple. On irouve ces Tables dans le recueil de Warnstorff, où, pour plus de commodité, on a donné aussi 1/es logarithmes de ces grandeurs. Si la valeur trouvée pour ^ diffère beaucoup de la valeur adoptée, il faudra recommencer le calcul avec cette nouvelle valeur, et alors il suffira presque toujours de calculer le premier terme de la formule précédente.
Pour les étoiles qui passent au méridien près du zénith, cette méthode ne peut être employée; car, en raison du petit diviseur tf — ^, la quantité b acquiert alors une très-grande valeur, et par conséquent une erreur commise sur la valeur de t prend une influence considérable.
Exemple. — Le D*" Westphal a trouvé au Caire le 3 octobre
1822, à o*»2"2*, 7, temps moyen, pour distance zénithale du
centre du Soleil,
La déclinaison du Soleil était
— 3"48'5r',2, réquation du temps
et, par conséquent, Tangle horaire du Soleil
Or on trouve dans les Tables :
log2 sin^Y^ = 2,5i I o5, log 2 sin*yr= 1,4060.
Prenons 9 = 3o® 4'» no"s avons log ^ = o, rgo 06, et les deux
termes de la correction sont — 8' 22", 47 et -f- o*',9i.
Ainsi
Correction... = — o» 8'2i",56 •
DÉTEKHINATION DE LÀ LATITDDE. 353
Une variation de i' sur la valeur adoptée pour f donne dans ce cas une variation de o^, 3o sur la latitude calculée, de telle sorte que la valeur vraie obtenue en recommençant le calcul est
La formule (A) convient au cas où Téloile passe au méridien au sud du zénith; mais si la déclinaison de Tétoile est plus grande que la latitude, c*est-à-dire si Tétoile passe au méridien entre le zénith et le pôle, il faudra remplacer (f — ^ par $ — f, et on
aura
COScpCOS^ ''. ,. cos'çcos*^ ,^ . . ,, ^ sjn(o — y) sm*(tf — y) ^ ^' ^
Enfin si Tétoile est voisine de sa culmination inférieure, on à, en comptant t à partir de Tinstant de cette culmination,
cos z = cos ( 1 80° — ç — ^) -H 2 cos (f cos S sin* 1 1
et, par conséquent,
rt - cos 9 cos $ ... * = 180° — ^— z : — r- 2sin' W
^ sin(y-i-^) ^
cos' 9 cos* s , . , ...
Pour déterminer ainsi la latitude d'un lieu, il faudra dans la pratique ne pas se contenter d*observer une seule dislance zénithale au voisinage du méridien, mais en observer successivement un grand nombre, afin d'obtenir par leur moyenne un résultat plus exact. On cherchera pour chaque valeur de t les valeurs de asin'^^ et de ssin^yf; on multipliera leur moyenne par les facteurs constants, on ajoutera ensuite la correction ainsi tronvée à la moyenne arithmétique des distances observées (*).
Méthode des approximations successwes, — La réduction au méridien peut encore être efiectuée d\ine autre manière. De Téquation
cos z — cos (y — ^) = — 2 cos y cos ^ sin* y /,
(*) Dann I0 cas où Ton a observé le Soleil, on doit tenir compte de In varUtion de la déclinaison. {Voir le n<> 110.)
354 ASTRONOMIE SPHÉRIQUB. ^
il résulte
sin j(f — ^4-2) sin|(y — S — ^) = — ces y cos ^ sin' j r.
Posons
y — S — z= — Jr;
— X sera la réduction au méridien, et nous aurons par conséquent
. , cos^cos^ . , .
sin(y — ^-hyo:)
sin I X = -7-7 — \ , t. sm» i /,
équation qu^on peut écrire
sin~:r cosfcos^ ^ • ji* sin (^ — S)
^x sin(y — S) ' sin(f — ô-hjx)
Or (n® 10), = y^côsâ» aux termes du quatrième ordre
sma
mière valeur approchée de x^ la valeur \ tirée de l'équation
près ; remplaçons donc par yjcosa et prenons pour pre-
, X « cos® cos ^ . .
^ ^ sm (y — d)
il viendra
^ 3/ r- — « sin(y — ^) ^
^ ' sin(<p — d H- yo:)
nous résoudrons cette équation par rapport à x en remplaçant partout dans le second membre x par Ç; nous obtiendront ainsi une nouvelle valeur approchée Ç', donnée par l'équation
Dans la plupart des cas, la seconde approximation fournira une solution suffisamment exacte. Maïs, s'il n'en est pas ainsi, on calculera une nouvelle valeur de f à Faide de Ç'; puis on
déduira deTéquatioD (B) une nouvelle valeur Çi, el on aura pour valeur corrigée
sin(» — tî-f-^Ç.) Exemple. — Pour les données de FexempYe précédenr,
d'où
logÇ 2,701 1 1
log sin (f — S) 1 ,74620
log coséc (y — ^ 4- 7 ?) o, 25293
log Ç' 2 , 70024
d'où
Ç' = 8'2i",47, yz=:3oo4'2i",53.
110. Même problème en supposant variable la déclinaison de V astre observé, — Solution de Gauss, — Quand on s*est servi du Soleil pour opérer cette détermination, il faut encore tenir compte de la variation de sa déclinaison, et, dans le calcul, employer avec chaque angle horaire une déclinaison différente. Il conviendra alors d'effectuer la réduction comme il suit.
Soit D la déclinaison du Soleil à midi; on peut toujours représenter la déclinaison correspondante à un angle horaire t par l'expression D + ^ r, dans laquelle p est le mouvement horaire en déclinaison, t étant exprimé en fractions d'heure ; et comme, en général, on a
- cos<pcos^ . , ,
ff=:Z-hS—-^ -2Sin4^
^ sin(<p — d) ^
il viendra
, V ^ ft cosœcos^ ...
^ ' ^ ^ sin(y — d) ^
posons
/f% n cos<pcos5 . ,, • coso,cos^ . .,
la valeur de «p s'écrira (*)
et chaque observation du Soleil donnera une équation analogue; la valeur de x étant connue, il sera facile d'obtenir la ialitiide. Lti quant ih^ j est donnée par Téquation
p,^,£2i?i!^[sin»'(,+r)-sin4^)i •
ou
. , sinfç — ^) t
Sin 1/ 1= — - S r- -:— ; 9
'' '^ cosycostf sm(/+ 2 rj
puisque
sin-a — sin^^i=sin(oH-Z') sin(« — b).
En remplaçant sin(r-h |j) par r, et remarquant que Theiire est Tuuité avec laquelle on mesure i, tandis qiie sinr était au contraire rapporté au rayon, on en déduira
- sin (© — d) 206265 ^ cos(|pcos<^ i5x3boo
Soit IX la variation de la déclinaison du Soleil en ({uarante-huit heures^ exprimée en secondes d'arc, on aura
et, si Ton veut avoir j en secondes de temps,
et par suite,
(B) J* = - Ygg-5 (langy - tang^),
(*) Il faudrait ajouter encore le Utrme dépendant de 3 sin* * /.
La quantité^ nVst (railleurs que l'angle horaire de plus grande hauteur pris négalivement. En effet, au n®52 nous avons trouvé, pour cet angle horaire, Texpression
fis I -. 206265
où t est exprimé en secondes de temps, et — représente la variation de la déclinaison en une seconde de temps. Mais comme la variation de la déclinaison en une seconde de temps est égale à
j^ -^ — 5 Texpression en secondes de temps de l'angle horaire de plus grande hauteur devient
(tangy-tangJ)3^^^^^g
valeur égale à j^ et de signe contraire. Il en résulte que t -\-x est ]'an|;le horaire de l'astre, compté, non plus à partir de la culmination, mais à partir de l'instant de la plus grande hauteur.
Cette interprétation dejr donne lieu à une conséquence importante. Quand on aura fait, près du méridien, plusieurs observations d'un astre dont la déclinaison est variable, il ne sera pas nécessaire d'employer, pour la réduction au méridien, la déclinaison correspondante à chaque angle horaire; mais on pourra supposer qu*à chacun d'eux correspond la déclinaison de Tinstant de la culmina tion, à la condition de compter alors les angles horaires non plus du passage au méridien, mais à partir du moment de la plus grande hauteur. On aura ainsi ramené le calcul à avoir la même simplicité que dans le cas où la déclinaison de l'astre observé est considérée comme invariable.
Exemple. — Pour l'observation faite au Caire (n** 109), on a logfi =r 3,4458 /t, D= - 3«48'38",57,
ji=i4-9»,6 et /-+-j= iS^oSg;
]c premier terme de la réduction au méridien est donc
-8'35",oo.
A cause du second terme dépendant de sin^y ^ î' ^^"^ encoie ajouter à la correction -h o'',gi, de telle sorte que l'on a pour (pla valeur
Dans le cas où Ton n'a observé qu'une seule hauteur, il est évidemment plus commode d'interpoler la déclinaison du Soleil pour répoque de l'observation ; si y au contraire^ on a fait plusieurs observations de hauteurs, la méthode de réduction qui précède est infiniment plus simple.
111. Détermination de la latitude par des observations extraméridiennes de la Polaire, — L'étoile polaire, à cause de sa proximité du pôle, ne s'écarte jamais beaucoup du méridien, aussi peut-elle, à un instant quelconque, être employée avec grand avantage pour la détermination de la latitude. Mais les séries données au n® 109 n'étant convergentes que pour de petites valeurs de l'angle horaire, la méthode de calcul que nous avons alors employée n'est plus applicable ici. Il faut dans le cas actuel suivre une autre voie, et, comme la distance polaire est toujours très* faible, il sera évidemment commode de. développer suivant les puissances de cette quantité l'expression de la correction qu'il faut apporter à la hauteur observée.
Imaginons que, par le lieu S [fig» 9) de l'étoile, on mène un
grand cercle S M perpendiculaire au méridien ; désignons par x
l'arc PM du méridien compris entre le pôle et le pied M de ce grand cercle ; de plus/ étant une petite quantité, représentons par z — X Parc ZM du méridien compris entre le zénith et le point M ; nous aurons
ff = go*» — . z H- j^ — x.
Les triangles rectangles P S M , Z S M donneron t
tangx = tang/? cos/,
cos 3 — 7 =-— -.
COSIf
En négligeant les cinquièmes puissances de tang/?, nous tirons immédiatement de la première des équations [a]
X =z tang/? cosr — { tang^/? cos'/,
d*oùy avec là même approximation^
[b) j:=:/?cosf + |/>*cos^sin'r. ' Développons la seconde des équations [a)^ nous trouvons
