I--COStt
sm r = cot « 4- 2 sm' \ y cot z.
•^ cosa '-^ '
ou, en négligeant les cinquièmes puissances de u^
Viï\y=i (j«'-f-~ a*)cotz -f- asin^Y^cotz,
Mais réquation
sin« := sin/7sin/y
donne
u = psin t — j /?' sinr cos* t^
En substituant cette valeur dans l'équation précédente, et négligeant encore les termes du cinquième ordre, nous obtenons
[c) / = |;?^sin*rcol«— .^/?^sinV(4cos»/— 5sinV)cotzH-|7'cotz*
Celte formule, il est vrai, renferme encore y dans le second membre, mais le terme ^j^cotî étant petit, il suffira d'y rem-
36o ASTRONOMIE SPHÊRIQUE.
placer y par sa valeur calculée à l'aide du premier terme seul ; on a ainsi
. . \ <j> = 90° — z — /7cos^-|-î/?*sin^^cot« — j/y^cos^sin'^ I "*" Tt/'* sin'^ (5sin^^ — 4cos*/) cctzH- ~p^ sin*/cot*8-
Il serait excessivement incommode d*avoir à calculer cette formule pour chaque observation, aussi a-t-on construit des Tables qui en facilitent singulièrement l'emploi. Elles sont de deux espèces.*
Dans le Jahrbuch de Berlin et le Nautical AlmanaCy on trouve des Tables annuelles qui donnent seulement les premiers termes de Texpression précédente^ termes qui suffisent toujours à moins que Ton ne veuille une extrême exactitude. En négligeant la troisième et la quatrième puissance de/?, cette expression se réduit à (*)
y =: 90° — 3 — /?cos/ -h ^/^'sin^/colz.
Désignons maintenant par a^ et p^ des valeurs déterminées de l'ascension droite et de la distance polaire, de telle sorte que les valeurs apparentes a et /?, au moment de Tobservation, soient
o.=iv.^-^ t^OLy p=i p^-j- àp;
de plus, 0 étant le temps sidéral de l'observation^ posons
/o pourra être regardé comme l'angle horaire de l'étoile au même instant, et Ton aura
ff =z 90° — z — p^ cos ^0 + T A cos/o cot« sin'r, — A/? cos /, — A a /?, sin ^0 •
Dans les recueils que nous avons cités, on trouve trois Tables
C*) Le terme qui contient p* atteint son maximum pour t = 54^44'» ®^ ** taleur, en supposant ^ = 1040% est seulement o'',65. Les termes qui contiennent/»^ ont encore des valeurs moindres, à moins que 5 ne soit très* petit. Ces termes pourraient aussi d^aillenrs être facilement introduits dans les Tables, en réunissant le premier à /»oos/, et Pautre è f /^^sin'f cotir.
différentes. La première contient les valeurs du terme — p^cost^ avec Pargument 8 qui est ici la seule variable; la seconde donne les valeurs du terme — jp\ cotz sinV» avec les arguments z et 0, dont il dépend; la dernière fournit les valeurs du troisième terme dépendant de 8, Aa et A/?, les arguments sont le temps sidéral et le jour de Tannée.
Les Tables de la seconde espèce contiennent tous les termes ; elles ont été publiées par Petersen dans les ff^ar/istorff's HùlfstafelFiy p. ^3 et suiv.; elles sont construites de façon à pouvoir servir pendant tout le tem|)s que la distance polaire de rétoile restera comprise entre les limites i'*2o' et i®4o'* Petersen part d'une valeur déterminée de /?
;?,=zio3o'; la formule (A) peut alors sVcrire
ç = go? — z — — (/7oCOsr-4- \p\ cos/sin^r)
-^ cotz \^p\ sin'f 4- ~-p\ sin*r (5sinV— 4cos*0]
i ^Plsm'rcot^z, P.
et, en posant
P* 0L=: Pt cost H- 7 /?î cos^ sin'r,
y = I A ( A' — i)plcost sinV,
P = |/?î sin'f -*--^/?J sin»;(5sinV— 4cosV),
p = 7 A*/?î sin^f col'2 = ï A* p*col«2,
cette formule devient
ff ■=. go® — z — Aa — 7 H- A' p cotz 4- fi.
362 ASTRONOMIB SPHÉRIQUB.
D*après cela on conatruit quatre Tables; les deux premières donnent a et ^ avec l'argument /; la troisième donne la petite quantité 7 avec les deux arguments p et i; la. quatrième enfin donne avec les arguments j=: A' pcot 9 et 90*^ — z, la quantité pi qui est aussi très -petite. Ces Tables ne sont calculées que de t = o^ k t = 6^. Par conséquent; si r > 6^*, l'angle horaire doit être compté à partir de la culmination inférieure, et alors on emploie la formule
f z=: go® — z-f-Aa-f-7 + A'P cota + fi.
EXEMPLE. — Le 12 octobre 1847» ^ TObservatoire de feu le docteur Hûlsmann à Diisseldorf, on a observé la Polaire avec un petit altazimut. A i8^2i'°^^8*,8 de temps sidéri^y on a trouvé pour sa hauteur corrigée de la réfraction
h = So'^SS' 3o'',8.
D'après le Jahrbuch de Berlin la position de la Polaire était ce jour-là
par suite
et
logA= 0,0006108;
au moyen des Tables ou des formules précédentes, on obtient
a =1 iooo'%85, p = 68",28, 7 = o^oo, p = 0^^,02,
Aa=i+l6'42%26
A^pcotz=H- 1.24,33
Somme = 4-18' 6'^,6i
ainsi
,p = 5iOi3' 37^41.
112. Méthode de Gauss, — Quand on connaît déjà une valeur approchée 7, de la latitude f , et qu'on veut, avec la moyenne arithmétique d'un grand nombre de distances zénithales d*une étoile, prises longtemps avant et après la culmination, en obtenir la valeur exacte, on emploie avec avantage la méthode. suivante, due à Gauss, et qui, surtout dans le cas de la Polaire, est d^une simplicité remarquable.
Au temps sidéral 0, on a observé la distance zénithale Z| (si est la valeur corrigée de la réfraction); d*autre part, les valeurs O et fo permettent d'obtenir une valeur approchée Ç de la distance zénithale, soit avec la formule
cosÇ = sin^o eos^ + coSf« cos^ cos^,
soit avec le système équivalent
tang.r =r cos^cot^,
sin^ . . ,
cosÇ=: sin(©»-hx),
cosx
où X est encore Tare du méridien compris entre le pôle et le pied de l'arc de grand cercle abaissé de Tétoile sur le méridien.
Or on a
d'où
dX, sin(î cos {(f^-\- x)
dtf cosx sinJ;
Avec une deuxième observation de distance zénithale z\j faite au temps o', on aurait de même
tanga:'= cos/'cot^,
cosÇ'=: -, Sin((po-|- X\y
COSj:
^ d)^' %\ïï8 cos {<p. + j:')'
ûfy cosx' sinÇ'
364 ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.
* Chacune des distances observées donnerait les mêmes équa-
tions, et, en calculant séparément pour chacune d^elles la quantité Ç, la correction d^ de la latitude déduite de leur ensemble serait
n \dfs^ dnf dff I
où Z désigne la moyenne arithmétique des distances zénithales
Mais Gauss procède différemment; il transforme cette équation de manière à n*avoir à effectuer que deux fois le calcul relatif à Ç; en d'autres termes, il ramène le problème à ce qu'il serait si Ton n*avait observé que deux distances zénithales, cas que nous considérerons d*abord.
Dans ce cas, représentons encore par Z la moyenne arithmétique des distances zénithales observées
nous aurons
dy d(f )
OU
si l'on pose
sin $ cos f ^0 -ti- x) COS or sm C
sin ^ cos(ç, H-j/)
cosj? sin V
A et B peuvent encore se calculer à Taide des formules
( A=:cotÇcot(ç. 4-^), I Bi=cotÇ'cot(f,-f-a:');
si Ton déduit la valeur de ~ de Tcqualion primitive
cos Ç = sin ç« sin ^ + cos ^o cos ^ cos r , on obtiendra facilement une troisième expression / fv . /. ^\ coscposin^ sin^ocos^ , , , .
Ceci posé^ représentons par 0« la moyenne arithmétique de tous les temps sidéraux, par X^ la distance.zénithalc çalctilée correspon* dante; soit en outre
nous aurons, en suivant la même marche qu^au n** 107,
ç + ç'-t-r-f-... ^ . ^=^^0 2 2sin4(e — e.)
n (it^ n
soit encore un temps T déterminé par l'équation
2sin2|T =
. . ^ 2 2sin2|(e — 0a)
les distances zénithales z et z' , correspondantes aux époques 00 — T et 0tf -+- T, auront pour expressions
d*uù
^^^ dt ^' fit' '
= Ço + ^2sinHT,
366 ASTRONOMIE SPBÉRIQUB.
ety pour calculer </f , on a simplement
A' et B' étant les valeurs de A et B correspondantes ii z et à z'.
En résumé, si Ton a observé plusieurs distances zénithaleSi on prend la moyenne des temps observés que l'on retranche de chacun d*eux sans prendre garde au sif;ne. Ces différences, converties en temps sidéral, donnent les quantités t pour lesquelles on trouve dans les Tables les quantités 3 sin^yr. Dans les mêmes Tables on trouve Targument T correspondant à la moyenne, arithmétique de ces quantités, et on calcule les angles horaires
puis z et z' au moyen des formules
« sin^ . , ,
tança: = cos/ col 0, cosz = sin(œo-H^)t
cos.r ' '
, / tk I sin^ . , * ,, tang or = cosr coto, cosz = ;-sin (çg-ho: ),
et Z étant la moyenne arithmétique de toutes les distances zénithales observées, on calculera d^ par la relation
OÙ A et B se déduisent des formules (^), (r) ou (e/), dans lesquelles on a remplacé d^abord Ç et Xi par z et z\
Dans Je cas de Tétoile polaire, ces formules se simplifient beaucoup. En effet, l'arc x étant toujours compris entre -h (go**— ^) et — (90° — ^), on peut, dès que la latitude est connue à quelques secondes, c'est-à-dire dès que df^ est une petite quantité, supposer,
dans le cas de la Polaire, et ^ tous deux égaux à
coso: sinÇ
l'unité. Les quantités A et B sont donc aussi égales à Tunité, et
Ton a simplement d*où
rfç = i(ç + i:')-z,
Ëx^pLE. — Le 12 octobre 1847» ^^ ^ trouvé, à TObservatoire du D' Hûlsmann, les dix distances zénithales de la Polaire :
Temps sidéral.
Distance zénithale.
2 tin* 1 T.
Réfr. 46, 5o
e,— (a-f-T) = lôï'Se^gSe^ 00
Planons maintenant
nous obtenons
^^{z'-l- z) = 39. 9.36 ,o5, |(2'-+-z)— Z= 0.0. II ,16,
et par conséquent
(p — 5IOI3'4l^I6.
(* Warnstorff's H'ùlfttafeln, p. 127 et sulv.
m. — DÉTERMINATION DU TEMPS ET DE LA LATITUDE PAR lA COMRINAISON DE PLUSIEURS HAUTEURS.
