Détermination de la latitude par l'observation des deux
culini nations d'une circompolaire ^ ou par V observation de deux
étoiles situées de part et d'autre du zénith, — Supposons qu'en
un Heu dont la latitude est inconnue, on ait observé les hauteurs
de deux étoiles dont les positions sont connues. Dans les deux
écpiations
sin/< =sin^sin^ + cos^cos^ cos/,
sin A' = sin (p sin ^' -4- cosf cos^' cos /' ,
qui lient les résultats de l'observation aux coordonnées de l'étoile, il n'y a en réalité que deux inconnues; en effet,
et la position de l'étoile étant connue, ainsi que Tintervalle de temps 0' — O qui sépare les deux observations, les équations primitives ne contiennent d'autres inconnues que O et ^ . Ainsi, par l'observation de deux hauteurs on pourra toujours déterminera la fois le temps et la latitude; mais, dans certains cas particuliers, la combinaison de deux observations de hauteurs donne des méthodes d'une grande commodité pour déterminer séparément ou la latitude on le temps.
Nous avons déjà montré que la moyenne arithmétique des, hauteurs d'une même étoile à ses deux culminations successives, supérieure et inférieure, est égale à la latitude du lieu d'observation, dont la valeur est ainsi indépendante de la déclinaison de l'étoile. D'ailleurs, on peut obtenir en même temps la valeur de cette déclinaison, puisqu'elle est égale au comj)lément de la demidifférence des hauteurs observées.
On peut encore trouver la latitude par la différence des distances zénithales méridiennes de deux étoiles dont l'une a sa culminalion au sud, l'autre au nord du zénith. Si ^est la déclinaisoD de la première étoile, sa distance zénithale méridienne est
MÉTHODE DBS HAUTBURS CORRBS PONDANTES. 869
si S' est la déclinaison de la seconde étoile, on a et, par conséquent,
114. Détermination du temps par les hauteurs correspondantes, — Correction du midi, — Deux observations d'une niéi^e étoile, faites à des hauteurs égales, donneront les deux équations
i sin/i = sinopsin^ + cosocos^cosr, f sin h = sin <j> sin $ -+- cosy cos^ cos t' ;
d*où Ton déduit tz=: — t'; les hauteurs ont donc été prises dans des cercles horaires situés de part et d^autre du méridien et à égale distance. Soient maintenant « le temps de la pendule correspondant à la pre|iiière observation, u' celui qui correspond à la seconde, ~(u-h u') est le temps du passage de l'étoile au méridien, et, puisque sa valeur doit être égale à Fascension droite connue de l'étoile, l'état de la pendule est donné par l'expression
Cette méthode de détermination du temps par les hauteurs correspondantes est la plus exacte de toutes celles où Ton emploie les hauteurs pour trouver le temps. En outre, on n'a besoin de connaître ni la latitude du lieu d'observation, ni la déclinaison de l'astre, ni la longitude du lieu ; aussi cette méthode est-elle employée pour déterminer le temps dans un lieu dont la position géographique est entièrement inconnue. Il n'est pas non plus nécessaire de connaître la hauteur elle-même; il est donc possible d'obtenir, par ce moyen, des résultats approchés, même au moyen d'instruments imparfaits, qui ne permettraient pas d'obtenir avec exactitude les hauteurs absolues. L'emploi de cette méthode exige seulement qu'on possède une bonne pendule, de marche régulière pendant l'intervalle des observations, et un instrument des hauteurs dont le cercle peut d'ailleurs n'être qu'imparfaitement gradué.
Nous avons jusqu'à présent supposé que la déclinaison de Paslre était invariable pendant l'intervalle des observations; mais, dans le cas où Ton emploie le Soleil dont la déclinaison peut varier beaucoup en quelques heures, la moyenne arithmétique des (emps des deux observations nç donnera plus le temps du passage du Soleil au méridien; si, par exemple, la déclinaison du Soleil va en croissant, Tangle horaire correspondant à une même hauteur est plus jgrand après midi qu'avant, et, par suite, la moyenne arithmétique des temps tombe un peu après le midi vrai. La moyenne des temps tombe au contraire avant midi, si la déclinaison du Soleil est décroissante. On devra donc alors appliquera la moyenne arithmétique des temps une correction dépendant de la variation de la déclinaison. Celte correction s^appelle équation des hauteurs correspondantes ou correction du midi. Pour déterminer cette correction, nous* regarderons comme connue la marche de la pendule.
Si ^ est la déclinaison du Soleil à midi, A^ la variation d€ la déclinaison entre midi et le temps de chaque observation, nous avons
sinA = sin^sin(d — A^) -f- cos^ cos((^ — A^) çosf, sinA =: sin^sin(^ + A^) -h cos<p cos(^ -f- A^)cos<'.
Soient, de plus, u et u' les temps de la pendule pour les deux observations; ^(«i -f- a') ==U est le temps qui correspondrait au passage du Soleil au méridien, si la déclinaison n'avait pas varié: c'est le midi non corrigé.
Désignons par t le demi-intervalle des deux observations, par X l'équation des hauteurs correspondantes; l'époque du midi vrai est 11 + j? = o^, et nous avons, pour valeurs absolues des angles horaires,
f =zr — a- , et ainsi
sin/i =sin(ï> sin((î — A^) -4- cos<j>cos(^ — A5) cos (tH- j-), sin/* = sinçsin (^ -f- A^) 4- coS(j> cos(<î + A(î)cos (t — j).
MÉTHODE DES HAUTEURS CORRESPONDANTES. 3']l
De ces deux expressions de sin^, nous dcduisons réquation
suivante
o = sin y cos(î sin A ^ — cosy sin ^ sin A ^ cost cos j:
cosycos^cosA^ sin T sin X.
Mais dans le cas du Soleil, x est toujours assez p^tit pour qu'on puisse remplacer ^nx par Xy et cos.r par Tunilé. Nous aurons donc, en substituant A^ à tangA^,
oc
\ sinr tangT/
Soit n la variation de la déclinaison en quarante-huit heures, et supposons que, dans cet intervalle, la déclinaison varie proportionnellement au temps,
d'où
40 \ sinr °^ tangT /
ou, si Ton veut exprimer x en secondes de (emps,
X =z ■^-— ( : — tango» H r- tang^ ) .
720 \ sint tangT ° /
Pour faciliter le calcul de cette formule, Gauss a publié des
{*) Nous aurions pu obtenir celle équation par la différent iation de Pé-
qualion primitive qui donne sln k, en y regardant $ et t comme variables,.
et en remarquant que
dt ^
{**) Puisqu^on se sert de la vorialion de la déclinaison au moment du midi vrai, on devrait en réalilé prendre la demi-somme des variations qu^éprouve la déclinaison entre le midi du jour de Tobservation et le midi de chacun des jours qui le précèdent et le suivent immédiatement. Mais,. au lieu de cela, les Ephémérides donnent la quantité (i,
37^ ASTRONOMIE 8PHÉRIQUB.
Tables (Zach's monaitichc CorrespondenZy vol. XXIIF), ,qu'on trouve aussi dans le recueil de Warnstorff. Ces Tables, dont Tar* gument est t, donnent les quantités
720 sinx
720 tangr
et la formule a\;ec laquelle on obtient Téquation des hauteurs correspondantes est simplement
(A) xz=z — Apttangf + BfA lang^.
Équations différentielles, — Différentions les deux formules (fl) en considérant ^ comme constant, no^is aurons
dh ■=. — cos A df^ — cosç sinAr/^, dh' ^= — cos A' fl?y — cos f sin A' £^/ .
Dans ces équations, nous remplaçons dt' par dt^ car nous pouvons supposer que Terreur commise sur le temps de Tobiervationest réunie avec les erreurs de hauteur; d^autre part, puisque nous avons A = — A', il vient
dh = — cos A' </^ -f- cos y sin A' dty
dh' = — cos A'fl?y — cos ff sin A' dt, et
(b) dt:
2coS(psinA'
Cette relation montre que, pour la détermination du temps par la méthode des hauteurs correspondantes, il faut choisir des étoiles dont l'azimut soit voisin de di 90*^.
Exemple. — Le 8 octobre 1822, le D"^ Westphal a observé au Caire les hauteurs du Soleil qui suivent :
MÉTHODE DES HAUTEUBS GORBBSPONDANTES.
in^
Doublo
deU hauteur du Soleil
