i=/fx (Atangy — Btang
Exemple. — De Zach a observé à Marseille, le 17 et le 18 sep* tembre 181 o« des hauteurs égales du Soleil. Le demi-intervalle des temps était 10^55"*; d'antne part on avait
9= -h 2»i4' 16", <p = 43« i7'5o% logf* = 3,4453/î,
nous trouvons donc
logA = 3,73o5, logB = 3,7128, log/:= i ,oo33,
fA/Atangf = — i4aS33, — fA/BUng^= -h 5,67,
et par suite, pour la correction Xy la valeur
xz= — i36',66.
Betnar^ue I, — L'équation des hauteurs correspondantes est exprimée en temps solaire "Yrai. Cependant on peut, sans quUt soit besoin d^autreeor*. rection, la considérer comme exprimée en temps moyen, et par suite rappliquer directement aux obserrations faites avec une pendule réglée lar le temps moyen ; mais lorsqu^on s^est servi d^une pendule sidérale, il faut mal-
tiplier la correction par la fraction 7-?» dont le logarithme e^t o,ooia.
Remarque II, — Si Tangle horaire r est assez petit pour qu'on puisse remplacer le sinus et la tangente par Parc, la correction du midi devient
x=:z—^ [Ungç>— tangtTj.
Mais comme les unités du numérateur et du dénominateur sont diflërentes, la première étant l'heure et la deuxième le rayon, on devra multiplier le second membre de Téqualion par ao6a65 et le diviser par j5 X 36oo, et on aura
OÙ X est la correction du midi exprimée en secondes de temps, pour r = 0. Mais dans ce cas, Tangle horaire étant nul, les deux hauteurs se réduisent à une soûle, la hauteur maximum, et x est alors la quantité qu'il faut ajouter à l'époquo de la plus grande hauteur pour obtenir celle de la culmination. Cest l'espressioit que nous avions déjà trouvée au n<> ILO dans la réduction des hauteurs ci rcu m méridien nés.
DÉTERMINATION DU TEMPS ET DE LA LATITUDE. Zjf
116. Détermination du temps et de la latitude à l'aide de deux observations de hauteur. — Dans le cas où Ton a observé les hauletirs de deux astres et où Ton connaît Tintervalle qui sépare les deux époques d*observation, on peut toujours déterminer à la fois le temps et la latitude du Heu. En effet, on a encore les deux équations
iftin h z=z sin^ sin^ + cos^ cos^ cos/, ...
sin h' = sin f sin $' -f- cos y cos ^ cos /'.
Si u et u' désignent les temps de la pendule correspondants aux
deux observations^ Âa Tétat de la pendule par rapport au temps
sidéral, on a (*)
on donne ici à A ir la même valeinr dans les deux observations , car on admet que l'ane d'elles a été corrigée de la marche de la pendule, sup|)osée connue. Ainsi, l'on connaît la quantité
«'— Il — (a' — a) = f' — / = X.
Les équations (a) ne contiennent donc que deux inconnues ^ et /, qu^on pourra dès lors déterminer. Dans ce but, on exprime les trois quantités
sin^, cosfsin/, cos ^ cos ^
en fonction de Tangle parai lactique; le triangle formé par le pôle, le zénith et l'étoile donne
sin f = sin /< sin ^ + cos A cos S cosp , (a) ^ cos/ cos y = sin // cos^ — cos/* sin $ cosp ,
sin/ cosf =^ cos/i sin p.
C^) Si Ton observe le Soleil avec une pendule de temps moyen, on a, en
désignant par ^v et w' les équations du temps aux deux époques d^obser-
valion,
t = u -+■ Aa — w f
l' = u' -h Au — «»',
d^où
À=iU* — u — (w' — tv).
378 ASTRONOMIE SPHËRIQUE.
Substituant ces expressions dans la valeur de sin//, nous trouvons
sînA' = -f- (sin 9 sîn^' -i- cos^cos^' cos>) sin A
■+- (cos $ sin 5' — sin S cos d' cosX) cos^ cosp
— cos(^'sin>cosA sin/?.
MaiSy dans le triangle formé par les deux étoiles et le pôle, on a, en désignant par D la distance des deux étoiles, par s et s' les angles aux étoiles,
icosD = sin S sin S' H- cos «î cos $' cos'k , cos* sinD = cos ^ sin $' — sin ^ cos ^' cosX, sin j sin D =r cos (î' sin ^ ,
d*où, en portant ces expressions dans la valeur de sin A' , sin A' = cos D sin A H- sin D COS A cos (f -+-/?) ,
et, par suite,
, , , , sin A' — cosDsinA
sm D cos //
Dans réquation ,
sin h = sin (p sin ^ -\- cosy cos^co^(^' — X),
remplaçons sin y, cos^sin^ et cos(pcos^ par leurs valeurs, que nous donnera le triangle formé par le pôle, le zénith et la seconde étoile; nous trouverons aisément
, , ,. sin// — cosDsinA'
(d) cosij' — »')= ;--— n •
^ ^ \ / / sinDcosÂ'
Après avoir calculé soit Tangle p à l'aide des équations (^) et (c), soit l'angle/?' à IVidede réquation(c?) et des analogues de (A), on obtiendra les grandeurs cherchées <p et r ou «p et f ' au moyen des équations (a), ou des équations semblables en sinip, cosfsinf et coscpcos^'.
D'ailleurs, les équations (a) et (b) donnant «p et r, D et * par leurs sinus et leurs cosinus, il ne peut y avoir aucune incertitude
sur les valeurs de ces angles. Les équations (c) el (d), au contraire, ne contiennent que les cosinus de (s-hp) et {s' — p')^ mais le triangle formé par le zénith et les deux étoiles donne
sin D sin (5 H- /> ) = cos// sin ( A' — A) , sinDsin (^ — p')^= cosA sin (A' — A);
on voit ainsi que, s)n(j-f-/?) et sin (^ — p') ayant toujours le signe de sin (A' — A), il n*y a aucune ambiguïté dans l'emploi des formules [c) et [d).
Au moyen d'angles auxiliaires et en suivant la marche ordinaire, on pourra rendre les formules [a) el[b) d'un usage plus commode pour le calcul logarithmique; pour y arriver on transformera, comme on l'a fait au n® 106, la formule (c) en une
autre qui donne tang' ^> et de la sorte F et/, G et g' étant
des angles auxiliaires» le système complet des formules sera le suivant :
sin^' = sin/sinF,
(e) \ cos \ cos $' =z sin/ cos F ,
sinX cos^' = cos/; ,
cos D = sin/ cos (F — S), (/) { coss sin D = sin/ sin ( F — S),
sin j sin D = cos/;
s-{-p .cosSsin(S — h')
tang^
/^) ; 2 cos(S — D)sin(S — //)
/ sin G sin g" = sin h , (h) ^ cosG sin g = cos h cos/? ,
cos g' = cos/i sin/7 ;
sin y = sin g" cos (G — ^), (/) \ cos/ cos <p 1= sin g^ sin (G — 5),
sin t cos (f = cos g.
38o ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.
' Dans le cas actuel, les formules de Delambre seront aussi fort commodes. Le trûingle formé par les deux étoiles et le pôle a pour côtés D, 90** — ^ et 90" — ^' , et pour angles opposés \, s' ci s;
on a donc
/ sin|D8inl(j'— y) = sinf(^'— ^)cos|À, sin^DcosK^ — s) = cos^($'-^$) siny>, cos j D sin \ {s'-\- s) — cos-^ (^'— - 9) cos|> , cosjD cos ï(/-h s) =z sin j(^'4- $) sin y). ;
et d*ailleurs, comme précédemment,
* 4- o cosS sin (S — h')
lane* — — ^ z= — ,
^ 2 cos(S— U)8in(S-//)
,5' — p' cosS sin (S — /< )
tang' ^ -— \ ■ f
2 cos{S — D) sin (S — Jt')
enfin nous avons, dans le triangle formé par le pôle, le zénith et la première étoile,
sin(45*»— jff) sin j( A + /) = sin \p cosj{h 4- S) ; sin(45*»— |(p) cos-^(A-f-/) = cos|;?sin|(/« — ^), cos(45«— } ij)) sin j ( A — /) = sin 1/? sin |(/i -h ^) , co$(45° — y(p) coSy{A — /) = cos^pcos~{h — S).
Le triangle formé par le pôle, le zénith et la seconde étoile donnerait des formules semblables dans lesquelles A', /', //, p' et 9' remplaceraient A, /, hy p et J.
Ces formules ont un grand avantage; elles contiennent Tazirout, et par suite, si Tobservation ayant élé faite avec un allazimut, on a eu soin de lire, en même temps que la hauteur, les divisions du cercle aziraùtal, la comparaison de cette lecture avec la valeur calculée A de Tazimut donnera incidemment la division du cercle qui correspond au méridien.
Exemple. — Le 29 octobre 1822, le D' Westphal a observé,
•A Bcnisuef en Egypte, les hauteurs suivantes du centre du Soleil :
h =z 37» 56' 59'', 6 , u=io^ 48«" 48» , A' = 5o . 40 . 55 , 3 , a' = 23 . 7.17,
où u' est corrigé de la marche de la pendule, et h et h' sont les hauteurs vraies. L'intervalle de temps des observations, converti en temps solaire vrai, donne
et la déclinaison du Soleil était pour ces deux épo(]ues
^= — lo^io'So",!, ^ = — lo•I2'57^8.
Avec ces valeurs, les formules de Delambre donnent
.f'=:93. 6. 1,93, t z=i — 35.24.59,23, f -f-/> = 53.i5.4i >26, A=: — ^&,iQ,5:i fi*];
le calcul de ^ et de /', fait à Paide des formules déduites du second triangle, donnera une vérification; car on devra trouver pour ^ la même valeur, et pour t' la valeur/ + >.
Équations différentielles. — Afin de reconnaître quelles sont les étoiles les plus propres à ces déterminations, considérons les deux équations différentielles
dh :^ — cos A dtf — cosç sinA dt^' '
dh' =: — cos A' dff — cos y sin A'dt,
dans lesquelles nous donnons à dt la même valeur, puisqu^on peut supposer la différence qui existe entre dt et dt^ réunie à Terreur de hauteur.
Nous obtenons par Félimination successive de ^«p et âedty
, cos A' -, cos A „,
éos© dt = -4- -:-- — ; dh r—r-, dh,
sm(A'— A) sin(A'-.A) '
sin A' ,, sin A
do =z :— — — dh + -r-r-i ^/' .
sin(A'— A) 8ln(A' — A)
382 ASTRONOMIE SPBÉRIQUE.
Ainsi, pour que les erreurs d*obser^ation ne puissent avoir une grande influence sur les valeurs de f et ty nous devrons choisir les étoiles de telle sorte que A' — A soit aussi voisin que possible de + 90** ; si cette condition est remplie, on a
cosy £?/ := 4- co&k! dh — cosAdh'^ df =z — sin A^dh -h sin Adh';
par conséquent, si A' est voisin de zb 90^, auquel cas A est luimême voisin de o® ou 180®, on voit que dans la première équation le coefficient de dh est minimum et celui de iih' est au contraire maximum ; l'exactitude de la détermination du temps dépend donc principalement de celle de la hauteur prise dans le voisinage du premier vertical. Nous verrions de même que Texactitude de la détermination de la latitude dépend surtout de celle de la hauteur prise dans le voisinage du méridien.
Dans Texemple précédent, A'= — i"i5', nous aurons donc, dtf^ dh et dh' étant exprimés en secondes d'arc et dt en secondes de temps,
d^ =^ -\- o,o3o8 dh — 1 ,02i5 dh',
dt = -h 0,1077 dh — 0,0744 ^''
117. Détermination du temps et de la latitude par l* observation de deux hauteurs d*une même étoile, — On simplifie beaucoup la solution du problème en observant deux fois la même étoile. En effet, on a alors B' = ^, ^ = *, et les fornSules (A) du n*' 116 deviennent
sin-J-D = sin-Xcos^,
cosj cos-jD = sin|>. sin(î,
sin^ cosyD = cos|X.
A Taide de ces formules on calculera D et jr; ])uis on prouvera ^ et f, et A si Ton veut avoir sa valeur, au moyen de la première équation (B) et des équations (C).
Nous donnerons une seconde solution de ce problème; les
formules
sin/i = sin^p sin^ + cos^ cos^ cosf, sin/i' =: sin(|p sin^ H- cos^ cos^ cos{t H- ^),
combinées par voie d^addition et de soustractioD, donnent
Icos{{h-\-h') s\n\(h — h') =:cos^cosç sinj). sin(/4- |X), sin|(A-l-A') cos|(/i— à') = cos^cosy cos|Xcos{/4- i^) + sin^ sin^.
£n posant
Isin^ = cos6 cosB, cos 2 ^ cos S = cos b siii B, sinyX cos^ =r sin6,
la seconde des équations {a') devient
smcpcosB -hcos*cos(r-+- v>)sinB=: — — j-^ '<
Prenons maintenant de nouveaux angles auxiliaires F et G, tels que
Isin^ = cos G cosFy cos{t 4- ~)<) cos(j» = cosG sin F, sin(/-f- yXJcosy =;= sin G,
et par suite déterminés par les équations
cos\{h+/,')sm{{h-/,')
Sm G = ; — ; ï •
smc> ' .
^^^ ^ ,« ^s r. sini(i%-t-/*')cosi(A~//)
cos(B — F) cosG — — — —r^^ •
^ ' coso
Dès lors le calcul sera le suivant : au moyen des équations (A^) on déterminera b et B, à Taide des équations (C') on obtiendra G et F, puis les équations (B') donneront les quantités inconnues f et t.
La signification géométrique des angles auxiliaires s'obtient aisément : soit PQ (fig, lo) un arc de grand cercle perpendicn-
Fig. 10.
laire à celui qui passe par lies deux étoiles S, S', et ZM un arc perpendiculaire à PQ ; on a
^=:;Dr=QS, -B^PQ, F==PM et G = ZM.
Exemple. — Avec les données du n® 117 et en supposant à la déclinaison une valeur constante ^ = — ro® 12' 5'j",8, on a
sin6... 1,466600, sinB... 1,9924^0»
co%b, . . I , g8o 5349 cosB. . . i , 268 32 1 /r,
B z= IOO"4l'23",I,
sin G,
cos(B--F) cosG
Remarque. — Dans le cas où les deux hauteurs sont égales, on a encore la même formule (A) cl les formules équivalentes [e] et (/) du n** 116; mais alors les formules (B) se réduisent h la sui-
vante
et si Ton connaît />, on pourra calculer f et / par les forninles (/<) et (/;, ou f , / et A par les formules C (n® 116).
118. V observation donne les ilifférenccs des hauteurs et des azimuts de deux étoiles^ à deux époques dont rintcfvalle est eonnn : trouver h la fois le femps, la latitude^ les hauteurs et les azimuts de ces étoiles*
Ce problème est analogue aux précédents; aussi nous le traiterons immédiatement, bien qu*il ne soit pas un simple problème de hauteurs.
On calculera d'abord les formules (A) du r\f 116.
En outre, si dans le triangle formé par le zénith et les deux éioiles et dont l'un des angles est A' — A, les côtés 90° — //, 90** — h' et D, ou désigne par q et q' les angles o|>|u>séf aux côtés 90" — // et 90° — h\ on aura
. ,, . , cosjf//'-//Uos-nA'-A) sin-Jfv'-f- q) — '- —^ 5
; . . , sini(//'-//)cosi(A' — A)
^B) { .^Kq-q =. -r^ ,
,angi(A-4-^)^^^1<^;^^^o4D.
' cos} q — q )
Cc»s équations nous permettront d'obtenir 7 et q' et aussi ~{h-\-&' , d'où h et h' : mais puisque nous avons (n" 116)
nous connaîinms par là même p et //. Nous chercherons ensuite f, / et A au moyen des formules (C) du n" 116, et comme vérificaiion nous tirerons ç, /' et A' des fonnnles analogues r»*latives à la seconde étoile.
Équations différentielles. — Si dans les équations difTérenlielles du n*' 36, on rempla^e
/' par ir./'+r) +!(/'-/), / par i(/'+ /) - îl^'- ^S I. 25
386 ASTBONOMIE SPHËRIQUE.
on obtient, puisque dans le cas actuel d$z=z:Oy
dh =: — cosA dff — cos^ sin/? <i|(/'-+- 1) -hcos^ %mp d\[i'—t)^ dh'z=--- cosA'rfç— cos«î' s\np'd}(i''^t) — cos$'smp'd{[t'-t)j
dK=z — sinA taDgA</f
cos^cos/7 ,, . , cos^cos/? ,, , , cosh ' Qosn
dk!=. — sinA' tang/<'^(p
cosô'cos/?' , , , , cos^'cDSo' ,,,. , cos// ^ cosA'
Retranchons la première équation de ta seconde, la troisième de la quatrième, entr^ les équations résultantes éliminons successivement \d{t' -^ t\et dffy et servons-nous des relations
. * cos^cos// . . » A
cosa sin/? = cos? sm A, j-^ = sin® + cos® tang« cosA,
' ^ cosA ^
*. . , ... COS^'cOSp' . if 1/
cos^ sin/?'=: cosf sinA', jf=— = siny H- cosy tang^ ces A ,
nous aurons
M,dffz={ tangA cos A— tangA' cosA') d{h! — h)
(sinA — sinA')rf(A' — A)
/cos^ . ., cos^' , . .\ ., . ^.
-+- 7 cos/? sin A' 7-f coso' sin A ) rffr — /) ,
\cosA cos/r /
Mcosçrf|(/'-h^)
= (tang sinA — tang/i' (sinA') rf(A'— h) — (cos A — cos A') rf(A'— A) -h [cos<p (tang/* — tang//)sîn* j(A' -+- A)
