sinç (cosA— cosA')] J

M= 2(tang/* 4- tangA')sin»j(A'— A).

Nous voyons ainsi que pour diminuer autant que possible l'influence des erreurs d'observation, nous devons choisir des étoiles dont la hauteur et la différence d^azimut soient grandes, de manière à rendre M aussi grand que possible. Si ~[A' — A) =190**, le coefficient de <f(// — h) lui-même sera toujours plus petit que j.

Remabquis. — De Camphausen a proposé d'observer les étoiles au moment où leur hauteur est égale .à leur déclinaison; le triangle formé par le pôle, le zénith et Tétoile est alors isocèle; par suite / = iSo"* — A, et Ton a simplement

cot^cosf := -4- cot^' cos/' =z tang(45'» — Jf), — cot^cosA = — col^'cosA'=: tang(45"— yf);

d'où Ton déduit

t.ngi(A' + A)=.|£ii=4]co.;-(A'-A).

Ces formules nous donnent ^ et ^ + ^ ou A' + A. Mais il est impossible d^observer la hauteur d'un astre au moment précis où elle est égale à la déclinaison ; les quantités observées i' — /et A' — A doivent donc cire réduites à cette époque. (Foi'r Encke, Ueber die Erweiterung des Douwcs^chen Problems, Jahrhuch de Berlin, 1859.)

Exemple. — Le 3o mars iiB56, on a observé à Cologne les différences en hauteur et en azimut de n Grande Ourse et de a Cocher :

et la différence des époques d'observation, exprimée en temps sidéral, était o^i8'"8%70.

Ce jour- là les positions apparentes des étoiles étaient

>î Grande Ourse., a = i3»'4i"54»,53, ^=:-f.5o*» i' 45^9,

aCoclier «'= 5. 6. 1,69, ^=-+-45.51. 1,7,

iV6i\ Ton déduit

Nous avons d'abord, au moyen des formules (A) du ii** 116,

puis, avec les formules (B),

7'— —28" 40' 53% 44, iVoii />»=:-62«44' 5", 98, (j =z — 3i .21 .32 ,80, P ^= H- 57 .22.43 ,64i

Nous obtiendrons donc, par les formules (C) du n** i 16,

Si nous calculons les é(|uations différenlielles, nous Irouvons, «•Il exprimant toutes les erreurs en secondes d'arc,

fl<f = — 0,0342 r/(//'— //) — 0,4892 /'/(A'— A)

— o,oi88rf(/' — r).

119. Méth'jde (i*i Dotuves. — La mélliode de détermination <lt* la lîititude et de Theure par tieux observations de hauteur estsou^ vent employée en mer. Mais, à cause de la longueur des cdiriils, les marins ne suivent pas la marche directe que nous venons d'exposer; ils font usa}j[o d'une méthode indirecte proposée par D luwes, navigateur hollandais. Ici la latitude est toujours connue apj)roximativement ])ar 1rs calculs ordinaires, que permet, sur la marche du vaisseau, l'emploi de la boussole et du loch. Avec cetli' valeur approchée, en langage de marine po'i?t cstimcy avec la déclinaison vX l'intervalle de temps, et à l'aide de cell« des deux observations de hauteur qui a clé faite loin du méritlien, il sera

MÉTHODE DE DOUWES. 38i)

facile d'obtenir une détermination apprcK'hce de l'heure dont on be servira ensuite pour trouver la laiitude au moyen de l'observation de hauteur faite au voisinaj^e du méridien. Avec celte nouvelle valeur de la latitude, on recommencera le calcul de ta détermination de l'heure.

Supposons encore que la même étoile ait été observée i\v{\\ fois, on a

sin// — sinA' = cosf cos(î[cos^ — cos (t-h X)]

= 2cosf cos^sin(/ -t-^X) sin.~X; d'où

2sin(/ H- ~\) z= séc^séc^ (sin// — sin A') cosécyX,

ou, en prenant les logarithmes,

. Uog2sin(^-4-iX) I i=:logsécy-hlogséc^-l-log(sin/i — sin//') 4- logcosée|X.

Puisqu'on connaît une valeur approchée de ^y on tirera de cette équation /-h^>, et par suite t; avec la hauteur // observée dans le voisinage du méridien, on trouve ensuite une valeur plus exacte de la latitude à l'aide de la formule

(B) cos(f — S) = sin//' -h cosy cosiî.ssin^K/ -r- X).

Si le résultat obtenu diffère trop de la première valetir adoptée pour la latitude, on recommencera, avec cette nouvelle valeur de (f, le calcul des formules (A) et (B).

Douwes a construit des Tables qui facilitent le calcul et qu'on trouve dans l'ouvrage : Tables requisite to he iised with the nantical ephemcris for Jînding the latitude and longitude a t sca, et dans tous les ouvrages de navigation. Ces Tables donnent les valeurs de logcoséc-jX pour l'angle horaire exprimé en temps sous le litre Log halfelapsed time (Logarithme du demi-temps écoulé ), et de log 2 sin (r -f- yX) sous le titre Log middle time (Logarithme du temps milieu), et enGn de log 2 sin^|/ sous le titre Log rlsing //w/; (Logarithme du temps d'origine). La grandeur logsécyséc(î se nomme Log ratio^Qi on a, par l'équation (A),

log (eraps milieu = lo{j ratio H- log (sinA — sin A')-f-log demi-temps tcoulô.

Sqo astronomie sphérique.

£d cherchant ce iogarilhme dans la Table du temps milieu, on obtient immédiatement la valeur de t. Puis on prend dans les Tables de temps d'origine le logarithme correspondant à fangle horaire / + ^, on en retranche le log ratio, et on ajoute le nombre résultant au sinus de la plus {rrande hauteur. On obtient ainsi le cosinus de f — ^, et par suite la latitude. ,

Exemple. — Appliquons la méthode de Douwes à IVxemple du n« 116.

^=aqOo' log temps d'origine 5,90840

log ratio o,u65 la log ratio o,o'>5i2

1og(8inA — ainh') i,20o4Qn -4-0,00007

logdemi-temps écoulé.. o,5afi45 gi^ ^ -1-0,7:364

log temps milieu 1,792 o6n log cos(f> — S) i, 88858

Remarque I. — Si Ton veut, au lieu des Tables de Douwes, employer les formules ordinaires de la trigonométrie sphérique, on calculera les formules

sin^-f-vAj= ^-^ \ .'\^ ^,

COSf cososmyA

cos(o>-N) = -^,

où

sin ^ = M sin N, cos^ cos r = M cosN.

Remarque II. — Dans le cas où les observations sont faites en mer, les deux hauteurs correspondent à deux points différents de la surface de la Terre, puis(|ue le vaisseau s^est déplacé pendant rintervalle des deux observations. Mais comme on connaît la vitesse du vaisseau à Paide du loch et la direction de sa marche par la boussole, il sera très-facile de réduire les deux hauteurs à un même lieu d'observation.

Soit A [J^g' 1 1 ) le lieu du vaisseau à l'époque de la première observation, B sa position à Tépoque de la seconde. Menons, par le centre de la Terre et Tastre, une droite qui coupe la surface de

MÉTHODE DE DOUWES. • Sgi

la Terre en S', et considérons le triangle ABS' ; BS' représente la distance zénithale mesurée en B; et, puisque' BA est donné, il suffira de connaître Tangle S'BA pour trouver le côté AS', distance

zénithale de Tétoile qu'on aurait mesurée au point A. Par conséquent, en observant la seconde hauteur, celle qu'il faut réduire, le marin devra déterminer aussi l'azimut de l'étoile, c'est> à-dire Tangle S'BC; et comme il connaît l'angle CBA que fait avec le méridien la direction de la marche du vaisseau, il aura par cela même la valeur de l'angle S' BA qu'il cherchait. Soient a cet angle et A la distance des deux lieux A et B, /lo la hauteur réduite, on aura la relation

sin A, = cos À sin Â +* sin A cos h cos a,

sinÂ, = sinA + sin A cos A cosa — 2sin'{Â sin A ;

et SI nous remplaçons sin A par A, nous obtenons, à l'aide de la formule (20) du n^ 11,

Ao = A -h A cosa — I A* tangA, équation dont le dernier terme peut le plus souvent être négligé.

120. Détermination du temps, de la latitude et de la déclinaison à l'aide de trois observations de hauteur de la même étoile, — Avec trois observations de hauteur d'une même étoile, on a les trois équations

sin A =sin<psin^ + cosf cos^cosf,

sin A' = sin<psin5H- cos y cos ^ cos (^ H-^)>

sin A'''= siuf sin 5 -h cos^ cos 5 cos ( f + X'),

Sga •ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.

qui serviront à dctermit\.er 9, t et S, Au moyen des qiKinlîtés auxiliaires

.r =z COS7 rOS(î (OS/,

j- zm cosç cos ^ sin / , z=:$infs:n^,

les fonnules |)récétlfnles deviennent

sin h =: 3 -h .r ,

sin/i' = « + .rcosX. — jsinÀ,

sin^"= z -h .rcobX' — j^sin>'.

Ces équations permettent de trouver .r, y, z\ et cis quantités une fois connues, on obtiendra <p, r et ^ à Taide des relations

tangrzz:-»

sin f sin(ï == z,

cos <p cos (î = sjx^' H- j*.

Celte méthode parait, au premier abord, être Tune des pins commodes et des plus avantageuses; car, pour le calcul des observations, elle n*exîge aucune donnée étrangère (*). Mais elle n*est point pratique, car les erreurs commises dans les observations des hauteurs ont une très- grande influence sur les quantités inconnues. Cependant si Ton ne considère pas ^ comme constant, c'est-à-dire si Ton observe à des hauteurs égales trois étoiles différentes et de déclinaisons connues, le problème devient susceptible d'une solution élégante et utile.

121. Détermination du temps, de la latitude et de la hauteur pur V observation de trois hauteurs égales. Méthode de Gauss (**).

(*) Puisque l'on a obstMvé Irois liautours d\\ne même éloiîe, X ol X' ne dépcndcQl pas de Pubcrnsion droit»* (n<» 116).

(**) Voir Monatliche Corrtspondt'nzy t. XVlil, p. '277 et suiv.

DÉTERMINATION DO TEMPS ET DE LA LATITUDE. SqS

— Dans ce rafs, on a les trois équations

/ sinA = sin<p sin 9 -h cosy cos ê cost, {a) < sinA=:sin(psinJ'-+- cos^ cos^ cos (r-4->),

( sin^ = sin(])sin5''-l- cos(pcos(î''cos (r H- a'),

avec

Dans les deux premières équations remplaçons à et $' par

x(3 + i') + i(3-a') et ^(3^3')-i[3-3),

et retranchons ensuite la seconde équation de la première, il viendra

0 = 2sin ^ sin|( ^ — S') cos^(^ -h $' )

-f- ros«p [cos-^(^ — (î') cos{((î -f- 5' ) — sin|(^ — $') sini(^ 4. ^') cos/

— cosy [cos^iiî — ^') cos|(^ -f- d') + sin { [$ — d') sin i (5 + S')] cos ;/ -4- \),

/o = sin(p sin J (^ ^') cosi(<y 4- ^' ) (a)< +cos<pcos^ ((J — ^')cos;-'^4-u';sin5-Xsin(/-+-|>) ( — cos<p sin \ (^ — J' ) sin i (^ -+- $') cosjX cos '^t -+- i> );

d'où résulte

rang.ï)=r — sin|Xsin(/ -h \l) col J (5 — 5') -h cos|X cos (t -h jX) tang^(^ + S').

Actuellement introduisons les quantités auxiliaires défini<?s par les équations suivantes

/sinjX cot|(^ — ^')=://f'sinM',

(A) ) cos|Xtang^(^-H<y') = m'cosM', .

nous aurons

(B) tangy = w'cos(/ + N').

Avec les notations analogues

smjV coti(^ — ^'^) = m*sinM",

la première et la troisième des formules {a) donneront de mênae

(D) tangy = /w"cos(/-+- N'').

De la comparaison des formules (B) et (D) on déduit i»i'cos (r -I- N') r= /w"cos (t -t- K*');

H étant un angle auxiliaire dont la valeur peut être arbitrairement choisie, nous écrirons, selon le procédé habituel de Gauss, Téquation précédente comme il suit :

m'cos[(/-4-H) +(N'— H)] = /ii''cos[(^4-H) + (N" — H)],

d^où^ en développant,

iang^r-t-ti; ^/ gi^^j^/^ ^j /w"sin(N" — H) '

Les valeurs de H qui donneraient à cette expression la forme la plus commode pour le calcul seraient o, N', N^'; mais, en posant

on obtiendra une formule très«élégante; en effet, on a alors

si Ton introduit dans cette équation l'angle ^ donné par la relation

m'' (E) • tangÇ=:— ,

on aura

m' — m'^ I — tangj; , ,^

DÉTERMINATION ^U TEMPS ET DE LA LATITUDE. SgS

de telle sorte rjue la formule précédente deviendra

(F) tang[/-t-i(N'4-N")]=tang(45»-Ç)cot|(N'— N").

Les équations (A),..., (F) renferment la solution du problème. On cherche d^abord, à l*aide des équations (Â) et (C), les valeurs de m', M', N' et»de m" y W ^ N"; on trouve ensuite t par les équations (£) et (F), et ^ par Tune des équations (B) ou (D); on n'a donc pas besoin de connaître la hauteur pour calculer 7 et r; mais, en substituant dans les équations primitives (a) les nombres ainsi trouvés, on obtient la valeur de /<; et si, d*un autre côté, on a lu cette hauteur sur l'instrument lui-même, la comparaison du calcul et de Tobservation permettra de déterminer Terreur de rinstrument.

Équations différentielles, — Étudions maintenant les positions relatives que les trois étoiles doivent occuper dans le ciel, pour que leur observation donne les résultats les plus exacts. Pour cela, nous aurons encore recours aux équations différentielles. Puisque les trois hauteurs sont égales, on peut supposer que les valeurs de dh sont aussi les mêmes dans les trois équations différentielles, car il suflit de reporter sur les valeurs du temps les erreurs commises dans l'observation des hauteurs. Dès lors

/ = tt + Atf — a,

et ainsi dt sera composé de deux erreurs :

1° L'erreur d^Lu) commise sur l'état de la pendule, et qui est la même pour les trois observations, car on considère la marche de la pendule comme connue;'

2® L'erreur commise sur le temps de l'observation, erreur qui, au contraire, pourra être différente pour chacune d'elles.

Les trois équations différentielles sont ainsi

dh ■=. — cosA d<^ — cos«|» sin A du — cosy sin A d (Att ), dh = — cosèJ dff — cosç sinA't/a' — cosy sinA'^(Ai«), tlh = — cos A'Vy — cosy sin A Va" — cosç sin AV [au).

396 ASTRONOMIE SPBËRIQUE.

Retranchons la seconde cqiiation de la première, nous obte nons

o =z 2sin{(AH-A')^/y — 2cosi{A+ A') cosy ''(^«)

cosepsinA , cosvsînA' , ,

fia -H -T— rfï Tm ^''* >

8in|{A— A') sinj(A— A')

et de même, en retranchant la troisième delà première,

o = 2sin ^(A-+- A") fltf — 2CO.s'3(A -+- A") cosçp^(A/0

coscpsinA . cosî>sinA" , „

du -^ -T— ,--z r»\ «'* ;

sinj(A--A"y sin-^(A— A")

enHn, en éliminant successivement r/(A//)et//^ entre ces deux équations, on a

cosç sinA cos-.f A'-hA")

fi m m ■ (lu

^ 2sin,W^A — A')sin^(A— A")

cos(p sinA' cosj(A"+A) ,

2sinj(A' — A") sin j;A — A;

cos y sin A'Vos -j ( A H- A' ) „

■^ 2sinj(A"~A)sinKA''— A') ' " '

^sinAsini(AM-A^) ,

''(^") = 2sini(A-A0sinHA^A-) ''"

sinA^in-i-(A^^-f-A) ,

2sinl(A'--A")sinT(A'— A)"*

sinA^^sinj(A-f-A^) „

2sini(A"— A)sin;(A"-A') ' " *

On voit ainsi (|ue l'on doit choisir les étoiles de telle sorte que la différence des azimuts de deux quelconques dVntre elles soit la plus {«rande possible, car alors les dénominateurs des coefficients de dit, M et tlu'^ atteignent leur valeur maximum. On prendra donc des étoiles lelles, que la différence de l^-urs azimuts soit sensiblement de 120®.

RxEMPLR. — Le D' Wesiphal a observé au Caire, le 5 oc-

lobro 1822, trois hauteurs égales des étoiles suivantes :

a Petite Ourse à 8** 28"' 17", à Pouest.

a HorcuU' 8 3i . 21 , à l^ouest.

a Bélier 8.47 • 3o , à Test.

Les coordonnées de ces étoiles étaient, pour le jour indiqué :

a Petite Ourse. . . . o»'58"^i4S 10, + 88"2i' 54",3,

a Hercule 17. 6.34 1^6, -j- i4 36. 2,0,

a Bélier i.57.i4)00, +22.37.22,7.

Dans le cas actuel,

on, en temps sidéral,

=r-Mi8"4i' 5", 10 =:— 9"55'56", 10

Ou a en outre

i(^-f-5'; = 5i.28.58,i5, ^(fî — r)== 32.52. i5, 80,

On eu conclut

log ///' r::: O , I 1 8 3684 , lo^ ///" i=r O , 1 62 9829 ,

M'rr 60° 48' Il ",92, M"=:— 5° 16' 52". 22,

i(N'-f-N")=: 54«56'57'\io,

Çr= 47'^6- '^ »o8,

valeurs qui, introduites dans les formules (B) et (D), donnent pour ff la même valeur

Avec la valeur

on obtient pour le temps sidéral

0= ai*» i3'"o»,23;

or, le temps sidéral à midi était i2^54'"2*>o4, on avait donc pour valeur du temps moyen 8*" 1 7" 36% 44» ^' \^étiAt de la pendule par rapport au temps moyen était

ûa== — io"4o%56.

Si Ton calcule aussi la hauteur avec Tune des trois équations (a),

on trouve

A l'aide des quantités auxiliaires N' et N'^, on obtient les angles horaires i' et t'\

/' = 62«22'37",oi, /"m -66«i4'24'',i9,

et, par suite, les trois azimuts

enfin on a, pour les équations différentielles,

dffzzz — o , 329 du — 5 , jZgdu' — 6 , o68//a",

d[^u) = — o,ooi8e/2/ 4- o,468r/tt' — o,396</£/*',

où dff est exprimé en secondes d'arc et ^(Aie), du, du' et du" en secondes de temps.

122. Formules de Cagftoli, — Cagnoli donne, dans sa Trigonométrie, une solution très-élégante d*un problème (*) qui, sans

(*) Ce problèroe eit le suivanl : « Déterminer, à Paide de trois lieux héliO' eentriques d'une tache du Soleil, la position de l'Equateur solaire et la déeli" naison de la tache, Gauss a le premier fait remarquer Tanalogie de ces deux problèmes { ilf(Oita<//c&« Correspondent, vol. XIX, p. 89 et suit.).

être identique à celui qui nous occupe maintenant, a cependant avec lui de si grandes analogies, que les mêmes formules s'appliquent immédiatement au problème actuel; de plus, si Ton veut trouver non-seulement le temps et la latitude, mais aussi la hauteur^ les formules de Cagnoli donneront lieu à un calcul plus simple que les méthodes exposées plus haut.

Soient [fig» 12) S, S', S" les trois étoiles observées : considé-

Fig. 13.

rons le triangle formé par le zénith, le pôle et la première étoile, et soit p Tangle parallaclique; les analogies de Néper donneront

tangl(y-t-/0=.?;, ,.( col(45<

cos{[t—p)

tang(45'>-hj^),

sin-~(^ — p) , ,^

tang}(?- yi) = ? , . ' [ tang (45*

sinj(^-hy>)

__ sin \{t — p) ^ ûn{[t^p)

cot(45«4-i^);

pour abréger, posons